14.1: Квадратичні функції Ляпунова для систем LTI
- Page ID
- 33471
Розглянемо систему безперервного часу
\[\dot{x}(t)=A x(t). \ \tag{14.1}\]
Ми вже встановили, що система (14.1) асимптотично стабільна тоді і тільки тоді, коли всі власні значення\(A\) знаходяться у відкритій лівій половині площини. У цьому розділі ми покажемо, що цей результат можна зробити з теорії Ляпунова. Більш того, буде показано, що квадратичних функцій Ляпунова вистачає. Наслідком цього є те, що стабільність можна оцінити методами, які можуть бути обчислювально-простішими, ніж власний аналіз. Що ще важливіше, квадратичні функції Ляпунова і пов'язана з ними математика виявляються в безлічі інших завдань, тому їх варто освоїти в контексті оцінки стійкості.
Квадратичні позитивні - визначені функції
Розглянемо функцію
\[V(x)=x^{T} P x, \quad x \in \mathbb{R}^{n}\nonumber\]
де\(P\) симетрична матриця. Це загальна форма квадратичної функції в\(\mathbb{R}^{n}\). Достатньо розглянути симетричні матриці; якщо\(P\) не симетричні, ми можемо визначити\(P_{1}=\frac{1}{2}\left(P+P^{T}\right)\). Відразу випливає, що\(x^{T} P x=x^{T} P_{1} x\) (перевірити, використовуючи той факт, що\(x^{T} P x\) є скаляром).
Пропозиція 14.1
V (x) є додатною визначеною функцією тоді і тільки тоді, коли всі власні значення\(P\) є додатними
- Доказ
-
Так як\(P\) є симетричним, то його можна діагонально діагональної матрицею, т. Е.
\[ P = U^{T}DU \text{ with} U^{T}U =I \text{ and} D \text{ diagonal}\nonumber\]
Тоді, якщо\(y = Ux\)
\[V(x)=x^{T} U^{T} D U x=y^{T} D y=\sum_{i} \lambda_{i}\left|y_{i}\right|^{2}\nonumber\]
Таким чином,
\[V(x)>0 \quad \forall x \neq 0 \Leftrightarrow \lambda_{i}>0, \forall i\nonumber\]
Визначення 14.1
Матриця\(P\), яка задовольняє
\[x^{T} P x>0 \quad \forall x \neq 0 \ \tag{14.2}\]
називається позитивним певним. Коли\(P\) симетричний (що зазвичай викликає інтерес, з причини, згаданої вище), ми позначимо його позитивну визначеність шляхом\(P > 0\). Якщо\(x^{T} P x \geq 0 \forall x \neq 0\),\(P\) то позитивне напіввизначене, яке ми позначимо в симетричному відмінку по\(P \geq 0\).
Для симетричної позитивної певної матриці слід, що
\[\lambda_{\min }(P)\|x\|^{2} \leq V(x) \leq \lambda_{\max }(P)\|x\|^{2}\nonumber\]
Ця нерівність випливає безпосередньо з доказу Пропозиції 14.1.
З наведеного вище обговорення також видно, що сингулярні значення та власні значення будь-якої позитивної певної матриці збігаються.
Вправа
Показати, що\(P > 0\) якщо і тільки якщо\(P = G^{T} G\) де\(G\) неоднина. Матриця\(G\) називається квадратним коренем\(P\) і позначається символом\(P^{\frac{1}{2}}\). Показати, що\(H\) це інший квадратний корінь\(P\) if і тільки якщо\(G = WH\) для якоїсь ортогональної матриці\(W\). Бачите, як побудувати симетричний квадратний корінь? (Можливо, вам буде корисно почати з власного розкладання\(P = U^{T} DU\), де\(U\) ортогональне і\(D\) діагональне.)
