15.1: Сигнальні заходи

Сигнали, що цікавлять нас, визначаються як карти з часу, встановленого в\(\mathbb{R}^{n}\). Сигнал безперервного часу - це карта з\(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), а сигнал дискретного часу - карта з\(\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\). Якщо у\(n = 1\) нас є скалярний сигнал, в іншому випадку ми маємо векторно-значний сигнал. Корисно, розуміючи різні заходи сигналу, визначені нижче, візуалізувати сигнал дискретного часу\(w(k)\) як просто вектор нескінченного (або, якщо наш сигнал визначається лише для невід'ємного часу, то вектор напівнескінченного) довжини або виміру, конкретно представляючи його як масив

\ [\ left (\ begin {масив} {c}
\ vdots\\
w (0)\\
w (1)\
\ vdots
\ кінець {масив}\ справа)\ квад\ текст {або}\ quad\ ліворуч (\ begin {масив} {c}

w (0)\\
w (1)
\\\ vdots\ end {масив}\ праворуч)\\ ]

Три з найбільш часто використовуваних мір сигналу DT - це природні узагальнення скінченновимірних векторних норм (\(\infty\)-, 2- і 1-норм), з якими ми вже стикалися в попередніх розділах, узагальнених до таких нескінченновимірних векторів. Розберемо ці три заходи, а четверта, яка пов'язана з 2-нормою, але не зовсім норма. Ми також визначимо заходи сигналу КТ, які є природними аналогами заходів DT.

Сигнальні заходи, які ми вивчаємо нижче:

1. пікова величина (або\(\infty\) -норма);
2. енергетичний (квадратний корінь якого є 2-нормою);
3. потужність (або середня енергія, квадратний корінь якої є «середньоквадратичним» або середньоквадратичним значенням);
4. «дія» (або 1-норма).

Пікова величина:\(\infty\) -Норма

\(\infty\)-норма\(\|w\|_{\infty}\) сигналу - це його пікова величина, оцінена по всіх компонентах сигналу і всі часи:

\ [\ почати {вирівняний}
\ |w\ |_ {\ infty} &\ трикутник\ текст {максимальна величина} w\\
&\ трикутник\ sup _ {k}\ max _ {i}\ left|w_ {i} (k)\ праворуч |=\ sup _ {k}\ |w (k) |_ {\ infty}\ (\ текст для DT системи})\ (15.2)\\\
&\ трикутник\ sup _ {t}\ max _ {i}\ left|w_ {i} (t)\ праворуч |=\ sup _ {t}\ |w (t)\ |_ {\ infty}\ (\ text {для систем КТ})\ (15.3)
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

де\(w_{i}(k)\) вказується\(i\) -а складова вектора сигналу\(w(k)\). Відзначимо, що\(\|w(k)\|_{\infty}\) позначає\(\infty\) -норму значення сигналу в часі\(k\), тобто звичну 1 норму n-вектора, а саме максимальну величину серед його складових. З іншого боку, позначення\(\|w\|_{\infty}\) позначають\(\infty\) -норму всього сигналу. «sup» позначає супремум або найменшу верхню межу, значення, яке наближається довільно близько, але ніколи (тобто в будь-який кінцевий час) перевищено. Ми використовуємо «sup» замість «max», оскільки протягом нескінченного часу встановлена величина сигналу може не мати максимуму, тобто пікового значення, яке насправді досягається | розглянемо, наприклад, простий випадок сигналу

\[1-\frac{1}{1+|k|}\nonumber\]

який не досягає його supremum значення 1 для будь-якого кінцевого\(k\).

Зауважимо, що визначення DT є природним узагальненням стандартної\(\infty\) -норми для скінченновимірних векторів на випадок нашого нескінченного вектора в (15.1), тоді як визначення КТ є природним аналогом визначення DT. Ця закономірність характерна для всіх норм сигналів, з якими ми маємо справу, і ми не будемо коментувати її знову явно.

Приклад 15.1

Деякі обмежені сигнали:

(a)\ (\ begin {масив} {l}
\ текст {Для} w (t) =1, t\ in\ mathbb {R}, t\ geq 0\\
\ |w\ |_ {\ infty} =1
\ end {масив}\)

(b)\ (\ begin {масив} {l}
\ текст {Для} w (t) =a^ {t}, t\ in\ mathbb {Z}:
\\\ w\ |_ {\ infty} =\ infty\ текст {якщо} |a|\ neq 1\ текст {і}\ |w\ |_ {\ infty} =1\ текст {інакше}
\ кінець {масив}\)

Простір всіх сигналів з скінченною\(\infty\) -нормою, як правило, позначаються\(l_{\infty}\) сигналами DT і CT відповідно.\(\mathcal{L}_{\infty}\) Для векторних сигналів розмір вектора може бути явно доданий до символу, наприклад,\(l_{\infty}^{n}\). Вони утворюють нормовані векторні простори.

