14.2: Непрямий метод Липанунова - аналіз лінеаризації

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33486

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Припустимо, система

\[\dot{x}=f(x) \label{14.8}\]

має точку рівноваги в\(\bar{x} = 0\) (рівновага в будь-якому іншому місці може бути вирішена шляхом попередньої зміни змінних для переміщення цієї рівноваги до початку). Припустимо, ми можемо написати

\[f(x)=A x+h\tag{x}\]

де

\[\lim _{\|x\| \rightarrow 0} \frac{\|h(x)\|}{\|x\|}=0\nonumber\]

тобто\(h(x)\) позначає члени, які мають більш високий порядок, ніж лінійний, і\(A\) є якобійською матрицею, пов'язаною з лінеаризацією (14,8) про точку рівноваги. Таким чином, лінеаризована система задається

\[\dot{x}=A x \label{14.9}\]

Можна очікувати, що якщо Equation\ ref {14.9} асимптотично стабільне, то в невеликому оточенні навколо точки рівноваги система в Equation\ ref {14.8} поводиться як Equation\ ref {14.9} і буде стабільною. Це зроблено точним у наступній теоремі.

Теорема 14.3

Якщо система, описана Equation\ ref {14.9}, є асимптотично стійкою, то точка рівноваги системи (Equation\ ref {14.8}) на початку є (локально) асимптотично стабільною.

Доказ

Якщо система (14.9) асимптотично стабільна, то для будь-якої існує\(P > 0\) така\(Q > 0\), що

\[A^{T} P+P A=-Q\nonumber\]

і\(V (x) = x^{T} P x\) є функцією Ляпунова для системи (14.9). Розглянемо\(V (x)\) як функцію Ляпунова кандидата в систему (14.8). Тоді

\ [\ почати {вирівняний}
\ точка {V} (x) &=x^ {T}\ ліворуч (A^ {T} Р+П А\ праворуч) x+2 x^ {T} Р h (x)\\
&\ leq-\ лямбда _ {\ хв} (Q)\ |x\ |^ {2} +2\ |x\ |\ cdot\ |h\\ cdot\ лямбда_ {\ max} (P)\\
&\ leq-\ ліворуч [\ лямбда_ {\ min} (Q) -2\ lambda_ {\ max} (P)\ frac {\ |h (x)\ |} {\ |x\ |}\ праворуч]\ cdot\ |x\ |^ {2}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

З припущення\(h\), для кожного\(\epsilon > 0\), існує\(r > 0\) таке, що

\[\|h(x)\|<\epsilon\|x\|, \quad \forall\|x\|<r\nonumber\]

Це означає,\(\dot{V}\) що строго негативно для всіх\(\|x\|<r\), де\(r\) вибирається для

\[\epsilon<\frac{\lambda_{\min }(Q)}{2 \lambda_{\max }(P)}\nonumber\]

На цьому доказ закінчується.

Зауважте, що асимптотичну стійкість точки рівноваги системи (14.8) можна зробити висновок з асимптотичної стійкості лінеаризованої системи (14.9) лише тоді, коли власні значення\(A\) мають від'ємні дійсні частини. Також можна показати, що якщо в правій половині площини є будь-яке власне значення A, тобто якщо лінеаризація експоненціально нестабільна, то точка рівноваги нелінійної системи нестабільна. Вищевказана теорема є непереконливою, якщо на уявній осі є власнізначення, але жодного в правій половині площини. У цьому випадку визначальну роль у визначенні стійкості можуть відігравати члени нелінійної моделі вищого порядку; наприклад, якщо лінеаризація поліноміально (а не експоненціально) нестабільна, через наявність одного або декількох блоків Йордана розміром більше 1 для власних значень на уявній осі (і відсутність власних значень у правій половині площини), то члени вищого порядку все ще можуть викликати стабільність точки рівноваги.

Виявляється, більш сильні версії попередньої теореми утримують, якщо не\(A\) має власних значень на уявній осі: не тільки властивості стійкості точки рівноваги, але і локальна поведінка (14.8) можуть бути пов'язані з поведінкою (14.9). Ми не будемо обговорювати ці результати далі тут. Подібні результати мають для дискретних систем часу.

Приклад 14.4

Рівняння руху для маятника з тертям

\ [\ почати {вирівняний}
\ точка {x_ {1}} &=x_ {2}\
\ точка {x_ {2}} &=-x_ {2} -\ sin x_ {1}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Дві точки рівноваги системи знаходяться в\((0, 0)\) і\((\pi, 0)\). Лінеаризована система на початку задається

\ [\ begin {масив} {l}
\ точка {x_ {1}} =x_ {2}\
\ точка {x_ {2}} =-x_ {1} -x_ {2}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

або

\ [\ точка {x} =\ left [\ begin {масив} {cc}
0 & 1\
-1 & 0
\ end {масив}\ праворуч] x = Ax\ nonumber\]

Це\(A\) має всі свої власні значення в OLHP. Звідси точка рівноваги на початку асимптотично стабільна. Зверніть увагу, однак, що якби не було демпфування, то лінеаризована система була б

\ [\ точка {x} =\ left [\ begin {масив} {cc}
0 & 1\
-1 & 0
\ end {масив}\ праворуч] х\ nonumber\]

і отримана матриця\(A\) має власні значення на уявній осі. Ніяких висновків з цієї ситуації можна зробити за допомогою методів лінеаризації Ляпунова. Прямий метод Ляпунова, навпаки, дозволив зробити висновок про стійкість навіть в разі нульового демпфування, а також дозволив деякі докладні глобальні висновки у випадку з демпфуванням.

Лінеаризація навколо точки рівноваги в (\(\pi, 0\)) дорівнює

\ [\ почати {масив} {л}
\ точка {z_ {1}} =z_ {2}\
\ точка {z_ {2}} =+z_ {1} -z_ {2}
\ кінець {масив}\ nonumber\]

де\(z_{1}=x_{1}-\pi\) і\(z_{2}=x_{2}\), таким чином, ці змінні позначають (малі) відхилення\(x_{1}\) і\(x_{2}\) від їх відповідних значень рівноваги. Звідси

\ [A=\ left [\ begin {масив} {cc}
0 & 1\
1 & -1
\ end {масив}\ праворуч] x=A x,\ nonumber\]

який має в РХП одне власне значення, що вказує на те, що ця точка рівноваги нестабільна.