10.6: Графіки кореневого локусу - ефект налаштування

Вступ

Графіки кореневих локусів показують коріння системного характеристичного рівняння (тобто лапласіана), як функцію керуючих змінних, таких як\(Kc\). Вивчаючи ці графіки, можна визначити стійкість різних значень контрольної змінної. Типовою передавальною функцією є вид\(G(s) = Y(s)/U(s)\).

• Полюси: U (s) = 0
• Нулі: Y (s) = 0

Іншими словами, після факторизації полюси - коріння знаменників, а нулі - коріння чисельника. Стійкість залежить тільки від величини полюсів. Система є стабільною для всіх значень керуючих змінних, що призводить до того, що значення реальної частини кожного полюсного значення менше нуля.Лінії графіка Кореневого локусу відображають полюси для значень контрольних змінних від нуля до нескінченності на складній системі координат. Ці ділянки завжди матимуть лінію симетрії на\(i = 0\).

Замкнутий контур проти розімкнутого циклу

Система із замкнутим циклом використовує управління зворотним зв'язком, де вихід впливає на вхід. При замкнутому контурі коливання зазвичай вводяться, а тому можуть стати нестабільними. На відміну від систем з відкритим контуром, замкнутий контур включає в себе клапани та контролери.

У системі з відкритим контуром вихід не порівнюється і не впливає на вхід. У системі з розімкнутим контуром коливання не вводяться і тому не можуть стати нестабільними. Система з відкритим контуром, однак, може бути неточною, оскільки вона не враховує динаміку управління. Системи з відкритим контуром включатимуть схеми управління подачею вперед або схеми керування за часом. Дві схеми нижче зображують цю різницю при спробі контролювати температуру у вашій квартирі. (Натисніть на зображення для збільшення роздільної здатності).

На цій схемі терморегулятор представляє зворотний зв'язок з обігрівачем для його включення або виключення.

Так як обігрівач включається тільки в 10 вечора, то це передбачає, що кількість часу, коли ви відкриваєте двері, буде однаковим кожен день. Вважається відкритою системою, так як температура в приміщенні не залежить від контролера обігрівача.

Зверніть увагу, що всі приклади, представлені на цій веб-сторінці, обговорюють системи із замкнутим циклом, оскільки вони включають всі системи зі зворотним зв'язком.

Складні системи координат

Ділянки кореневих локусів - це ділянка коренів характеристичного рівняння на складній системі координат. Складна система координат дозволяє будувати складне число як з дійсними, так і уявними частинами. Реальна складова наноситься на вісь x, а уявна складова наноситься на вісь y. При створенні кореневих локусів ділянки уявні коріння повинні бути вирішені для. Ці уявні корені походять у складних сполучених парах (це можна побачити нижче в розділі «Побудова полюсів на складній системі координат, щоб зробити ділянку кореневого локусу»).

Наприклад, нижче наведено графік наступних комплексних чисел. Ці комплексні числа можна розбити на дійсну і уявну складові, щоб полегшити графік.

Розробка характеристичного рівняння

Хоча основна увага цієї статті полягає в обговоренні ділянок кореневих локусів, необхідно коротко згадати, як визначити характеристичне рівняння для системи, щоб отримати ділянку кореневого локусу. В цілому більшість процесів хімічної інженерії можна описати системою звичайних диференціальних рівнянь. Виконайте наступні кроки, щоб визначити характеристичне рівняння для системи (що дозволить розробити ділянку кореневого локусу).

1. Якщо ОД не лінійні, лінеаризуйте їх. (Див. це посилання для отримання додаткової інформації про лінеаризацію ODE <controls.engin.umich.edu/wiki/index.php/LinearizingODEs>)
2. Після лінеаризації ОДУ використовуйте матричну алгебру, щоб знайти власні значення вашої системи. Будьте обережні, щоб не вставляти числові значення для параметрів керування (наприклад, залиште Kc як Kc, а не Kc = 1). (Для отримання додаткової інформації про пошук власних значень <controls.engin.umich.edu/wiki/index.php/EigenvaluesEigenvectors>)
3. Поліноміальне рівняння, отримане для власногозначення, повинно містити лямбда і керуючі параметри. Це рівняння є характеристичним рівнянням. Отримати розв'язки цього рівняння шляхом встановлення значень для керуючих параметрів і розв'язання для власних значень. Отримані коріння будуть використані для створення схеми кореневих локусів.

Цей 3-етапний процес є дійсним для отримання характеристичного рівняння для будь-якої системи управління замкнутим контуром. Більш традиційним методом розробки характеристичних рівнянь є застосування перетворень Лапласа.