Енергія і 2-Норма

2-норма сигналу - квадратний корінь його «енергії», який, в свою чергу, визначається як сума (в DT) або інтеграл (в КТ) квадратів всіх складових за весь встановлений час:

\ [\ почати {вирівняний}
\ |w\ |_ {2} &\ трикутник\ текст {квадратний корінь енергії в} w\\
&\ трикутник\ ліворуч [\ sum_ {k} w^ {T} (k)\ праворуч] ^ {\ frac {1} {2}} =\ лівий [\ sum_ {k}\ |w\ k\ |_ {2} ^ {2}\ праворуч] ^ {\ frac {1} {2}} &\ text {(для систем DT)}\ (15.4)\\
&\ трикутник\ ліворуч [\ int w^ {T} (t) w (t) d t\ праворуч] ^ {\ frac {1} {2}} =\ ліворуч [\ int_ {t}\ |w (t)\ |_ {2} ^ {2} d t\ праворуч] ^ {\ frac {1} {2}} &\ текст {(для систем КТ)}\ (15.5)
\ {вирівняний кінець}\ номер\]

Приклад 15.2

Деякі приклади:

(a)\ (\ begin {масив} {l}
\ текст {Для} w (t) = e^ {-at}\ текст {і встановлений час} t\ geq 0,\ текст {з} a>0:\\\ |w
\ |_ {2} =\ frac {1} {\ sqrt {2a}}} <\ infty\ кінець {масив}\)

(b)\ (\ begin {масив} {l}
\ текст {Для} w (t) =1\ текст {і набір часу} t\ geq 0:\
\\ w\ |_ {2} =\ infty\ end {масив}\)

(c)\ (\ begin {масив} {l}
\ текст {Для} w (t) =\ cos\ omega_ {o} t\ text {і набір часу} t\ geq 0:
\\\ w\ |_ {2} =\ infty\ end {масив}\)

Ці приклади говорять про те, що сигнали з обмеженою енергією йдуть до нуля з часом. Для дискретних сигналів часу це очікування затримується: якщо\(\|w\|_{2}<\infty\), то\(\|w(k)\| \longrightarrow 0 \text { as } k \longrightarrow \infty\). Однак для сигналів безперервного часу властивість мати обмежену енергію не означає\(\|w(t)\| \longrightarrow 0 \text { as } t \longrightarrow \infty\), що, якщо не робляться додаткові припущення. Це пов'язано з тим, що сигнали з обмеженою енергією безперервного часу все ще можуть мати довільно великі екскурсії в амплітуді, за умови, що ці екскурсії відбуваються протягом досить вузьких інтервалів часу, що інтеграл квадрата залишається кінцевим - розглянемо, наприклад, сигнал КТ, який є нульовим скрізь, за винятком трикутний імпульс висоти\(k\) та основи з\(1/k^{4}\) центром у кожному ненульовому цілому значенні\(k\). Якщо сигнал безперервного часу\(w(t)\) диференційований,\(w\) і обидва, і його похідна\(\dot{w}\) мають обмежену енергію (що не стосується попереднього трикутно-імпульсного прикладу), то це правда\(\|w(t)\| \longrightarrow 0 \text { as } t \longrightarrow \infty\). Читач, можливо, побажає перевірити цей факт.

Неважко показати, що сигнали DT або КТ зі скінченними 2-нормами утворюють векторний простір. На векторному просторі `\(l_{2}\)(відповідно\(\mathcal{L}_{2}\)) ДТ (відповідно КТ) сигналів зі скінченною 2-нормою можна визначити природний внутрішній твір наступним чином, між сигналами\(x\) і\(y\):

\[\langle x, y\rangle \triangleq\left[\sum_{k} x^{T}(k) y(k)\right] \quad \text { (for DT systems) } \ \tag{15.6}\]

\[\triangleq\left[\int x^{T}(t) y(t) d t\right] \quad \text { (for CT systems) } \ \tag{15.7}\]

(2-норма - це просто квадратний корінь внутрішнього продукту сигналу з собою.) Ці особливі нескінченновимірні векторні простори внутрішнього добутку мають велике значення в додатках і є основними прикладами того, що відомі як гільбертові простори.

Потужність і середньоквадратичне значення

Ще одна цікава міра сигналу - «потужність» або середня енергія сигналу. Також часто стосується квадратного кореня влади, який зазвичай називають значенням «середньоквадратичне» (або «середньоквадратичне») значення. Для сигналу,\(w\) для якого існують наступні межі, визначаємо потужність по

\ [\ почати {вирівняний}
P_ {w}\ triangleq\ lim _ {N\ rightarrow\ infty}\ лівий [\ frac {1} {2 N}\ sum_ {k=- (N-1)} ^ {N-1} w^ {T} (k) w (k)\ право]\ quad\ text {(для дискретних} -\ текстових {систем часу})\ 15.8)\
\\ трикутникeq\ lim _ {L\ rightarrow\ infty}\ лівий [\ frac {1} {2 L}\ int_ {-L} ^ {L} w^ {T} (t) w (t) d t\ праворуч]\ quad\ text {(для безперервних систем часу)}\ (15.9)
\ end {вирівняний}\ nonumber\]

(Наведені вище визначення припускають, що встановлений час - це вся вісь часу, але необхідні зміни для інших варіантів набору часу повинні бути очевидними.) Ми будемо використовувати символ\(\rho_{w}\) для позначення значення rms, а саме\(\sqrt{P_{w}}\). Причина, яка не\(\rho_{w}\) є нормою, згідно з технічним визначенням норми, полягає в тому, що цього\(\rho_{w}=0\) не має на увазі\(w = 0\).

