15.2: Вхідно-вихідна стабільність

На цьому етапі важливо встановити зв'язок між стабільністю системи та її поведінкою на вході-виході. Найважливішим поняттям є те, що `\(l_{p}\)-стабільність (\(p\)-стабільність).

Визначення 15.1

Система з вхідним сигналом\(u\) і вихідним сигналом\(y\), який отримується\(u\) через дію довільного оператора\(H\), так\(y = H(u)\), є `\(l_{p}\)-стабільним або\(p\) -стабільним,\((p = 1, 2, \infty)\) якщо існує кінцевий\(C \in \mathbb{R}\) такий, що

\[\|y\|_{p} \leq C\|u\|_{p} \ \tag{15.16}\]

для кожного входу\(u\).

Отже,\(p\) стабільна система характеризується вимогою, що кожен вхід скінченної\(p\) норми породжує вихід скінченної\(p\) -норми. Для\(p =\infty\) випадку це поняття відоме як стабільність обмеженого входу (BIBO). Ми побачимо, що стабільність BIBO еквівалентна\(p\) -стійкості для скінченновимірних систем стан-простору LTI, але не обов'язково в інших випадках.

Приклад 15.4

Система, описана одним інтегратором:

\[\dot{y}=u\nonumber\]

не є стабільним BIBO. Вхід кроку відображається на рампі, яка не обмежена. Неважко помітити, що ця система не\(p\) -стабільна для будь-якої\(p\).

15.3.1 Стабільність BIBO систем LTI

Безперервна система LTI може характеризуватися своєю матрицею імпульсної відгуку\(\mathcal{H}(\cdot)\), входом якої\((i, j)\)\(h_{ij} ( \cdot )\) є імпульсна характеристика від\(j\) го входу до виходу\(i\). Іншими словами, відношення «вхід-вихід» задається

\[y(t)=\int \mathcal{H}(t-\tau) u(\tau) d \tau\nonumber\]

Теорема 15.1

Система CT LTI з\(m\)\(p\) входами, виходами та матрицею імпульсних характеристик\(\mathcal{H}(t)\) є стабільною BIBO, якщо і тільки тоді

\[\max _{1 \leq i \leq p} \sum_{j=1}^{m} \int\left|h_{i j}(t)\right| d t<\infty\nonumber\]

Доказ

Доказ достатності передбачає пряме обчислення меж. Якщо\(u\) вхідний сигнал, який задовольняє\(\|u\|_{\infty}<\infty\), тобто обмежений сигнал, то ми маємо

\[y(t)=\int \mathcal{H}(t-\tau) u(\tau) d \tau\nonumber\]

і

\ [\ почати {вирівняний}
\ max _ {1\ leq i\ leq p}\ вліво | y_ {i} (t)\ праворуч | &=\ max _ {i}\ ліворуч |\ int\ sum_ {j=1} ^ {м} h_ {i j} (t-\ tau) u_ {j} (\ tau) д\ тау\ право|\\
\ q\ ліворуч [\ max _ {i}\ int\ sum_ {j}\ ліво|h_ {i j} (т-\ тау)\ праворуч | д\ тау\ вправо]\ max _ {j}\ sup _ {t}\ ліво|u_ {j} (t)\ праворуч |
\ end {вирівняний}\ nonumber\]

Звідси випливає, що

\[\|y\|_{\infty}=\sup _{t} \max _{i}\left|y_{i}(t)\right| \leq\left[\max _{i} \sum_{j} \int\left|h_{i j}(t)\right| d t\right]\|u\|_{\infty}<\infty\nonumber\]

Для того, щоб довести зворотність теореми, ми покажемо, що якщо вищевказаний інтеграл нескінченний, то існує обмежений вхід, який буде відображений на необмежений вихід. Розглянемо випадок\(p = m = 1\), коли для нотаційної простоти (в загальному випадку ми ще можемо звузити фокус до єдиного входу матриці імпульсної характеристики). Позначте імпульсну характеристику по\(h(t)\) для цього скалярного випадку. Якщо інтеграл

\[\int|h(t)| d t\nonumber\]

необмежений, то задано будь-який (великий)\(M\) існує інтервал довжини\(2T\) такий, що

\[\int_{-T}^{T}|h(t)| d t>M\nonumber\]

Тепер, взявши вхід\(u_{M}(t)\) як

\ [u_ {M} (t) =\ left\ {\ begin {масив} {ll}
\ ім'я оператора {sgn} (h (-t)) & -T\ leq t\ leq T\\
0 & |t|>t
\ end {масив}\ справа. \ номер\]

отримуємо вихід\(y_{M}(t)\), який задовольняє

\ [\ почати {вирівняний}
\ sup _ {t}\ left|y_ {M} (t)\ праворуч |\ geq y_ {M} (0) &=\ int_ {-T} ^ {T} h (0-\ тау) u_ {M} (\ тау) д\ тау\
&=\ int_ {-T} ^ {T} |ч (0-\ тау) | d\ tau\\
&>M
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Іншими словами, для будь-якого ми можемо мати вхід\(M > 0\), максимальна величина якого дорівнює 1 і відповідний вихід якого більше\(M\). Тому немає кінцевої постійної\(C\) такої, що нерівність (24,3) тримається.