Лаплас перетворює

Перетворення Лапласа - це метод зміни лінійних звичайних диференціальних рівнянь у передавальну функцію. Всі передавальні функції, що використовуються в ділянках кореневих локусів, не залежать від часу, оскільки\(L[f(t)] ≣ F(s)\). Formally, the equation below shows that the time function is integrated, leaving only the variable \(s\).

\[\mathbf{F}(\mathbf{s})=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t \nonumber \]

s є комплексним числом, тому дозволяє будувати складні графіки системи координат. Точне рішення більшості порушень і контролерів можна знайти в будь-якій книзі управління. Будь ласка, завжди зверніться до вашої звичайної книги з математики диференціальних рівнянь для отримання додаткової інформації про перетворення Лапласа.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Підлягає визначенню стійкості хімічних реакторів серії. Реактори добре змішані та ізотермічні, і реакція першого порядку в компоненті А. вихідна концентрація другого реактора контролюється алгоритмом зворотного зв'язку PI, який маніпулює потоком реагента, який дуже значно менший, ніж потік розчинника. Датчик і кінцевий елемент приймаються швидкими, а дані процесу виглядають наступним чином.

Процес

• В= 5м ³
• ФС=5м ³ /хв >> ФА
• k = 1 хв ^-1
• vs= 50% відкрито
• СА ₀ = 20 моль/м ³
• СА ₀ (с) /v (s) = Kv= 0,40 (моль/м ³) (% відкрито)
• PI контролер Kc =?? Tf = 1 хв

Формулювання Функція передачі для процесу та контролера

\[G_{y}(s)=\frac{K_{y}}{(\tau s+1)(\tau s+1)} \nonumber \]

\[G_{c}(s)=K_{c}\left(1+\frac{1}{T_{f} s}\right) \nonumber \]

\[K_{y}=K_{v}\left(\frac{F}{F+V k}\right)=0.1 \frac{m o l e / m^{3}}{\%} \nonumber \]

\[\tau=\frac{V}{F+V R}=0.5 \mathrm{min} \nonumber \]

Окремі передавальні функції можуть бути об'єднані, щоб дати функцію передачі замкнутого циклу для зміни заданої точки, яка включає характеристичне рівняння. (де CV = Керуюча змінна & SP = сигнал заданої точки)

\[\frac{C V(s)}{S P(s)}=\frac{G_{p}(s) G_{v}(s) G_{c}(s)}{1+G_{r}(s) G_{v}(s) G_{c}(s) G_{s}(s)}=\frac{K_{p}\left(1+\frac{1}{s}\right) \frac{0.1}{(0.5 s+1)^{2}}}{1+K_{p}\left(1+\frac{1}{s}\right) \frac{0.1}{(0.5 s+1)^{2}}} \nonumber \]

Характеристичне рівняння

\[0=1+K_{p}\left(1+\frac{1}{s}\right) \frac{0.1}{(0.5 s+1)^{2}} \nonumber \]

Діаграми кореневих локусів

Графіки кореневих локусів - це метод оцінки поведінки системи управління. Створення ділянки кореневого локусу починається з визначення полюсів системи управління для заданого набору параметрів керування. Потім ці полюси будуються на складній системі координат, як показано в попередньому розділі, і аналізуються для визначення поведінки системи.

Визначення полюсів системи управління

«Полюси» системи є корінням демонінатора передавальної функції. Іншими словами, полюси - це значення «s», коли передавальна функція переходить в нескінченність (коли демонінатор дорівнює нулю). Для системи диференціальних рівнянь полюси - це власні значення системи рівнянь. Розглянемо наступне рішення системи диференціальних рівнянь:

\[f(s) = 48s^3 + 44s^2 + 12s + 1 \label{eq1} \]

Це рівняння є поліномом третього порядку, тому воно матиме три полюси (майте на увазі, що деякі з цих полюсів можуть бути уявними числами). Ці полюси можна отримати шляхом факторингу виразу або за допомогою комп'ютерної програми типу Maple. Три полюси, або коріння, цього рівняння є s = -0.167, -0.25, -0.5.

Для системи диференціальних рівнянь пошук власних значень може зайняти багато часу, а використання Matlab, Maple або Mathematica є більш ефективним. Одним з методів було б використовувати функцію Mathematica власні значення [] для вирішення системи для вас. Ця функція пояснюється у розділі Власні значення та власні вектори тексту вікі.

Побудова полюсів на складній системі координат, щоб зробити ділянку кореневого локусу

Графік кореневого локусу створюється шляхом побудови отриманих полюсів на складній системі координат. Для системи P-only керування керуючі диференціальні рівняння залежатимуть від пропорційного коефіцієнта посилення, Kc. Розглянемо наступне рішення системи диференціальних рівнянь:

\[f(s)=48 s^{3}+44 s^{2}+12 s+1+6 Kc \label{2} \]

Зверніть увагу, що Kc є терміном у цьому рівнянні. Тому існує набір полюсів для кожного значення Kc. Якщо Kc = 0, то рівняння #2 зводиться до рівняння #1, а полюси - як зазначено вище. У таблиці 1 наведено три полюси системи для заданих значень Kc. Ці полюси були розраховані за допомогою системи комп'ютерної алгебри, оскільки непрактично спробувати оцінити ці функції аналітичними методами.

Таблиця 1- Полюси характеристичного рівняння

Щоб створити графік кореневого локусу, кожен полюс розбивається на дійсний (вісь x) та уявний (вісь y) компонент (таблиця 2):

Таблиця 2- Реальна та уявна складові кожного полюса

Малюнок 1- Діаграма кореневого локусу характеристичного рівняння

За умовністю червоні стрілки малюються на ділянці в бік збільшення значень Kc. Вони допомагають проілюструвати, як змінюються коріння системи, змінюючи значення Kc. Також за домовленістю точки, в яких Kc = 0, представлені позначками 'x' замість крапок.