Приклад 15.3

Деякі сигнали скінченної потужності:

(a)\ (\ begin {масив} {l}
\ текст {Для} w (t) =1\
\ rho_ {w} =1
\ end {масив}\)

(b)\ (\ begin {масив} {l}
\ text {Для} w (t) =1\ текст {такий, що}\ |w_ {2}\ | <\ infty\\
\ rho_ {w} =1
\ end {масив}\)

(c)\ (\ почати {вирівняний}
&\ текст {Для} w (t) =\ cos\ omega_ {0} t (\ текст {з} t\ в\ mathbb {R}\ текст {або} t\ in\ mathbb {Z})\\
&\ rho_ {w} =\ frac {1} {\ sqrt {2}}
\ кінець {вирівняний}

Приклад в) вказує на важливу різницю між сигналами обмеженої потужності та обмеженою енергією: на відміну від сигналів обмеженої енергії\(\rho_{w}<\infty\), якщо сигнал не обов'язково затухає до нуля

В якості остаточного коментаря щодо визначення потужності сигналу ми детально зупинимося на підказці в преамбулі до нашого визначення, що межа, необхідного визначенням, може не існувати для певних сигналів. Межа послідовності або функції (у нашому випадку послідовність або функція - це набір скінченно-інтервальних середньоквалових значень, що розглядаються через інтервали зростаючої довжини) може не існувати, навіть якщо послідовність або функція залишається обмеженою, як коли вона коливається між двома різними скінченними значеннями. Наступний сигнал є прикладом сигналу КТ, який обмежений, але не має чітко визначеної потужності, оскільки необхідної межі не існує:

\ [w (t) =\ лівий\ {\ begin {масив} {ll}
1 &\ text {якщо} t\ in\ ліворуч [2^ {2 k}, 2^ {2 k+1}\ праворуч],\ text {for} k=0,1,2,\ ldots\
0 &\ text {інакше}
\ кінець {масив}\ праворуч. \ номер\]

Також врахуйте, що бажаний ліміт може існувати, але не бути кінцевим. Наприклад, межа послідовності полягає в тому,\(+\infty\) якщо значення послідовності залишаються вище будь-якого обраного кінцевого додатного числа для досить великих значень індексу.

Дія: 1-Норма

1-норму сигналу також іноді називають «дією» сигналу, який, в свою чергу, визначається як сума (в DT) або інтеграл (в КТ) 1-норми значення сигналу в кожен раз, прийнятий за весь встановлений час:

\ [\ почати {вирівняний}
\ |w\ |_ {1} &\ triangleq\ текст {дія} w\\
&\ triangleq\ ліворуч [\ sum_ {k}\ |w (k)\ |_ {1}\ праворуч]\ quad (\ text {для дискретних} -\ текст {часові системи})\ (15.10)\\
&\ triangleq\ left [\ int\ |w (t)\ |_ {1} d t\ право]\ quad\ text {(для безперервного - часові системи)}\ (15.11)
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Нагадаємо, що\(\|w(k)\|\) для\(n\) -вектора\(w(k)\) позначається сума величин його складових.

Простір всіх сигналів зі скінченною 1-нормою, як правило, позначається `\(l_{1}\)і\(\mathcal{L}_{1}\) для ДТ і КТ сигналів відповідно. Вони утворюють нормовані векторні простори.

Ми залишаємо вас побудувати приклади, які показують знайомі сигнали скінченної та нескінченної 1- норми.

Відносини між сигнальними заходами

а) Якщо w - послідовність дискретного часу, то

\[\|w\|_{2}<\infty \Longrightarrow\|w\|_{\infty}<\infty \ \tag{15.12}\]

проте

\[\|w\|_{2}<\infty \not \Longleftarrow\|w\|_{\infty}<\infty \ \tag{15.15}\]

б)\(w\) Якщо сигнал безперервного часу, то

\[\|w\|_{2}<\infty \not \Longrightarrow\|w\|_{\infty}<\infty \ \tag{15.14}\]

і

\[\|w\|_{2}<\infty \not \Longleftarrow\|w\|_{\infty}<\infty \ \tag{15.15}\]

в) Якщо\(\|w\|_{\infty}<\infty\), то (коли\(\rho_{w}\) існує)

\[\rho_{w} \leq\|w\|_{\infty}\nonumber\]

Пункт а) вірний через зв'язок між енергією та величиною для дискретних сигналів часу. Оскільки енергія сигналу DT є сумою квадратних величин, якщо енергія обмежена, то величина повинна бути обмежена. Однак зворотне не відповідає дійсності -візьмемо, наприклад, сигнал\(w(k) = 1\). Як вказує пункт b), обмежена енергія нічого не має на увазі про обмеженість величини для безперервних сигналів часу.

(Можна констатувати ще багато зв'язків вищевказаної форми.)