14.3: Вправи

Вправа 14.1 Обмежене збурення

Нагадаємо, приклад 14.3. У цій задачі ми хочемо поліпшити нижню межу на\(\gamma(A)\).

(а) Для поліпшення нижньої межі ми використовуємо інформацію про те, що якщо\(\Delta\) є реальним, то полюси з'являються в складній сполученій парі. Визначте

\ [A_ {w} =\ left (\ begin {масив} {cc}
A & w I\\
-w I & A
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

Покажіть, що

\[\gamma(A) \geq \min _{w \in \mathbb{R}} \sigma_{\min }\left[A_{w}\right] \nonumber\]

(b) Якщо ви думаєте про свої докази вище, ви зможете ще більше покращити нижню межу. Насправді з цього випливає, що

\[\gamma(A) \geq \min _{w \in \mathbb{R}} \sigma_{2 n-1}\left[A_{w}\right]\nonumber\]

де\(\sigma_{2 n-1}\) - найближче до останнього значення однини. Покажіть цей результат.

Вправа 14.2

Розглянемо непримусову систему LTI, наведену нижче:

\ [\ точка {x} =A x =\ ліворуч (\ почати {масив} {cccccc}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\ ldots & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 &\ ldots &
0\\\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots\
\ vdots\\ vdots\\ vdots\\ vdots &\ vdots\\ vdots\\ vdots\\
vdots &\ vdots\\ vdots\\ vdots &\ ldots &\ ldots &\ ldots & -a_ {0}
\ кінець {масив}\ праворуч) x\ nonumber\]

(а) За яких умов ця система асимптотично стабільна?

Припустімо, що наведена вище система є асимптотично стабільною. Тепер розглянемо збурену систему

\[\dot{x}=A x+\Delta x,\nonumber\]

\(\Delta\)де дається

\ [\ Дельта=\ ліворуч (\ почати {масив} {ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 &\ ldots &
0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
\ ldots & 0\\\ vdots &\ vdots &\ vdots\\
-\ delta_ {N-1} & -\ delta_ {N-2} &\ ldots &\ ldots &\ ldots & -\ delta_ {0}
\ end {масив}\ праворуч),\ quad\ delta_ {i}\ in\ mathbb {R}\ nonnumber\]

(б) стверджують, що збуреність з найменшою нормою Фробеніуса, яка дестабілізує систему (робить систему не асимптотично стабільною) призведе до\(A + \Delta\) того, що на уявній осі має власне значення.

(c) Вивести точний вираз для найменшої норми Фробеніуса\(\Delta\) необхідної для дестабілізації вищезазначеної системи (тобто не\(\dot{x} = (A+\Delta)x\) є асимптотично стабільною). Дайте вираз для збурень\(\Delta\), яке досягає мінімуму.

(d) Оцініть свою відповідь у частині 3 для справи\(N = 2\), і\(a_{0} = a_{1}\).

Вправа 14.3 Періодичні контролери

(a) Показати, що періодично змінюється система у Вправі 7.4 асимптотично стабільна тоді і лише тоді, коли всі власні значення матриці\(\left[A_{N-1} \ldots A_{0}\right]\) мають величину менше 1.

(б)

(i) З огляду на систему

\ [x (k+1) =\ left (\ begin {масив} {cc}
0 & 1\
1 & -1
\ кінець {масив}\ праворуч) x (k) +\ лівий (\ begin {масив} {l}
0\
1
\ end {масив}\ праворуч) u (k),\ quad y (k) =\ лівий (\ begin {масив} {cc}
1 & 1) x (k)
\ кінець { масив}\ праворуч. \ номер\]

записати лінійне представлення системи із замкнутим контуром, отримане шляхом реалізації лінійного керування зворотним зв'язком на виході\(u(k) = g(k)y(k)\).

(ii) Виявляється, що немає постійного посилення,\(g(k) = g\) для якого вищевказана система є асимптотично стабільною. (Необов'язково: Показати це.) Однак розглянемо періодично змінюється систему, отриману шляхом змушення посилення приймати значення\(-1\) для парних,\(k\) а значення 3 для непарних\(k\). Показати, що будь-яка ненульова початкова умова в результуючій системі буде доведена до початку не більше ніж за 4 кроки. (Мораль цього полягає в тому, що періодично змінюється зворотний зв'язок на виході може робити більше, ніж постійний зворотний зв'язок на виході.)