Інтерпретація діаграми кореневого локусу

Основне використання діаграми кореневого локусу полягає в оцінці того, як різні значення Kc впливають на стабільність і поведінку системи управління.

Стійкість системи управління залежить від знака реальної складової полюса. Якщо реальні компоненти всіх полюсів негативні, то система, як кажуть, стабільна для цього значення Kc. Якщо реальна складова полюса позитивна, система нестабільна для цього значення Kc, тобто вихідний сигнал буде розходитися з заданою точкою.

Поведінка системи управління залежить від наявності уявної складової полюса. Якщо будь-який з трьох полюсів містить уявний числовий компонент, то це значення Kc призведе до коливання вихідного сигналу. Якщо всі полюси дійсні (не містять уявних компонентів), вихідний сигнал не буде коливатися при цьому значенні Kc.

Будь ласка, зверніться до діаграми кореневого локусу на малюнку 1. Система стає нестабільною (тобто дійсна складова полюсів стає позитивною) для Kc > 1.67 та Kc < 0. У межах стійкості коливань (тобто немає уявної складової) не спостерігається при 0 < Kc < 0,004.

Діаграми кореневих локусів для PID управління

Діаграми кореневих локусів набагато складніше створити для ПІД-контролю. Характеристичне рівняння буде містити невідомі змінні Kc, Ti і Td. Тому кожна точка на діаграмі кореневого локусу буде представляти набір параметрів налаштування. Для того, щоб показати прогресію при зміні кожного параметра налаштування, отримана діаграма буде тривимірною поверхневою графіком. Через складність цієї діаграми ми її створювати не будемо, так як вона виходить за рамки цього тексту. Однак аналіз стійкості все ще може бути застосований до характеристичного рівняння. Візьмемо для прикладу рівняння\ ref {eq3}:

\[f(s)=\frac{48 s^{3}+44 s^{2}+12 s+1+6 K c}{T i+3 T d} \label{eq3} \]

У цьому теоретичному випадку рівняння 3 - це характеристичне рівняння, що керує тією ж системою, згаданою вище, тільки тепер з ПІД-керуванням. Зверніть увагу на додаткову наявність термінів Ti і Td. Під контролем лише P ця система була стабільною для значень Kc від 0 до 1.67. Чи буде те ж саме, якби ця система була налаштована за допомогою ПІД-контролю?

Припустимо, ми хочемо перевірити умови Kc = 1.0, Ti = 0,3 і Td = 0,1. Ці значення були обрані випадковим чином. За допомогою комп'ютерного програмного комплексу було визначено три корені: r1 = -0,827, r2 = -0,044 + 0,417i, r3 = -0.044 — 0.417i. Тому, оскільки справжні складові всі негативні, система все ще стабільна. Оскільки присутні складні коріння, очікується, що реакція коливатиметься навколо заданої точки.

Створення ділянок кореневих локусів за допомогою Mathematica

Mathematica дозволяє розробляти ділянки кореневих локусів для поліномів, оскільки математика, яка бере участь у вирішенні рішень, може стати дуже втомлюючою. Перш ніж ви зможете отримати ділянку кореневого локусу, потрібно вирішити для коренів. Ми будемо використовувати те саме рівняння, яке використовувалося в розділі «Визначення полюсів системи управління».

\[f(s) = 48s^3 + 44s^2 + 12s + 1 + 6K_c \nonumber \]

Функція Solve [] може бути використана для визначення коренів, як дійсних, так і уявних, для кожного відповідного значення Kc. Синтаксис у Mathematica показаний нижче для вказаного рівняння, коли Kc = 0. Важливо відзначити, що для отримання результату необхідно натиснути «Shift Enter».

Нижче наведено лише для того, щоб показати, як Mathematica форматує вихідні дані, коли\(Kc ≠ 0\) і коли є уявні корені. В даному випадку,\(Kc = -0.167\).

Це можна зробити для всіх значень Kc для отримання відповідних дійсних і уявних коренів. Після того, як всі корені були розраховані, можна скласти таблицю для форматування дійсних коренів (вісь х) віршів уявних коренів (вісь y). Коли використовується синтаксис A= {{x, y} {a, b}...}, ви вводите всі значення x і y і називаєте ці значення A. Коли ви викликаєте A у функції TableForm [], таблиця буде складена відповідно до всіх значень x та y, введених у A. Синтаксис і відповідні виходи наведені нижче.

Для того, щоб створити таблицю, наведену вище, вам потрібно лише TableForm [A] і нічого іншого. Інші описи (тобто. TableAignments і TableHeadings) використовуються тільки для форматування цілей.

Після того, як дійсні (x) та уявні (y) коріння були визначені та введені в табличний формат для вашого рівняння, функція ListPlot [] може бути використана для розробки вашої діаграми кореневого локусу, викликавши A.