Подальше роздуми про доказ теореми 15.1 виявляє, що константа,\(\|\mathcal{H}\|_{1}\) визначена

\[\|\mathcal{H}\|_{1}=\max _{i} \sum_{j} \int\left|h_{i j}(t)\right| d t\nonumber\]

найменша константа\(C\), яка задовольняє нерівність (24,3), коли\(p = \infty\). Це число називається `\(l_{1}\)-нормою\(\mathcal{H}(t)\). У скалярному випадку це число є всього лише `\(l_{1}\)-нормою\(h( \cdot )\), що розглядається як сигнал.

Випадок дискретного часу досить схожий на безперервний час, коли ми починаємо з матриці імпульсної відповіді\(\mathcal{H}(\cdot)\), вхід якої\((i, j)\)\(h_{ij} ( \cdot )\) - імпульсна реакція від\(j\) го входу до\(i\) го виходу. Співвідношення «вхід-вихід» задається

\[y(t)=\sum_{\tau} \mathcal{H}(t-\tau) u(\tau)\nonumber\]

Теорема 15.2

Система DT LTI з\(m\)\(p\) входами, виходами та матрицею імпульсної відповіді\(\mathcal{H}(t)\) є стабільною BIBO, якщо і тільки тоді

\[\max _{1 \leq i \leq p} \sum_{j=1}^{m} \sum_{t}\left|h_{i j}(t)\right|<\infty\nonumber\]

Крім того, константа\(\|\mathcal{H}\|_{1}\) визначається

\[\|\mathcal{H}\|_{1}=\max _{i} \sum_{j} \sum_{t}\left|h_{i j}(t)\right|\nonumber\]

найменша константа\(C\), яка задовольняє нерівність (24,3), коли\(p = \infty\). Доказ цих фактів ми залишаємо читачеві.

Застосування до скінченновимірних моделей стан-простору

Тепер розглянемо застосування до наступної причинно-наслідкової системи КТ LTI у державно-космічній формі (а отже, і скінченного порядку):

\ [\ почати {вирівняний}
\ точка {x} &= A x+b u\ (15.17)\
y &= C x+D u\ (15.18)
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Імпульсна характеристика цієї системи задається

\[\mathcal{H}(t)=C e^{A t} B+D \delta(t) \text { for } t \geq 0\nonumber\]

який має перетворення Лапласа

\[H(s)=C(s I-A)^{-1} B+D\nonumber\]

Система (15.18) є стабільною BIBO тоді і тільки тоді, коли полюси\(H(s)\) знаходяться у відкритій лівій половині площини. (Ми залишаємо вам докази.) Це, в свою чергу, гарантовано, якщо система є асимптотично стабільною, тобто якщо всі\(A\) свої власні значення знаходяться у відкритій лівій половині площини.

Приклад 15.5 Стабільність BIBO не означає асимптотичну стабільність

Цілком можливо, що система BIBO стабільна і не асимптотично стабільна. Розглянемо систему

\ [\ begin {масив} {l}
\ точка {x} =\ left (\ begin {масив} {cc}
0 & 1\
1 & 0
\ кінець {масив}\ праворуч) x+\ left (\ begin {масив} {l}
0\
1
\ end {масив}\ праворуч) u\\
y=\ left (\ begin {масив} {cc}
1 & amp; -1
\ end {масив}\ праворуч) х
\ end {масив}\ nonumber\]

Ця система не є стабільною, оскільки\(A\) має власне значення в 1. Проте, завдяки скасуванню полюс-нуль, єдиний полюс, який\(H(s)\) має знаходиться на\(-1\), тому система BIBO стабільна. Ми будемо мати набагато більше сказати про такі скасування в контексті досяжності, спостережливості та мінімальності (приклад тут виявляється непомітним).

Гранична стійкість системи LTI, тобто стабільність у сенсі Ляпунова, але без асимптотичної стійкості, недостатня для забезпечення стабільності BIBO. Наприклад, розглянемо простого інтегратора, функція передачі якого є\(1/s\).

Різні за часом і нелінійні системи

Хоча є результати, що зв'язують стабільність Ляпунова зі стабільністю введення/виводу для загальних змінних за часом і нелінійних систем, вони не такі потужні, як лінійний інваріантний випадок часу. Зокрема, системи можуть бути стабільними по відношенню до однієї норми і не стабільними по відношенню до іншої. Нижче наведено кілька прикладів, що ілюструють ці факти.

Приклад 15.6 Система, що змінюється за часом

Розглянемо систему DT, що змінюється в часі, наведену:

\[y(t)=H(u)(t)=u\tag{0}\]

\(H\)очевидно, 1-стабільний з коефіцієнтом посилення менше 1. Однак він не є 2-стабільним.