Квадратичні функції Ляпунова для систем КТ LTI
Розглянемо визначення функції Ляпунова кандидата форми
\[V(x)=x^{T} P x, \quad P>0, \ \tag{14.3}\]
для системи (14.1). Тоді
\ [\ почати {вирівняний}
\ точка {V} (x) &=\ точка {x} ^ {Т} Р х+х^ {Т} Р\ точка {x}\
&= x^ {T} А^ {Т} Р х+х^ {Т} П А х\\
&=х^ {Т}\ ліворуч (А^ {Т} П+П А\ вправо) х\\
=-x^ {T} Q x
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]
де ми ввели позначення\(Q=-\left(A^{T} P+P A\right)\); зверніть увагу, що\(Q\) є симетричним. Тепер викликаючи результати стійкості Ляпунова з лекції 5, ми бачимо, що\(V\) є функцією Ляпунова\(Q \geq 0\), якщо в цьому випадку точка рівноваги на початку системи (14.1) стабільна, тобто якщо\(Q > 0\), то точка рівноваги на початку є глобально асимптотично стабільною. . В останньому випадку походження повинно бути єдиною точкою рівноваги системи, тому ми зазвичай говоримо, що система (а не просто точка рівноваги) асимптотично стабільна.
Попередні співвідношення показують, що для того, щоб знайти квадратичну функцію Ляпунова для системи (14.1), ми можемо вибрати,\(Q > 0\) а потім спробувати вирішити рівняння
\[A^{T} P+P A=-Q \ \tag{14.4}\]
для\(P\). Це рівняння називається рівнянням Ляпунова, і є лінійною системою рівнянь в записах\(P\). Якщо у нього є рішення, то він має симетричне рішення (покажіть це!) , Тому розглядаємо тільки симетричні рішення. Якщо він має позитивне певне рішення\(P > 0\), то ми, очевидно, маємо функцію Ляпунова\(x^{T} P x\), яка дозволить довести асимптотичну стійкість системи (14.1). Цікавим у системах LTI є те, що зворотне також має місце: Якщо система асимптотично стабільна, то рівняння Ляпунова (14.4) має позитивне певне рішення\(P > 0\) (яке, як ми покажемо, є унікальним). Цей результат викладено і доведено в наступній теоремі.
Теорема 14.1
Враховуючи динамічну систему (14.1) та будь-яку\(Q > 0\), існує додатне певне\(P\) розв'язання рівняння Ляпунова
\[A^{T} P+P A=-Q\nonumber\]
якщо і тільки тоді, коли всі власні значення\(A\) знаходяться у відкритій лівій півплощині (OLHP). Рішення\(P\) в даному випадку унікальне.
- Доказ
-
Якщо\(P > 0\) є розв'язком (14.4), то\(V (x) = x^{T} P x\) є функцією Ляпунова системи (14.1) з\(\dot{V} (x) < 0\) для будь-якої\(x \neq 0\). Отже, система (14.1) є (глобально) асимптотично стабільною і, отже, власні значення\(A\) знаходяться в OLHP.
Щоб довести зворотне, припустимо,\(A\) має всі власні значення в OLHP, і\(Q > 0\) задано. Визначте симетричну матрицю\(P\) за
\[P=\int_{0}^{\infty} e^{t A^{T}} Q e^{t A} d t. \ \tag{14.5}\]
Цей інтеграл добре визначено, оскільки integrand розпадається експоненціально до початку, оскільки власні значення\(A\) знаходяться в OLHP. Зараз
\ [\ почати {вирівняний}
А^ {Т} П+П А &=\ int_ {0} ^ {\ інфти} А^ {Т} е^ {т А^ {Т}} Q e^ {т А} д т+\ int_ {0} ^ {\ інфти} e^ {t A^ {T}} Q e^ {t A} A d\\
&int_ {0} ^ {\ infty}\ розриву {d} {d t}\ ліворуч [e^ {t A^ {T}} Q e^ {t A}\ праворуч] д т\\
&=-Q
\ кінець {вирівняний\ номер\]так\(P\) задовольняє рівняння Ляпунова.