Як бачите, функція ListPlot [] повернула той самий графік, який показано у розділі «Складна система координат для створення кореневого локусу» (ця ділянка була створена в Excel). Стрілки не відображаються на цьому графіку Mathematica; однак графік Excel показує напрямок збільшення значень Kc, щоб показати, як коріння системи змінюються, змінюючи значення Kc.

Браузер довідки Mathematica є дуже корисним інструментом для розуміння синтаксису. Наприклад, при використанні функції ListPlot [] ви можете шукати, як позначити осі та як зробити точки більшими (більш видимими) на графіку. Наступні приклади використовуються для ілюстрації використання ділянок кореневих локусів. Клацніть на наступне посилання, якщо ви хочете отримати доступ до фактичного файлу Mathematica: Media:rlpfinalaa.nb

Другий метод побудови з використанням масивів

Мета тут полягає в тому, щоб мати можливість точно зрозуміти, що відбувається з цими входами Mathematica, щоб краще зрозуміти виходи. По суті, після того, як ви знайшли власні значення системи, приклади яких можна знайти в інших областях вікі, ми хочемо вирішити їх явно. Після того, як ми вирішимо для Eigenvalue через змінні, ми можемо створити масив, змінюючи це значення і вирішуючи для дійсних і уявних членів власних значень.

Виходи власних значень в Mathematica

Власні значення можуть бути повернені як функція 'l', яка є позначенням Eigenvalue, або просто як складна функція з точки зору змінних. При поверненні як функції 'l' буде введено поліноміальний вхід, який потрібно спростити, щоб знайти 'l' як функцію змінної. В даному випадку: Kc.

Цей приклад взято безпосередньо з лекції 17 та її додаткового файлу Mathematica. Те, що тут відбувається, це те, що Якобіан був введений, і було знайдено кілька масивів власних значень. Останній масив має три комплексні поліноміальні функції, які дорівнюють 0. Останній рядок спрощує їх, вирішуючи для 'l '. Це поміщає спрощені власні значення в масив 'ss'.

Інший висновок власних значень просто у вигляді самих комплексних чисел. Замість того, щоб турбуватися про кроки спрощення, ці власні значення можуть бути безпосередньо введені як комплексне число в масив, знову називається «ss»:

Це варіація зразка в лекції 17.

Створення масиву сюжету

Тепер, коли ми бачили два способи створення масиву Eigenvalue, ми можемо використовувати їх для створення іншого масиву, який буде точками для сюжету. Тут ми будемо підставляти значення змінної Kc, щоб знайти різні значення власних значень, що дасть нам інформацію про зміни стабільності при зміні Kc.

У наведеному вище прикладі 'ss' має вигляд:

ParseError: EOF expected (click for details)

Callstack:
    at (Інженерна/Промислове_та_системного_машинобудування/Книга:_Динаміка_та_контроль_хімічних_процесів_(Woolf)/10:_Динамічний_системний_аналіз/10.06:_Графіки_кореневого_локусу_-_ефект_налаштування), /content/body/div[6]/div[2]/p[3]/span, line 1, column 10

Кожен розв'язок в цьому масиві має вигляд l -> a+bi. Наприклад, ss відноситься до solution2, який є об'єктом у другій позиції в ss. Re [l/.ss] застосовує solution2 до змінної l, а потім повертає тільки дійсну частину. Im [l/.ss] застосовує solution2 до змінної l, а потім повертає тільки уявну частину. Ефект функції Append вище полягає в тому, що впорядкована пара {a, b} (з розв'язку виду a+bi) додається до масиву з назвою 'a'.

Однак не всі масиви власних значень матимуть однакову кількість власних значень. Наприклад, як зазначено у вищезгаданому пункті, 'ss' має вигляд:

ParseError: EOF expected (click for details)

Callstack:
    at (Інженерна/Промислове_та_системного_машинобудування/Книга:_Динаміка_та_контроль_хімічних_процесів_(Woolf)/10:_Динамічний_системний_аналіз/10.06:_Графіки_кореневого_локусу_-_ефект_налаштування), /content/body/div[6]/div[2]/p[4]/span, line 1, column 10

У масиві може бути 2, або 3, або більше окремих значень 'solution'. Залежно від кількості значень «рішення», у Mathematica буде інший формат функції «додати». Наприклад, на зображенні нижче є лише два власні значення в нашому масиві, для яких ми хочемо вирішити. Таким чином, для цього методу має бути тільки два рядки додавання до масиву:

Ці різні методи обидва виводять масиви чисел, які діють по суті як значення 'x' і 'y', або в даному випадку Real і Imaginary, для графіка. Масив 'a' будується таким чином:

Список сюжетів [a, Стиль сюжету -> Розмір точки [0.02]]

Це вводиться безпосередньо в систему Mathematica, яка створює ділянку кореневого локусу.