Приклад 15.7 Нелінійна система

Розглянемо нелінійну систему, задану:

\[\dot{x}=-x+e^{x} u, \quad y=x\nonumber\]

Ненфорсована система лінійна і асимптотично стабільна. З іншого боку, система не стабільна введення/виводу. Щоб переконатися в цьому, розглянемо вхідні дані\(u(t) = 1\). Так як\(e^{x}>x, \dot{x}\) завжди строго позитивний, що вказує на те,\(x\) що строго збільшується. Отже, для обмеженого входу вихід не обмежений.

15.3.2 р -Стабільність систем LTI (опціонально)

У цьому розділі ми продовжимо наш аналіз p -стійкості систем, описаних через відносини «вхід-вихід». Почнемо з випадку безперервного часу, і обмежимося одним входом з одним виходом. Вхід\(u(t)\) пов'язаний з\(y(t)\) виходом

\[y(t)=\int h(t-\tau) u(\tau) d \tau\nonumber\]

де\(h(t)\) - імпульсна характеристика. Наступна теорема показує, що константа\(C\) в 24.3 завжди обмежена вище\(\|h\|_{1}\).

Теорема 15.3

Якщо\(\|h\|_{1}<\infty\) і\(\|u\|_{p}<\infty\) потім\(\|y\|_{p}<\infty\) і тим більше

\[\|y\|_{p} \leq\|h\|_{1}\|u\|_{p}\nonumber\]

Доказ

У теоремі 15.1 ми вже встановили цей результат для\(p = \infty\). У чому випливає\(p = 1, 2\). Вихід\(y(t)\) задовольняє

\[|y(t)|^{p}=|(h * u)(t)|^{p}=\left|\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau) u(\tau) d \tau\right|^{p} \leq\left(\int_{-\infty}^{\infty}|h(t-\tau)||u(\tau)| d \tau\right)^{p}\nonumber\]

тому,

\[\|h * u\|_{p}^{p}=\int_{-\infty}^{\infty}|(h * u)(t)|^{p} d t \leq \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}|h(t-\tau)||u(\tau)| d \tau\right)^{p} d t\nonumber\]

Далі розберемо внутрішній інтеграл

\ [\ почати {вирівняний}
\ int_ {-\ infty} ^ {\ інфти} |ч (т-\ тау) ||u (\ тау) | д\ тау &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ інфти} |ч (т-\ тау) |^ {1/q} |ч (т-\ тау) |^ {1/p} |u\ tau) | д\ тау\\
&\ leq\ ліворуч (\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |ч (т-\ тау) | д\ тау\ вправо) ^ {1/q}\ ліворуч (\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |ч (t-\ tau) ||u (\ tau) |^ {p} d\ тау\ праворуч) ^ {1/p}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

де остання нерівність випливає з нерівностей Мінковського, і\(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\). Отже,

\ [\ почати {вирівняний}
\ |h * u\ |_ {p} ^ {p} &\ leq\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ лівий (\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |ч (т-\ тау) | д\ тау\ вправо) ^ {p/q}\ лівий (\ int_ {-\ inty} ^ {\ infty} |ч (т-\ тау) ||u (\ тау) |^ {p} д\ тау\ вправо) d t\\
&=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ ліворуч (\ ||_ {1}\ праворуч) ^ {p/q}\ ліворуч (\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} |ч (т-\ тау) ||u (\ тау) |^ {р} д\ тау\ право) d t\\
&=\ h\ |_ {1} ^ {p/q}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int_ {-\ infty} ^ {-\ infty} ^ {\ infty} ^ {\ інфти} ^ {-\ infty} ^ {-\ тау) ||u (\ тау) |^ {p} д\ тау д\\
&=\ ч\ |_ {1} ^ {p/q}\ int_ {-\ infty} ^ {\ інфти}} |u (\ тау) |^ {p}\ ліво (\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |ч (t-\ tau) | д т\ праворуч) д\ тау\\
&=\ |ч\ |_ {1} ^ {p/q+1}\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} |u (\ тау) |^ {p} d\ tau\\
&=\\ h\ |_ {1} ^ {p}\ |u\ |_ {p} ^ {p} ^ {p}
\ кінець {вирівняний}\ non номер\]

Тому

\[\|h * u\|_{p} \leq\|h\|_{1}\|u\|_{p}\nonumber\]

Нагадаємо, що коли\(p=\infty,\|h\|_{1}\) була найменша константа, для якої нерівність\(\|y\|_{p} \leq C\|u\|_{p}\) для всіх\(u\). Це не так\(p = 2\), і ми побачимо пізніше, що меншу константу можна знайти. Ми детально зупинимося на цих питаннях, коли обговорюватимемо системні норми пізніше в курсі. Випадок дискретного часу слід точно так само.

Приклад 15.8

Для скінченновимірної моделі простору станів система H є p -стабільною тоді і тільки тоді, коли всі полюси H (s) знаходяться в LHP. Це збігається зі стабільністю BIBO.