Вправа 14.4 Системи затримки

Матеріал, який ми розглянули в класі, зосередився на скінченновимірних системах, тобто системах, які мають описи простору станів із скінченною кількістю змінних стану. Одним з класів систем, що не належать до класу скінченновимірних систем, є системи безперервного часу з затримками.

Розглянемо наступну примусову систему безперервного часу:

\[y(t)+a_{1} y(t-1)+a_{2} y(t-2)+\ldots+a_{N} y(t-N)=u(t) \quad t \geq N, t \in \mathbb{R}\nonumber\]

Це відоме як система затримки з співмірними затримками (кратними одній і тій же одиниці затримки). Ми припускаємо, що\(u(t) = 0\) для всіх\(t < N\).

(а) Показати, що ми можемо обчислити рішення\(y(t), t \geq N\), якщо\(y(t)\) воно повністю відоме в інтервалі\([0,N)\). Поясніть, чому ця система не може мати скінченновимірного опису простору станів.

(b) Для обчислення рішення,\(y(t)\) заданого початковими значеннями (позначити їх функцією\(f (t), t \in [0, N)\), яку ми будемо називати початковою функцією) та вхідних даних\(u\), корисно думати про кожне невід'ємне дійсне число як\(t=\tau+k\) з\(\tau \in[0,1)\) і є\(k\) невід'ємним цілим числом. Показати, що для кожного фіксованого рішення\(\tau\), оцінене в,\(\tau+k(y(\tau+k))\) може бути обчислене за допомогою дискретних методів часу і може бути виражено через матрицю

\ [A=\ ліворуч (\ почати {масив} {ccccc}
0 & 1 & 0 & 0 &\ ldots & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 &\ ldots & 0\
\ ldots & 0\\ vdots &\ vdots\\ vdots\\ vdots\\\
-a_ {N} & -a_ {N-1} &\ ldots &\ ldots &\ ldots & -a_ {1}
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]

і початковий вектор

\[(f(\tau) \quad f(\tau+1) \quad \ldots \quad f(\tau+N-1))^{T}\nonumber\]

Запишіть загальне рішення для\(y(t)\).

(c) Обчислити\(N = 2, f (t) = 1\) розв'язок для t\ in [0, 2)\) та\(u(t) = e^{-(t-2)}\) для\(t \geq 2\)

(d) Ця система асимптотично стабільна, якщо для кожного\(\epsilon > 0\), існує\(\delta > 0\) така, що для всіх початкових функцій з\(|f(t)|<\delta, t \in[0, N)\), і\(u = 0\), з цього випливає\(|y(t)|<\epsilon\), і\(\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=0\). Дайте необхідну і достатню умову для асимптотичної стійкості цієї системи. Поясніть свою відповідь.

(e) Дайте необхідну та достатню умову для того, щоб вищевказана система була стабільною (\(\infty\)-стабільною). Перевірте свою відповідь.

Вправа 14.5 Локальна стабілізація

(a) Одним із методів стабілізації нелінійної системи є лінеаризація її навколо точки рівноваги, а потім стабілізація отриманої лінійної системи. Більш формально розглянемо нелінійну інваріантну в часі систему

\[\dot{x}=f(x, u)\nonumber\]

і її лінеаризація навколо точки рівноваги\((\tilde{x}, \tilde{u})\)

\[\dot{\delta} x=A \delta x+B \delta u\nonumber\]

Як завжди,\(\delta x=x-\tilde{x}\) і\(\delta u=u-\tilde{u}\). Припустимо, що зворотний зв'язок\(\delta u=K \delta u\) асимптотично стабілізує лінеаризовану систему

1. Що вже говорити про власні значення матриці A + BK.
2. Показати, що\(\dot{x} = f (x, Kx)\) є (локально) асимптотично стабільним навколо\(\tilde{x}\)

(b) Розглянемо динамічну систему, що\(S_{1}\) регулюється наступним диференціальним рівнянням:

\[\ddot{y}+\dot{y}^{4}+\dot{y}^{2} u+y^{3}=0\nonumber\]

де\(u\) знаходиться вхід.

1. Запишіть представлення простору стану для системи\(S_{1}\) і знайдіть її унікальну точку рівноваги\(x^{*}\).
2. Тепер спробуємо застосувати вищевказаний метод до системи\(S_{1}\) в точці рівноваги\(x^{*}\) і\(u^{*}=0\). Чи надає лінеаризована система інформацію про стабільність роботи\(S_{1}\). Поясніть, чому метод виходить з ладу.