Приклад диференціального рівняння графіків кореневого локусу в Mathem

Приклад проблеми витягнув з осені 2008 другий іспит:

«Ви щойно взяли на себе відповідальність за проектування великомасштабного біореактора для виробництва препарату на основі білків блокбастера. Після деяких досліджень ви придумали наступну модель для опису реакторної системи:»

\[\dfrac{dX}{dt} = − 2X + \dfrac{10 X S}{S + 2} \nonumber \]

\[\dfrac{dS}{dt} = 4 Fin − S − \dfrac{3 X S}{S + 2} \nonumber \]

\[\dfrac{dP}{dt} = 9 X − 2 P \nonumber \]

де\(X\) концентрація клітин,\(S\) - концентрація поживних речовин, а\(P\) також білковий продукт. \(Fin\)це швидкість надходження поживних речовин в систему.

У цій системі є дві фіксовані точки, знайдені шляхом встановлення всіх диференціальних рівнянь рівних нулю та вирішення в Mathematica.

Дві фіксовані точки залежать від значення Fin, і при цьому змінні значення Fin змінюватимуть можливі власні значення. Оскільки ця задача зрештою зажадає графіків кореневих локусів для обох фіксованих точок, легше зберегти обидві точки як параметри, які будуть застосовані до загальних рівнянь пізніше. В цілому це допоможе зберегти потребу в надлишковому коді. Весь файл mathematica, на який посилається в цьому прикладі, доступний тут: Media:exam2prob1.nb

З цього моменту слід створити якобійську матрицю для лінеаризації системи навколо фіксованих точок (як застосовано до якобіян). Після створення збережені фіксовані значення точок для X, S і P можуть бути застосовані. Після застосування власні значення для кожної фіксованої точки можуть бути вирішені для. Вони все ще міститимуть змінну «Fin», оскільки Fin ще не визначено.

Звідси функція Table [] може бути використана для табуляції власних значень для різних значень Fin для візуального огляду. Це не обов'язково, оскільки результати власних значень вже вирішені з точки зору Fin. Для створення графіків кореневих локусів потрібно визначити значення Fin та застосувати до рівнянь власних значень із збереженими результатами. Цей крок наступний. На цьому кроці таблиці це заради користувача, щоб побачити зі збільшенням значень Fin, як виглядають власні значення. Табличні власні значення зберігаються у вигляді матриці і відображаються як такі за допомогою функції «MatrixForm [

Ці таблиці дозволяють легко побачити зі збільшенням Fin (йде від 0 до 2 вниз по таблиці), які зміни в стабільності кожної фіксованої точки. Перша таблиця - перша фіксована точка, друга таблиця - друга ФП.

Тепер, щоб зробити ділянки кореневих локусів, потрібно створити дійсно довгий рядок значень для побудови реальних і уявних коренів. Це довгий рядок коду, який в основному груба сила. Загальною дією, що відбувається тут, є встановлення значення Fin, оцінювання цього Fin через власні значення та збереження реальної частини, відокремленої від уявної частини різними стовпцями. Це повторюється для стільки значень Fin, скільки ви хочете. Він надзвичайно повторюється, але працює. Оцінивши стільки значень Fin, скільки вам потрібно, ви можете відобразити два стовпці за допомогою функції ListPlot []. Приклади фрагментів коду виглядають так:

А функція ListPlot [] може виглядати так:

І зробив би такі графіки (Фіксована точка 1 зверху і FP2 внизу в цьому прикладі):

Озираючись назад на таблиці власних значень, графіки можна інтерпретувати. Для FP1 значення починаються з реальних негативних і збільшуються до реальних позитивних. Уявних значень немає. Для FP2 зростаючі значення Fin переходять від реальних позитивних до негативних з уявними значеннями, що виникають при переході від низьких до високих значень Fin.

Альтернативний математичний метод

Деякі програми Mathematica 6 мають доповнення або додаткове додаток, відоме як ANALOG INSYDES, яке містить спеціальні опції для створення Root Locus Plots з легкістю. Функція називається RootLocusPlot. Введіть функцію, яку потрібно проаналізувати, в Mathematica у такому форматі:

Графік кореневого локусу [tfunc, {k, k_0, k_1}]

tfunc - передавальна функція у змінній частоти s та один дійсний параметр k. k_0 та k_1 - це діапазон дійсного параметра k, який слід варіювати у кореневому графіку локусу. Дотримуйтесь наведеного нижче прикладу.

Приклад: Рівняння для створення кореневого локусу з:

\[H(s) = \drac{a + 2 s + s2}{10 + 3 a s + 4 s^2 + s^3} \nonumber \]

Щоб зробити Root Locus Plot, скористайтеся прикладом коду нижче:

Н4 [s_, a_] := (а + 2*с + с^2)/(10 + 3*а*с + 4*с^2 + с^3)

Коренева ділянка [H4 [s, a], {a, 3, 5}]

Зображення: Wolfram.com

Інші форми Mathematica для використання RootLocusPlot []:

RootLocusPlot [func] Ця форма відображає діаграму полюса/нуль функції, тобто func без параметрів k та k_1.

RootLocusPlot [rootloc] Ця форма відображає кореневий локус, обчислений за допомогою функції RootLocusByQZ [].

