18.4: Аналітичні обмеження - Ефект «водяного русла»

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33083

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Одне з обмежень продуктивності систем зворотного зв'язку LTI SISO (ці системи мають раціональні функції передачі чутливості), відоме як ефект водяного русла. Вільно кажучи, коли один проектує контролер, щоб «штовхати» функцію чутливості в певному напрямку, інша частина функції чутливості обов'язково «тягне» назад у зворотному напрямку. Цей ефект обумовлений властивістю аналітичних функцій,\(f (s)\) як зазначено теоремою Коші. У словах ця теорема говорить про те, що лінійний інтеграл аналітичної функції навколо будь-якого простого замкнутого контуру\(C\) в області R дорівнює нулю, тобто

\[\int_{C} f(s) d s=0\nonumber\]

для кожного контуру\(C\) в R.

Доказ цієї теореми тут не буде показаний, але його можна знайти в стандартних підручниках з комплексного аналізу. Одним з наслідків цієї теореми є наступне інтегральне обмеження (відоме як Інтеграл Боде) на передавальну функцію раціональної чутливості\(S(jw)\):

\[\int_{0}^{\infty} \ln |S(j w \mid d w=\sum_{i} \pi \operatorname{Re}\left(p_{i}\right).\nonumber\]

де\(\sum_{i} \pi \operatorname{Re}\left(p_{i}\right)\) - сума над нестійкими відкритими полюсами (полюсами\(P (jw)K(jw)\)). Цей результат тримається для всіх систем із замкнутим циклом до тих пір, поки виріб\(P K\) має відносний ступінь два. Результат означає, що зробити\(S(jw)\) невеликий майже на всіх частотах (загальна мета продуктивності) неможливо, оскільки інтегроване значення\(\ln |S(j w)|\) по всіх частотах повинно бути постійним. Ця константа дорівнює нулю для стабільних систем з відкритим контуром (\(P K\)стабільних) та позитивних в іншому випадку. Тому, знижуючи функцію чутливості в одному діапазоні частот, збільшує ту ж функцію в іншому діапазоні - звідси і назва «ефект водяного русла». Малюнок 18.5 нижче ілюструє це явище.

Обмеження на ділянках сингулярних значень

З того, що ми вже бачили, зрозуміло, що графіки сингулярних значень на всіх частотах є аналогами системи MIMO графіків Боде. Наступний факт встановлює деякі прості межі за участю сингулярних значень\(S\) і\(T\):

Факт 18.5.1

Якщо\(S=(I+P K)^{-1}\) і\(T=(I+P K)^{-1}P K\) то наступне утримання

\[\left|1-\sigma_{\max }(S)\right| \leq \sigma_{\max }(T) \leq 1+\sigma_{\max }\tag{S}\]

\[\left|1-\sigma_{\max }(T)\right| \leq \sigma_{\max }(S) \leq 1+\sigma_{\max }\tag{T}\]

Доказ

З тих\(S + T = I\) пір чітко

\[\sigma_{\max }(T)=\sigma_{\max }(I-S) \leq \sigma_{\max }(I)+\sigma_{\max }\tag{S}\]

і тому\(\sigma_{\max }(T) \leq 1+\sigma_{\max }(S)\nonumber\). Для будь-якого елемента\(x \in \mathbb{C}^{n}\) з\(\|x\|_{2}=1\) нами

\ [\ почати {вирівняний}
Х х &= Т х\\
\ вліво|\ |х\ |_ {2} -\ |S x\ |_ {2}\ праворуч | &\ leq\ |x-s x\ |_ {2} =\ |T x\ |_ {2}\\
\ ліво|1-\ |S x\ _ {2}\ праворуч | &\ leq\ сигма_ {\ max} (T)\\
\ ліво|1-\ сигма_ {\ max} (S)\ праворуч | &\ leq\ sigma {\ max} (T)
\ end {вирівняний}\ nonumber\]

Поєднуючи це відношення з\(\sigma_{\max }(T) \leq 1+\sigma_{\max }(S)\nonumber\), отримаємо

\[\left|1-\sigma_{\max }(S)\right| \leq \sigma_{\max }(T) \leq 1+\sigma_{\max }\tag{S}\]

Інше відношення слід точно таким же чином.