5.1: Аддитивна збуреність

Теорема 5.1

Припустимо\(A \in C^{m \times n}\), має повний стовпець\(rank (= n)\). Тоді

\[\min _{\Delta \in \mathbb{C}^{m \times n}}\left\{\|\Delta\|_{2} \mid A+\Delta \text { has rank }<n\right\}=\sigma_{n}(A)\ \tag{5.1}\]

Доказ

Припустимо\(A + \Delta\), має ранг\(< n\). Тоді існує\(x \neq 0\) таке, що\(\|x\|_{2}=1\) і

\[(A+ \Delta)x=0\nonumber\]

З тих пір\(\Delta x = -Ax\),

\ [\ почати {вирівняний}
\ |\ Дельта х\ |_ {2} &=\ |A x\ |_ {2}\\
&\ geq\ sigma {n} (A)
\ end {вирівняний}\\ тег {5.2}\]

З властивостей індукованих норм (див. Розділ 3.1) ми також знаємо, що

\[\|\Delta\|_{2}\|x\|_{2} \geq\|\Delta x\|_{2}\nonumber\]

Використовуючи рівняння (24.3) і той факт\(\|x\|_{2}=1\), що, ми досягаємо наступного:

\ [\ почати {вирівняний}
\ |\ Дельта\ |_ {2} &=\ |\ Дельта х\ |_ {2}\\
&\ geq\ sigma {n} (A)
\ кінець {вирівняний}\\ тег {5.3}\]

Щоб завершити доказ, ми повинні показати, що нижня межа з Рівняння (5.3) може бути досягнута. Таким чином, ми повинні побудувати\(\Delta\) так, що\(A + \Delta\) має ранг\(<n\) і\(\|\Delta\|_{2}=\sigma_{n}(A)\); таке\(\Delta\) буде мінімізаційним рішенням. Для цього вибирайте

\[\Delta=-\sigma_{n} u_{n} v_{n}^{\prime}\nonumber\]

де\(u_{n}\),\(v_{n}\) - лівий і правий однини вектори, пов'язані з найменшим сингулярним\(\sigma_{n}\) значенням\(A\). Зверніть увагу, що\(<n\) і\(\|\Delta\|_{2}=\sigma_{n}(A)\). Цей вибір дає

\ [\ почати {вирівняний}
(A+\ Дельта) v_ {n} &=\ сигма_ {n} u_ {n} -\ сигма_ {n} u_ {n} v_ {n} ^ {*} v_ {n}\
&=\ sigma_ {n} u_ {n} -\ sigma_ {n} u_ {n} u_ {n} кінець {вирівняний}\ nonumber\]

Тобто\(A + \Delta\) має ранг\(< n\). На цьому доказ завершено.