Зверніться до посилання Mathematica для подальшого обговорення RootLocusByQZ

Багато варіантів сюжету можуть бути різноманітними, включаючи кількість точок, стиль сюжету та колір сюжету. Усі ці параметри та багато іншого можна переглянути в Інтернеті за допомогою підручника Mathematica

Створення ділянок кореневого локусу за допомогою Matlab

Генерація кореневих локусів у Matlab

Три файли matlab були надані для отримання графіка кореневого локусу та полюсів графіка кореневого локусу при заданих значеннях Kc для певної передавальної функції з відносною легкістю. Ці три файли є полюсами function.m, функція перенесення .m, і LocusPlotpoles.M. [1]. Файл transferfunction - це місце, де повинна бути введена конкретна функція передачі. Як написано, єдиним рядком, який потребує варіації, є рядок 4 (Gs). Файл polesfunction знаходить полюси заданої функції передачі за допомогою вбудованих утиліт matlab і не потребує змін навіть після зміни функції передачі. Файл Locusplotpoles - це те, що називається у matlab для генерації кореневого локусу, а також значення полюсів та інтегрує два попередні файли. Щоб скористатися цим файлом, ви введете значення конкретного Kc, для якого вам потрібні значення полюсів, а також одне значення Kc, для якого ви хотіли б бачити графік кореневого локусу. Приклад входів і виходів цього файлу наведено нижче.

> Стовпи примикання (0 50 100 200], 0)

анс =

1.0е+002 *

Колони з 1 по 3

0 -0,0020 -0,0020 + 0,0000i 0,0005 -0,0045 -0,0008 + 0,0022 і 1.0000 -0,0051 -0,0004 + 0,0027 і 2.0000 -0,0060 -0,0000 + 0,0034

Колони з 4 по 6

-0.0020 - 0.0000i 0 0 -0.0008 - 0.0022i -0.0020 -0.0020 + 0.0000i -0.0004 - 0.0027i -0.0020 + 0.0000i -0.0020 - 0.0000i -0,0000 - 0,0034 і -0.0020 -0.0000i

Стовпчик 7

0 -0.0020 - 0,0000і -0.0020 -0.0020 - 0.0000i

Значення всередині дужок - це конкретні значення Kc, для яких потрібні полюси. Останнім значенням є Kc, для якого буде побудовано графік кореневого локусу. Зверніть увагу, що значення Kc для графіка кореневого локусу, який буде згенеровано у цьому прикладі, дорівнює нулю. Це робиться для того, щоб весь діапазон Kc можна було вивчити за допомогою інтерактивного графіка, виробленого matlab. Якщо інші конкретні графіки Kc хотіли б спостерігати, це значення може бути змінено, щоб генерувати їх, а також. Рядки стовпчиків дають значення вхідних даних Kc, а потім значення полюсів для кожного Kc. Зверніть увагу, що фактичними значеннями є значення, які дає matlab, помножені на 100.

Тепер, коли базове розуміння кореневих ділянок локус було отримано ось кілька веб-сайтів, які йдуть далі в глибину в основні принципи і генерації цих ділянок. www.facstaff.bucknell.edu/Mastascu/ControlHTML/RootLocus/rlocus1a.html

Цей сайт дає анімовані приклади, які прогресують значення контрольної змінної через кореневий графік локусу, щоб краще пояснити основну функцію цих ділянок. Було б корисно пройти кілька з цих прикладів, щоб спостерігати закономірності коливання контрольної змінної. Параметри для кожної анімації задаються зліва від кадру. http://www.engin.umich.edu/group/ctm/rlocus/rlocus.html

На цій сторінці наведено приклади того, як ви генеруєте графік кореневого локусу заданої функції передачі за допомогою matlab. Поки ви переглядаєте вміст на цій сторінці, зверніть особливу увагу на той факт, що жодна з заданих функцій передачі не має інтегрованої змінної Kc, для якої можна генерувати графік локусу. Щоб побачити, як ці ділянки можуть генеруватися, коли вказано значення Kc, див. код LocusPlotPoles.M., Для уточнення щодо застосування графіків кореневих локусів див. наведені приклади.

Створення графіків кореневого локусу за допомогою Excel та PLANE

Хоча ця тактика може залишатися трохи більш трудомісткою та зайнятою роботою, існує метод обчислення кореневого локусу за допомогою PPLANE та Excel. Ця конкретна модель дійсно допомагає краще зрозуміти, як читати та визнати ділянку кореневого локусу, а також корисна, якщо альтернативні варіанти створення Root Locus Plot наразі недоступні.

Цей метод передбачає використання PPLANE для того, щоб знайти власні значення для кожного значення рівноваги, а потім побудова цих точок за допомогою програмного забезпечення Excel. Для цього припустимо, що у вас є такі диференціальні рівняння, які представляють реактор:

\[\dfrac{dX}{dt} = -X + \dfrac{2+X+Y}{Y+3} \nonumber \]

\[\dfrac{dY}{dt} = Y \times Fin+7-(2X) \nonumber \]

Графік наступних диференціальних рівнянь забезпечує щось подібне до наступної діаграми (було намальовано кілька рядків, щоб краще показати потік графіків):

Використовуючи можливість «Знайти точку рівноваги» в PPLANE (якщо вам потрібна допомога з PPLANE, натисніть PhasePlaneAnalysis), можна вибрати певну точку рівноваги на полі, і мати можливість надати наступні результати:

Це вікно «спливає» в лівому верхньому кутку екрану, коли знайдена точка рівноваги. Це вікно надає власні значення для цієї точки рівноваги.

