18.5: Вправи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33114

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа 18.1

Припустимо, що рослина дискретного часу задається

\ [P=\ ліворуч (\ почати {масив} {c}
\ розрив {1-2 z^ {-1}} {1-.5 z^ {-1}}\
\ розриву {1-z^ {-1}} {1-.5 z^ {-1}}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Чи існує контролер, який рівномірно послаблює функцію вхідної чутливості\((I+P K)^{-1}\), тобто\(\left\|(I+K P)^{-1}\right\|_{\infty}<1\). Поясніть.

Вправа 18.2

Нехай рослина дарує

\ [G (s) =\ ліворуч (\ почати {масив} {cc}
\ frac {s-1} {s+1} & -5\
\ гідророзриву {s+2} {(s+1) ^ {2}} &\ frac {s-1} {s+1}
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Ми зацікавлені в тому, щоб перевірити, чи існує контролер\(K\) такий, щоб вихідна чутливість\(S=(I+P K)^{-1}\) задовольняла\(\|S\|_{\infty}<1\) (тобто максимальне сингулярне значення строго менше 1 для всіх частот). Якщо це можливо, ми хотіли б знайти такий контролер.

Один інженер стверджував так: Оскільки функції передачі від u1 до y1 і u2 до y2 мають немінімально-фазні нулі, то чутливість не може бути рівномірно ослаблена. Чи приймаєте ви цей аргумент. Якщо так, поясніть її/його обгрунтування, а якщо ні поясніть, чому ні.
Інший інженер припустив, що контролер може інвертувати установку і додати коефіцієнт масштабування, щоб чутливість була рівномірно менше 1. Знову обговоріть цей варіант і аргументуйте за нього або проти нього.

Вправа 18.3

Розглянемо наступний завод MIMO\(P (s)\), державно-космічний опис якого

\ [\ точка {x} (t) =\ лівий [\ почати {масив} {cccc}
-1.5 & 1 & 0 & 1\\
2 & -3 & 2\\
0 & .5 & -2 & 1\\
1 & -1.5 & 0 & -5
\ кінець {масив}\ праворуч] x (t) +\ лівий [\ почати {масив} {cc}
1 & 0\\
0 & 0\\
1 & 1\\
0 & 1.8
\ end {масив}\ право] u\ tag {t}\]

\ [y (t) =\ лівий [\ begin {масив} {cccc}
0 & 2.4 & -3.1 &
1\ 1 & 6 & -.5 & -2.8
\ end {масив}\ праворуч] х\ тег {t}\]

(a) Використовуйте Matlab для обчислення полюсів і нулів рослини, а також пов'язаних вхідних нульових напрямків. (Нулі передачі повинні вийти навколо\(-.544 \pm j 2.43\).)

(b) Побудувати сингулярні значення P (j!) за\(\omega \in\left[-10^{-2}, 10^{2}\right]\) рад/сек. Пов'язати форми сингулярних значень до полюсних і нульових частот\(P (s)\).

(c) Обчислити\(\|P\|_{\infty}\) за допомогою гамільтонової матриці та «гамма-ітерації» та порівняти результат з частиною b).

(d) Розглянемо стандартний контур зворотного зв'язку MIMO з компенсатором передавальної матриці, що\(K(s)\) передує\(P (s)\) в прямому контурі. Вхід в компенсатор - сигнал помилки\(e(t) = r(t)-y(t)\), де\(r(t)\) знаходиться зовнішній опорний сигнал. Конструкція повинна\(K(s)\) мати такі властивості: (i)\(K(s)\) повинна бути строго правильною, другого порядку (тобто мінімальна реалізація її другого порядку), без нулів передачі, і з полюсами, які точно скасовують передавальні нулі,\(P (s) -\) тому\(P (s)K(s)\) не має цих нулів.

(ii)\(\lim _{s \rightarrow 0} P(s) K(s)=40 I\)

Також отримуємо державно-космічний опис\(K(s)\).

(e) Побудуйте сингулярні значення частотної характеристики розімкнутого контуру\(P(j \omega) K(j \omega)\), функції чутливості та (\ S (j\ omega)\) та частотної характеристики замкнутого циклу (або додаткової функції чутливості)\(T(j \omega)=I-S(j \omega)\).

(f) Передбачити стале значення вихідного вектора,\(y(t)\) коли еталонний вхід до системи замкнутого циклу (який передбачається спочатку в стані спокою) є кроком

\ [r (t) =\ лівий [\ begin {масив} {c}
7\\
-3
\ кінець {масив}\ справа],\ quad t\ geq 0\\ tag {18.13}\]

і перевірити за допомогою обчислень (з Matlab!) перехідний відгук для вищевказаного кроку входу. Уважно вивчаючи перехідні процеси керуючих вхідних і вихідних сигналів, обговоріть наслідки наявності коливальних полюсів в компенсаторі, які скасовують нулі передачі рослин.

(g) передбачити максимальне та мінімальне значення похибки відстеження,\(e(t)\) коли вектор введення команди містить одиничні синусоїди з частотою\ (\ omega=1) рад/сек. Повторіть для\ (\ omega= 2.5) рад/сек.