Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.2: Мультиплікативне збудження

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    33320

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Теорема 5.2 (Малий коефіцієнт посилення)

    Враховуючи\(A \in \mathcal{C}^{m \times n}\),

    \[\min _{\Delta \in \mathbb{C}^{n \times m}}\left\{\|\Delta\|_{2} \mid I-A \Delta \text { is singular }\right\}=\frac{1}{\sigma_{1}(A)}\ \tag{5.4}\]

    Доказ

    Припустимо\(I - A \Delta\), це однина. Тоді існує\(x \neq 0\) таке, що

    \[(I - A \Delta)x=0 \nonumber\]

    тому

    \[\|A \Delta x\|_{2}=\|x\|_{2} \ \tag{5.5}\]

    З властивостей індукованих норм (див. Лекція 4 конспекти),

    \ [\ почати {вирівняний}
    \ |A\ Дельта х\ |_ {2} &\ leq\ |A\ _ {2}\ |\ Дельта х\ |_ {2}\\
    &=\ сигма_ {1} (A)\ |\ Дельта х\ |_ {2}
    \ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

    Підставивши результат в Equation (5.5) для\(\|A \Delta x\|_{2}\), знаходимо

    \[\|x\|_{2} \leq \sigma_{1}(A)\|\Delta x\|_{2}\nonumber\]

    Розподіл через\(\sigma_{1}(A)\|x\|_{2}\) врожайність

    \[\frac{\|\Delta x\|_{2}}{\|x\|_{2}} \geq \frac{1}{\sigma_{1}(A)}, \nonumber\]

    що має на увазі

    \[\|\Delta\|_{2} \geq \frac{1}{\sigma_{1}(A)} \ \tag{5.6}\]

    Щоб зробити висновок про доказ, ми повинні показати, що ця нижня межа може бути досягнута. Таким чином, ми будуємо a,\(\Delta\) яке задовольняє рівнянню (5.6) рівністю, а також викликає\((I - A \Delta)\) сингулярність. Для цього вибирайте

    \[\Delta=\frac{1}{\sigma_{1}(A)} v_{1} u_{1}^{\prime}\nonumber\]

    Зверніть увагу, що нижня межа (Рівняння (5.6)) задовольняється рівністю, тобто\(\|\Delta\|_{2}=1 / \sigma_{1}(A)\). Тепер вибираємо\(x = u_{1}\). Потім:

    \ [\ почати {вирівняний}
    (I-A\ Delta) x & =( I-A\ Дельта) u_ {1}\
    &=\ ліворуч (I-\ frac {A v_ {1} u_ {1} ^ {\ prime}} {\ sigma_ {1}}\ праворуч) u_ {1}\
    &=u_ {1} -\ піддумова {\ frac {A} v_ {1}} {\ сигма_ {1}}} _ {u_ {1}}\\
    &=u_ {1} -u_ {1}\ quad\ left (\ текст {так } A v_ {1} =\ sigma_ {1} u_ {1}\ праворуч)\\
    &=0
    \ кінець {вирівняний}\ nonumber\]

    На цьому доказ завершено.

    Щойно доведена теорема називається теоремою малого посилення. Причиною цього є те, що гарантія\((I - A \Delta)\) надається несингулярно.

    \[\|\Delta\|_{2}<\frac{1}{\|A\|_{2}}\nonumber\]

    Ця умова найчастіше пишеться як

    \[\|\Delta\|_{2}\|A\|_{2}<1, \ \tag{5.7}\]

    тобто, добуток прибутку менше одиниці.

    Зауваження:

    Фактично можна отримати результат адитивного збурень за допомогою методів мультиплікативних збурень. Припустімо, що\(A\) є оборотним, і\(\Delta\) є матрицею, яка робить її суму з\(A\) одниною. Так як

    \[ A + \Delta = A (I + A^{-1} \Delta ) \nonumber\]

    і\(A\) є неодниною, то\((I + A^{-1} \Delta )\) має бути одниною. За нашою роботою з мультиплікативними збуреннями ми знаємо, що\(\Delta\) асоційоване з найменшим\(\|\Delta\|_{2}\), що робить цю величину сингулярною, задовольняє

    \[\|\Delta\|_{2}=\frac{1}{\sigma_{1}\left(A^{-1}\right)}=\sigma_{n}\tag{A}\]