Залежно від того, що ви варіюєте (в даному випадку, Fin), все, що вам потрібно зробити, це ввести різні значення цього Fin в PPLANE та побудувати новий набір диференціальних формул. Після цього просто знайдіть ту саму точку рівноваги та запишіть нові задані власні значення в Excel. Ці значення слід вводити за допомогою x-компонента (в одному стовпці) та y-компонента (в іншому стовпці) у excel, дотримуючись наступних правил:

• Припускаючи, що приклад 3+3i, 3-3i були задані як власні значення.
• Для будь-якого заданого власного значення значення x певного власного значення є дійсною частиною цього числа (тобто частина «3»).
• Для будь-якої заданої точки значення y конкретного власного значення є уявною частиною цього числа (тобто: частина «3i»). Якщо є уявна складова, ігноруйте «i», хоча число має бути записано в y-компоненті. Якщо уявного числа немає, то компонент y дорівнює нулю.
• Для обох випадків позитивний - позитивний, а негативний - негативний. Пам'ятайте: уявні числа мають 2 частини, позитивне і негативне значення «i».

Ці точки просто записуються відповідно до цих правил, потім точки наносяться один проти одного, з компонентами x на осі x, а y - по осі y. Ось приклад схеми excel, взятої із запропонованої схеми:

І, дані Excel потім побудовані, х проти y, і показано нижче:

Як бачите, саме ця модель не мала якихось уявних даних. Було сформовано графік кореневого локусу, і для всіх рахунків Fin власні значення знаходяться вздовж осі x для графіка кореневого локусу.

Практичне застосування

У минулому інженери повинні були освоїти методи, необхідні для ефективного побудови діаграм кореневих локусів. У сучасному інженерному світі це не так з однієї з двох причин. У багатьох випадках діаграми кореневих локусів не використовуються промислово, оскільки для них потрібні моделі системи, які, як правило, недоступні. Якщо модель доступна для розробки кореневої діаграми локусів, існують комп'ютерні програми, які можуть розробляти діаграми набагато швидше, ніж людина. Таким чином, енергія та зусилля повинні бути покладені на розуміння та інтерпретацію діаграми кореневого локусу та розуміння загальних правил стійкості для кореня характеристичного рівняння.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Наведено наступну таблицю коренів до характеристичного рівняння для системи:

1. Побудувати ділянку кореневого локусу (Спочатку створення ділянки вручну може дати деяке краще розуміння того, що відбувається, оскільки ви побачите зміни в сюжеті, коли ви додаєте кожен набір коренів).
2. Визначте діапазони Kc, які призвели б до наступних реакцій системи: відсутність коливань, пом'якшені коливання, стабільні коливання та нестабільні коливання. Крім того, намалюйте, як виглядатиме вихідна відповідь для заданого кроку зміни вхідних даних для кожного діапазону Kc.
3. Як би коріння до характеристичного рівняння відрізнялися, якби це було управління ПІ?

Рішення

1) Ділянка кореневого локусу:

Спочатку розбиваємо коріння на їх уявні і реальні складові:

Потім ми будуємо кожну точку на складній системі координат (вісь x = дійсний компонент, вісь y = уявний компонент).

Крім того, корисно додати лінії трасування шляху збільшення Kc. Ці рядки додаються нижче. Крім того, точки, де Kc = нуль, зазвичай позначаються символом x. Це також було зроблено на малюнку нижче.

2) Діапазони Кс з поясненнями:

Ми знаємо, що діапазон, де не буде коливальної реакції, - це коли Kc забезпечує всі реальні корені. Це відбувається, коли Kc знаходиться в межах від 0 до 0,66. (Ескіз буде виглядати як малюнок а в розділі «інтерпретація діаграми кореневого локусу» вище).

Також Кс дає ослаблені коливання, коли два корені характеристичного рівняння є комплексними з негативними дійсними складовими. Це відбувається, коли Kc більше 0,66, але менше 2,33. (Ескіз буде виглядати як малюнок b у розділі «інтерпретація діаграми кореневого локусу» вище).

Нестабільні коливання досягаються, коли два кореня дають комплексні числа з додатними дійсними складовими. Це відбувається, коли Kc більше 2,33. Графічно ми бачимо, що коли точки рухаються повз пунктирну лінію, у нас будуть нестабільні коливання. Це представлено на малюнку нижче. (Ескіз буде виглядати як малюнок c у розділі «інтерпретація діаграми кореневого локусу» вище).

Виходячи з наданих даних, наше найкраще припущення полягає в тому, що при Kc трохи нижче 2,33 ми зможемо досягти стабільних коливань. При Kc = 2.33 дійсна складова комплексного кореня дорівнює 0,02 (трохи більше нуля). В ідеалі ми досягнемо стійких коливань, коли дійсна складова комплексного числа дорівнює нулю. (Коливання повинні бути послідовними за величиною).

Нарешті, непогано позначити деякі значення Kc на ділянці кореневого локусу. Це допоможе зорієнтувати читача при спробі визначити, яка точка відповідає різним значенням Кс.

