19.1: Аддитивне представлення невизначеності

Зазвичай буває, що номінальна модель рослини досить точна для низьких частот, але погіршується у високочастотному діапазоні через паразитів, нелінійностей та/або ефектів, що змінюються в часі, які стають значними на більш високих частотах. Ці високочастотні ефекти, можливо, були залишені немодельованими, оскільки зусилля, необхідні для ідентифікації системи, не були виправдані рівнем продуктивності, яку шукали, або вони можуть бути добре зрозумілими ефектами, які були опущені з номінальної моделі, оскільки вони були незручними та громіздкими для перенесення. під час проектування управління. Ця проблема, а саме знос номінальних моделей на більш високих частотах, пом'якшується в деякій мірі тим, що практично всі фізичні системи мають строго належними передавальними функціями, внаслідок чого посилення системи починає скочуватися на високій частоті.

У наведеній вище ситуації, з номінальною моделлю рослини, заданою належною передавальною функцією P0 (s), фактичною рослиною\(P (s)\),\(P (s) - P_{0}(s)\) представленою, і різницею, яка вважається стабільною, ми можемо охарактеризувати невизначеність моделі через межу форми

\[\left|P(j \omega)-P_{0}(j \omega)\right| \leq \ell_{a}(\omega) \ \tag{19.1}\]

де

\ [\ ell_ {a} (\ омега) =\ лівий\ {\ почати {вирівняний}
\ текст {«Малий»} &; |\ омега_ {c}\
\ текст {«Обмежений»} &;\ quad|\ омега|>\ омега_ {c}
\ кінець {вирівняний}\ праворуч.\\ тег {19.2}\]

Це говорить про те, що реакція фактичного заводу лежить в «смузі» невизначеності навколо номінального заводу. Зверніть увагу, що жодна фазова інформація про помилку моделювання не включена в цей опис. З цієї причини це може призвести до консервативних результатів.

Попередній опис передбачає наступну просту адитивну характеристику множини невизначеності:

\[\Omega_{a}=\left\{P(s) \mid P(s)=P_{0}(s)+W(s) \Delta(s)\right\} \ \tag{19.3}\]

де\(\Delta\) - довільна стабільна передавальна функція, що задовольняє умові норми

\[\|\Delta\|_{\infty}=\sup _{\omega}|\Delta(j \omega)| \leq 1 \ \tag{19.4}\]

і стабільний правильний раціональний термін зважування\(W(s)\) використовується для представлення будь-якої інформації, яку ми маємо про те, як змінюється точність номінальної моделі рослини в залежності від частоти. На малюнку 19.1 показано адитивне подання невизначеності в контексті стандартного сервоконтура, з\(K\) позначенням компенсатора.

Коли невизначеність моделювання зростає з частотою, має сенс використовувати функцію зважування,\(W(j \omega)\) яка виглядає як фільтр високих частот: мала величина на низьких частотах, зростаюча, але обмежена на більш високих частотах.

Малюнок 19.1: Представлення фактичної рослини в сервоконтурбції за допомогою адитивного збурень номінальної установки.

Увага: Наведене вище формулювання збурень адитивної моделі не слід інтерпретувати як те, що фактична або збурена рослина - це паралельна комбінація номінальної системи\(P_{0}(s)\) та системи з передавальною функцією\(W(s) \Delta(s)\). Швидше, власне рослина слід розглядати як мінімальну реалізацію передавальної функції\(P (s)\), яка записується в адитивній формі\(P_{0}(s)+W(s) \Delta(s)\).

Деякі особливості вищевказаного набору невизначеності варто відзначити:

• Нестійкі полюси всіх рослин в наборі - це саме ті, що мають номінальну модель. Таким чином, наші зусилля з моделювання та ідентифікації вважаються досить обережними, щоб точно захопити нестабільні полюси системи.
• У набір входять моделі довільно великого порядку. Таким чином, якби невизначеності, що викликають для нас велике занепокоєння, були параметричні невизначеності, тобто невизначеності у значеннях параметрів певної (наприклад, простору станів) моделі, то вищевказаний набір невизначеності значно переоцінив би набір цікавих для нас рослин.

Методи проектування управління, які ми будемо розробляти, будуть виробляти контролери, які гарантовано працюватимуть для кожного члена набору невизначеності заводу. Дещо по-іншому, наші методи будуть ставитися до системи так, ніби кожна модель в наборі невизначеності є можливим представленням заводу. У тій мірі, в якій не всі члени безлічі є можливими рослинними моделями, наші методи будуть консервативними.

Припустимо, у нас є набір можливих рослин,\(\Pi\) таких, що справжня рослина є членом цього набору. Ми можемо спробувати вбудувати цей набір в адитивну структуру збурень. Спочатку нехай\(P_{0} \in \Pi\) буде певний номінальний завод в\(\Pi\). Для будь-якого іншого рослини\(P \in \Pi\) пишемо,

\[P(j \omega)=P_{0}(j \omega)+W(j \omega) \Delta(j \omega)\nonumber\]

Вага\(|W(j \omega)|\) задовольняє

\ [\ почати {вирівняний}
|W (j\ омега) | &\ geQ|W (j\ омега)\ дельта (j\ омега) |=\ ліво|P (j\ омега) -P_ {0} (j\ омега)\ праворуч |\\
W (j\ омега) | &\ geq\ max _ {P\ in\ Pi}\ ліворуч | P\\ омега -P (j\ омега) P_ {0} (j\ омега)\ праворуч |=\ ell_ {a} (j\ омега)
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Зі знанням нижньої межі\(l_{a}(j \omega)\) ми знаходимо стабільну систему\(W(s)\) таку, що\(|W(j \omega)| \geq \ell_{a}(j \omega)\)