19.2: Мультиплікативне уявлення невизначеності

Ще одним простим засобом представлення невизначеності, що володіє деякими приємними аналітичними властивостями, є мультиплікативне збурення, яке можна записати у вигляді

\[\Omega_{m}=\left\{P \mid P=P_{0}(1+W \Delta),\|\Delta\|_{\infty} \leq 1\right\}\ \tag{19.5}\]

\(W\)і\(\Delta\) стабільні. Як і при адитивному поданні, в перераховані вище набори входять моделі довільно великого порядку.

Малюнок 19.2: Представлення невизначеності як мультиплікативного збурень на заводському вході

Застереження, згадане у зв'язку з адитивним збуренням, повторюється тут: наведені вище мультиплікативні характеристики не слід інтерпретувати як те, що фактична рослина - це каскадна комбінація номінальної системи P0 та системи\(1 + W \Delta\). Швидше, власне рослина слід розглядати як мінімальну реалізацію передавальної функції\(P (s)\), яка записується в мультиплікативній формі.

Будь-які\(P\) нестійкі полюси є полюсами номінальної установки, але необов'язково навпаки, тому що нестабільні полюси\(P_{0}\) можуть бути скасовані нулями\(I + W \Delta\). Іншими словами, власне заводі допускається мати менше нестійких полюсів, ніж номінальна установка, але всі її нестійкі полюси обмежені тими ж місцями, що і в номінальній моделі. З огляду на застереження в попередньому пункті, такі скасування не відповідають нестабільним прихованим режимам, а тому не викликають занепокоєння.

Як і у випадку з адитивними збуреннями, припустимо, у нас є набір можливих рослин,\(\Pi\) таких, що справжня рослина є членом цього набору. Ми можемо спробувати вбудувати цей набір в мультиплікативну структуру збурень. Спочатку\(P_{0} \in \Pi\) впустіть певний номінальний завод\(\Pi\). Для будь-якого іншого заводу у\(P \in \Pi\) нас є

\[P(j \omega)=P_{0}(j \omega)(1+W(j \omega) \Delta(j \omega))\nonumber\]

Вага\(|W(j \omega)|\) задовольняє

\ [\ почати {вирівняний}
|W (j\ омега) | &\ geQ|W (j\ омега)\ дельта (j\ омега) |=\ ліворуч |\ frac {P (j\ омега) -P_ {0} (j\ омега)}\ праворуч |\\
W (j\ омега) | &\ geq\ _ P\ in\ Pi}\ лівий|\ розрив {P (j\ омега) -P_ {0} (j\ омега)} {P_ {0} (j\ омега)}\ право|=\ ell_ {m} (j\ омега)
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Зі знанням конверта\(l_{m}(j \omega)\) ми знаходимо стабільну систему\(W(s)\) таку, що\(|W(j \omega)| \geq l_{m} (j \omega)\)

Приклад 19.1 Невизначене посилення

Припустимо, у нас є рослина\(P=k \bar{P}(s)\) з невизначеною\(k\) приростом, яка лежить в проміжку\(k_{1} \leq k \leq k_{2}\). Ми можемо написати\(k=\alpha(1+\beta x)\) таке, що

\ [\ begin {масив} {l}
k_ {1} =\ альфа (1-\ бета)\\
k_ {2} =\ альфа (1+\ бета)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

\(\alpha=\frac{k_{1}+k_{2}}{2}\)\(\beta=\frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}+k_{1}}\)Тому і ми можемо висловити набір рослин як

\[\Pi=\left\{P(s) \mid P(s)=\frac{k_{1}+k_{2}}{2} \bar{P}(s)\left(1+\frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}+k_{1}} x\right),-1 \leq x \leq 1\right\}\nonumber\]

Ми можемо вбудувати це\(\Pi\) в мультиплікативну структуру, збільшивши невизначені елементи,\(x\) які є дійсними числами, до комплексу,\(\Delta(j \omega)\) що представляє динамічні збурень. Це призводить до наступного набору

\[\Omega_{m}=\left\{P(s) \mid P(s)=\frac{k_{1}+k_{2}}{2} \bar{P}(s)\left(1+\frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}+k_{1}} \Delta\right),\|\Delta\|_{\infty} \leq 1\right\}\nonumber\]

Зверніть увагу, що в цьому\(P_{0}=\frac{k_{1}+k_{2}}{2} \bar{P}\) поданні і\(W=\frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}+k_{1}}\)

Приклад 19.2 Невизначена затримка

Припустимо, у нас рослина\(P=e^{-k s} P_{0}(s)\) з невизначеною затримкою\(0 \leq k \leq k_{1}\). Ми хочемо представити це сімейство рослин у мультиплікативній структурі збурень. Вага\(W(s)\) повинен задовольняти

\ [\ почати {вирівняний}
|W (j\ омега) | &\ geq\ max _ {0\ leq k\ leq k_ {1}}\ ліворуч |\ frac {e^ {-j\ омега k} P_ {0} (j\ омега)} {P_ {0} (j\ омега)}\ право|\\
=\ max _ {0\ leq k\ leq k_ {1}}\ ліворуч | e^ {-j\ омега k} -1\ праворуч |\\
&=\ ліворуч\ {\ begin {масив} {cc}
\ середина 1-e^ {-j\ омега k_ {1}\ mid} &\ омега<\ frac {\ pi} {k_ {1}}\\
0 &\ омега\ geq\ frac {\ pi} {k_ {1}}
\ кінець {масив}\ право. \\
&=\ ell_ {m} (\ омега)
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Стабільну вагу, що задовольняє вищевказаному співвідношенню, можна прийняти як

\[W(s)=\alpha \frac{2 \pi k_{1} s}{\pi k_{1} s+1}\nonumber\]

де\(\alpha > 1\). Читач повинен переконатися, що ця вага буде працювати шляхом побудови графіка\(|W(j \omega)|\) і\(l_{m}( \omega)\), і показуючи, що\(l_{m}( \omega)\) знаходиться нижче кривої\(|W(j \omega)|\) для всіх\(\omega\).