(c) Щоб знайти стабілізуючий контролер для\(S_{1}\), нам потрібно дотримуватися підходів, які не засновані на локальній лінеаризації. Один з підходів полягає в тому, щоб вибрати позитивну певну функцію станів, а потім побудувати управління таким чином, щоб ця функція стала функцією Ляпунова. Це може бути дуже неприємним вправою. Хитрість, яка зазвичай використовується, полягає в тому, щоб знайти вхід як функцію станів, так що результуюча система належить до класу систем, які, як відомо, стабільні (наприклад, нелінійна схема або механічна система, яка, як відомо, стабільна). Скористайтеся цією ідеєю, щоб знайти вхід\(u\) як функцію станів, таких, що\(S_{1}\) є стабільним.

Вправа 14.6

Для системи

\ [\ begin {масив} {l}
\ точка {x} (t) =\ sin [x (t) +y (t)]\
\ точка {y} (t) =e^ {x (t)} -1
\ кінець {масив}\ nonumber\]

визначити всі точки рівноваги і за допомогою непрямого методу Ляпунова (тобто лінеаризації) класифікувати кожну точку рівноваги як асимптотично стійку або нестабільну.

Вправа 14.7

Для кожної з наступних частин, всі вони необов'язкові, використовуйте непрямий метод Ляпунова, щоб визначити, чи є походження асимптотично стійкою або нестабільною точкою рівноваги.

(a)\ [\ begin {масив} {l}
\ точка {x} _ {1} =-x_ {1} +x_ {2} ^ {2}\
\ точка {x} _ {2} =-x_ {2}\ лівий (x_ {1} +1\ правий)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

(b)\ [\ почати {масив} {l}
\ точка {x} _ {1} =x_ {1} ^ {3} +x_ {2}\
\ точка {x} _ {2} =x_ {1} -x_ {2}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

(c)\ [\ begin {масив} {l}
\ точка {x} _ {1} =-x_ {1} +x_ {2}\
\ точка {x} _ {2} =-x_ {2} +x_ {1} ^ {2}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

(d)\ [\ почати {масив} {l}
x_ {1} (k+1) =2 x_ {1} (k) +x_ {2} (k) ^ {2}\
x_ {2} (k+1) =x_ {1} (k) +x_ {2} (k)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

(e)\ [\ begin {масив} {l}
x_ {1} (k+1) =1-e^ {x_ {1} (k) x_ {2} (k)}\\
x_ {2} (k+1) =x_ {1} (k) +2 x_ {2} (k)
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Вправа 14.8

Для кожної з нелінійних систем нижче побудувати лінеаризацію для точки рівноваги на початку, оцінити стійкість лінеаризації і вирішити (використовуючи результати непрямого методу Ляпунова), чи можна зробити висновок про стійкість рівноваги нелінійної система у витоку. Тоді за допомогою прямого методу Ляпунова доведіть, що походження насправді стабільне в кожному випадку; якщо ви можете зробити подальші аргументи, щоб фактично вивести асимптотичну стабільність або навіть глобальну асимптотичну стабільність, зробіть це. [Підказки: У частині (a) знайти відповідну функцію Ляпунова (енергія), інтерпретувавши модель як динамічне рівняння для маси, прикріпленої до нелінійної (кубічної) пружини. У частинок (б) і (в) спробуйте просту квадратичну функцію Ляпунова форми\(px^{2} + qy^{2}\), потім вибирайте\(p\) і\(q\) відповідним чином. У частині (г) використовуйте зазначену функцію Ляпунова.]

(a)\ [\ begin {масив} {l}
\ точка {x} =y\
\ точка {y} =-x^ {3}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

(b)\ [\ begin {масив} {l}
\ точка {x} =-x^ {3} -y^ {2}\
\ точка {y} =x y-y^ {3}
\ end {масив}\ nonumber\]

(c)\ [\ почати {вирівняний}
x_ {1} (k+1) &=\ розрив {x_ {2} (k)} {1+x_ {2} ^ {2} (k)}\\
x_ {2} (k+1) &=\ розрив {x_ {1} (k)} {1+x_ {2} ^ {2} (k})
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

(d)\ [\ почати {вирівняний}
\ точка {х} &= у (1-х)\
\ точка {y} &=-x (1-y)\\
V (x, y) &=-х-\ ln (1-х) -y-\ ln (1-y)
\ кінець {вирівняний}\ номер\]