3) Якби це було управління PI, кожен корінь до характеристичного рівняння супроводжувався б не тільки значенням Kc, але і значенням інтегрального контрольного параметра KI.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Ви нещодавно були найняті в MichChem Controls. У перший тиждень роботи в компанії вірус поширюється по комп'ютерній мережі, ефективно виводячи з ладу більшість обчислювальних програм. На щастя, вірус був зупинений до того, як він зміг відключити Mathematica. Незабаром після того, як хаос від вірусу вщухне, ваш бос повинен знати, як використовувати Mathematica для створення кореневого локусу для декількох нових пропорційних систем контролю рівня, які перевіряються. Будучи висококваліфікованим інженером, яким ви є, він не хоче, щоб ви витрачали час на розробку кореневих ділянок локусу, скоріше, він хоче, щоб ви написали приклад коду, з коротким описом, який хтось інший міг би використати для розробки кореневого локусу.

Загальним характеристичним рівнянням для нових систем регулювання рівня є:

\[f(s) = Ax^3 + Bx^2 - Cx + D +EK_c \nonumber \]

Будь ласка, надайте своєму начальнику приклад точного сценарію, який потрібно буде ввести в Mathematica для розробки сюжету кореневого локусу. Також слід короткі описи, що пояснюють, що робить код і які кроки потрібно повторити для розробки сюжету.

Рішення

Спочатку користувачеві слід розробити таблицю коренів для характерного рівняння. Це можна зробити за допомогою функції розв'язання в Mathematica. Код виглядатиме так для Kc = 0.

(Примітка: In [#] з'являється для кожного нового рядка коду. Це не буде введено користувачем.)

В [1] := Вирішити [Ax^3+Bx^2-Cx+D+E* (0) ==0, х]

Це слід повторити для Кс = 0,1, 0,15, 0,225, 0,5, 0,75, 1,5 і т.д. (поки коріння рівняння не почнуть давати два комплексних рішення, дійсні компоненти яких позитивні). Після того як буде отримано достатню кількість коренів для характеристичного рівняння при різних значеннях Кс, їх потрібно буде скласти в таблицю. Для розробки таблиці даних в Mathematica введіть наступний код:

In [2] := A =

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Інженерна/Промислове_та_системного_машинобудування/Книга:_Динаміка_та_контроль_хімічних_процесів_(Woolf)/10:_Динамічний_системний_аналіз/10.06:_Графіки_кореневого_локусу_-_ефект_налаштування), /content/body/div[11]/div[2]/div/p[10]/span, line 1, column 1

Це табулює дійсні компоненти та уявні складові при кожному значенні Kc. Після того, як всі значення будуть зведені в таблицю, графік кореневого локусу може бути розроблений за допомогою функції ListPlot.

In [3]: = Список Plot [A, Стиль сюжету -> Розмір точки [0.02]

Це буде побудовано всі табличні дані в In [2], який є графіком кореневого локусу.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Ділянка кореневого локусу використовується для:

1. Визначте рішення характерної передавальної функції.
2. Показувати час відгуку системи зворотного зв'язку на порушення.
3. Графічно ілюструють вплив Kc на динамічні характеристики системи зворотного зв'язку.
4. Вибираємо оптимальний Kc для системи зворотного зв'язку.

Відповідь

c

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Коли корінь є комплексним з позитивними дійсними частинами, коливання:

1. Зниження
2. Збільшення
3. Нестабільна
4. A & C
5. B & C

Відповідь

е

Посилання

• Люйбен, Майкл Л.; Luyben, William L. «істотне значення управління процесом». Макгроу-Хілл: Нью-Йорк, 1997.
• Марлін, Томас Е. «Управління процесами: проектування процесів та систем управління для динамічної продуктивності 2-е видання». Макгроу-Хілл: Нью-Йорк, 2000.
• Огунайке, Бабатунде А.; Рей, Хармон. Динаміка процесів, моделювання та управління. Нью-Йорк Оксфорд: Оксфорд UP, 1994. 488-507.
• Ріггс, Джеймс Б.; Карім, М. Назмул. Хімічний та біотехнологічний контроль. 3-е изд. Тхір. 279-295.
• Люйбен, Майкл Л.; Люйбен, Вільям Л.; Тайреус, Бйорн Д. «Управління технологічними процесами на всьому заводі». Макгроу-Хілл: Нью-Йорк, 1999.
• Себорг, Дейл Е.; Едгар, Томас Ф.; Меллічамп, Дункан А. «Динаміка процесів і контроль». Джон Вілі і сини, Inc. 2004.
• http://www.engin.umich.edu/group/ctm/rlocus/rlocus.html як переглянуто 23.10.2007
• www.facstaff.bucknell.edu/Мастаску/Управління HTML/Кореневий Локус/RLOCUS1a.html, як розглядається 23.10.2007

Автори та атрибуція

• Автори: Галлі Краст, Ендрю Ласковскі, Моріс Телесфорд, Емілі Ятч
• Стюарди: Вікторія Кардін, Ентоні Кампелл, Девід Хайнс, Стівен Кернс