Щоб довести, що\(P\) є позитивним певним, зверніть увагу, що
\ [\ почати {вирівняний} х
^ {Т} Р х &=\ int_ {0} ^ {\ infty} x^ {T} e^ {t A^ {T}} Q e^ {t A} x d\
&=\ int_ {0} ^ {\ infty}\ ліворуч\ |Q^ {\ frac {1} {2}} e^ {t A} x праворуч\ |^ {2} d t\ geq 0
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]і
\[x^{T} P x=0 \Rightarrow Q^{\frac{1}{2}} e^{t A} x=0 \Rightarrow x=0\nonumber\]
де\(Q^{\frac{1}{2}}\) позначає квадратний корінь з\(Q\). \(P\)Звідси позитивний певний.
Щоб довести, що\(P\) визначене в (14.5) є унікальним розв'язком (14.4), коли\(A\) має всі власні значення в OLHP, припустимо, що P2 є іншим розв'язком. Тоді
\ [\ почати {вирівняний}
P_ {2} &=-\ int_ {0} ^ {\ infty}\ frac {d} {d t}\ лівий [e^ {t A^ {T}} P_ {2} e^ {t A}\ правий] d t\ quad (\ text {перевірити цю особу})\\
&=-\ int_ {0} ^ {\ infty} e^ {t A^ {T}}\ ліворуч (A^ {T} P_ {2} +P_ {2} A\ праворуч) e^ {t A} д т\\
&=\ int_ {0} ^ {\ infty} e^ { t A^ {T}} Q e^ {t A} d t = P
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]На цьому доказ теореми завершено.
Відомі різноманітні узагальнення цієї теореми.
Квадратичні функції Ляпунова для систем DT LTI
Розглянемо систему
\[x(t+1)=A x(t)=f(x(t)) \ \tag{14.6}\]
Якщо
\[V(x)=x^{T} P x, \nonumber\]
потім
\[\dot{V}(x) \triangleq V(f(x))-V(x)=x^{T} A^{T} P A x-x^{T} P x. \nonumber\]
Це отримане рівняння Ляпунова для вивчення є
\[A^{T} P A-P=-Q. \ \tag{14.7}\]
Наступна теорема аналогічна тому, що ми довели в випадку КТ, і залишаємо її доказ як вправу.
Теорема 14.2
Враховуючи динамічну систему (14,6) та будь-яку\(Q > 0\), існує додатне певне\(P\) розв'язання рівняння Ляпунова
\[A^{T} P A+P=-Q\nonumber\]
якщо і тільки тоді, коли всі власні значення\(A\) мають величину менше 1 (тобто знаходяться у відкритому одиничному диску). Рішення\(P\) в даному випадку унікальне.
Приклад 14.1 Диференціальне включення
У багатьох ситуаціях еволюція динамічної системи може бути невизначеною. Одним із способів моделювання цієї невизначеності є диференціальне (різницеве) включення, яке можна описати наступним чином:
\[\dot{x}(t) \subset\{A x(t) \mid A \subset \mathcal{A}\}\nonumber\]
де\(A\) - набір матриць. Розглянемо випадок, коли\(A\) є скінченна множина матриць і їх опуклі комбінації:
\[\mathcal{A}=\left\{A=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} A_{i} \mid \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i}=1\right\}\nonumber\]
Один із способів гарантувати стабільність цієї системи - знайти одну функцію Ляпунова для всіх систем, визначених\(\mathcal{A}\). Якщо шукати квадратичну функцію Ляпунова, то досить знайти таку,\(P\) яка задовольняє:
\[A_{i}^{T} P+P A_{i}<-Q, \quad i=1,2, \ldots m\nonumber\]
для деякого позитиву визначено\(Q\). Потім\(V (x) = x^{T} P x\) задовольняє\(\dot{V}(x)<-x^{T} Q x\) (перевіряє) показуючи, що система асимптотично стабільна.
