Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

15.3: Вправи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    33528

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вправа 15.1 Безпричинні системи

    У цьому розділі ми зосередилися лише на причинно-наслідкових операторах, хоча отримані результати були більш загальними. Як приклад розглянемо конкретну систему CT LTI з двостороннім перетворенням Лапласа:

    \[G(s)=\frac{s+2}{(s-2)(s+1)}\nonumber\]

    (a) Перевірте p-стабільність та причинність системи в наступних випадках:

    (i) РПЦ (Регіон конвергенції) - це\(R_{1}=\{s \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(s)<-1\}\) де\(Re(s)\) позначає дійсну частину s;

    (ii) РПЦ\(R_{2}=\{s \in \mathbb{C} \mid-1<\operatorname{Re}(s)<2\}\)

    (iii) РПЦ\(R_{3}=\{s \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(s)>2\}\)

    (b) У випадках, коли система не є p-стабільною для\(p = 2\) і\(p = \infty\), знайти обмежений вхід, який робить вихід необмеженим, тобто знайти вхід,\(u \in L_{p}\) який виробляє вихід\(y \notin L_{p}\), для\(p=2, \infty\).

    Вправа 15.2

    У нелінійних системах\(p\) -стійкість може бути задоволена лише в локальній області навколо нуля. У такому випадку система буде локально\(p\) -стабільною, якщо:

    \[\|G u\|_{p} \leq C\|u\|_{p}, \quad \text { for all } u \text { with }\|u\|_{p} \leq \delta\nonumber\]

    Розглянемо систему:

    \ [\ begin {масив} {l}
    \ точка {x} =A x+b u\\
    z = C x+D u\\
    y=g (y)
    \ кінець {масив}\ nonumber\]

    Де\(g\) знаходиться безперервна функція на\([-T, T ]\). Яка з наведених нижче систем\(p\) -стабільна, локально\(p\) -стабільна або нестабільна для\(p \geq 1\):

    (а)\(g(x)=\cos x\)

    (б)\(g(x)=\sin x\)

    (c)\(g(x)=\operatorname{Sat}(x)\) де

    \ [\ ім'я оператора {Сб} (x) =\ лівий\ {\ begin {масив} {ll}
    x & |x|\ leq 1\\
    1 & |x|\ geq 1
    \ end {масив}\ справа. \ номер\]