Приклад 14.2 Набір обмеженої норми
У цій задачі ми зацікавлені у вивченні стійкості лінійних інваріантних систем виду,\(\dot{x}(t)=(A+\Delta) x(t)\) де\(\Delta\) є реальна матрична збуреність з обмеженою нормою. Зокрема, нас цікавить обчислення хорошого прив'язаного за розміром найменшого збурень, яке дестабілізує стабільну матрицю\(A\).
Цю проблему можна віднести як проблему диференціального включення, як у попередньому прикладі з
\[\mathcal{A}=\{A+\Delta\|\| \Delta \| \leq \gamma, \Delta \text { is a real matrix }\}\nonumber\]
\(A\)Оскільки стабільна, ми можемо обчислити квадратичну функцію Ляпунова з матрицею, яка\(P\)\(Q\) задовольняє\(A^{T} P + P A < -Q\) і є додатною визначеною. Застосовуючи ту ж функцію Ляпунова до збуреної системі, отримаємо:
\[\dot{V}(x)=x^{T}\left(A^{T} P+P A+\Delta^{T} P+P \Delta\right) x\nonumber\]
Видно, що всі збурень задовольняють
\[\Delta^{T} P+P \Delta<Q\nonumber\]
призведе до стабільної системи. Це може бути гарантовано, якщо
\[2 \sigma_{\max }(P) \sigma_{\max }(\Delta)<\sigma_{\min }\tag{Q}\]
Це забезпечує пов'язане з збуренням, хоча воно потенційно консервативне.
Приклад 14.3 Обмежене збурення
Приведення збурень у попередньому прикладі з точки зору диференціального включення вводить ступінь консерватизму в тому, що значення\(\Delta\) приймає може змінюватися як функція часу. Розглянемо систему:
\[\dot{x}(t)=(A+\Delta) x\tag{t}\]
де\(A\) відома фіксована стабільна матриця і\(\Delta\) є невідомою фіксованою реальною матрицею збурень. Запас стійкості цієї системи визначається як
\[\gamma(A)=\min _{\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}}\{\|\Delta\| \mid A+\Delta \text { is unstable }\}\nonumber\]
Ми хочемо обчислити хорошу нижню межу на\(\gamma(A)\). Попередній приклад дав один такий прив'язаний.
По-перше, легко стверджувати, що мінімізаційне рішення\(\Delta_{0}\) вищевказаної задачі призводить до\(A + \Delta_{0}\) наявності власних значень на уявній осі (або біля початку, або в двох складних сполучених місцях). Це є наслідком того, що власні значення\(A + p\Delta_{0}\) будуть безперервно рухатися в комплексній площині, оскільки параметр\(p\) змінюється від 0 до 1. Перетин з уявною віссю відбудеться при\(p = 1\); якщо ні, можна знайти збурень меншого розміру.
Ми можемо отримати нижню межу,\(gamma\) скинувши умову, яка\(\Delta\) є реальною матрицею, і дозволяючи складні матриці (чи зрозуміло, чому це дає нижню межу?). Ми можемо показати:
\[\min _{\Delta \in \mathbf{C}^{n \times n}}\{\|\Delta\| \mid A+\Delta \text { is unstable }\}=\min _{\omega \in \mathbb{R}} \sigma_{\min }(A-j \omega I)\nonumber\]
Щоб перевірити це, зверніть увагу, що якщо рішення мінімізації має власне значення на уявній осі, то\(j \omega_{0} I-A-\Delta_{0}\) має бути одниною, поки ми знаємо, що\(j \omega_{0} A\) це не так. Найменша можлива збуреність, яка досягає цього, має розмір\(\sigma_{\min }\left(A-j \omega_{0} I\right)\). Потім ми можемо вибрати\(\omega_{0}\), що дає найменший можливий розмір. У вправах ми ще більше покращуємо цю прив'язку.