10.5: Аналіз фазової площини - атрактори, спіралі та граничні цикли

Введення в атрактори, спіралі та граничні цикли

Ми часто використовуємо диференціальні рівняння для моделювання динамічної системи, такої як відкриття клапана або заповнення бака. Без рушійної сили динамічні системи перестали б рухатися. При цьому дисипативні сили, такі як внутрішнє тертя і термодинамічні втрати, віднімають у рушійної сили. Разом протиборчі сили скасовують будь-які перерви або початкові умови і змушують систему влаштуватися в типову поведінку. Атрактори - це місце, до якого звертається динамічна система у своїй типовій поведінці. Атракторами можуть бути фіксовані точки, граничні цикли, спіралі або інші геометричні набори.

Граничні цикли багато в чому схожі на джерела або раковини, за винятком того, що це замкнуті траєкторії, а не точки. Після того, як траєкторія потрапляє в граничний цикл, вона буде продовжувати слідувати цьому циклу. За визначенням, принаймні одна траєкторія спіралі потрапляє в граничний цикл, коли час наближається або до позитивної, або негативної нескінченності. Подібно до раковини, привабливі (стабільні) граничні цикли мають сусідні траєкторії, що наближаються до граничного циклу, коли час наближається до позитивної Як і джерело, непривабливі (нестабільні) граничні цикли мають сусідні траєкторії наближаються до граничного циклу, коли час наближається до негативної нескінченності Нижче наведено ілюстрацію граничного циклу [1].

Спіралі - це схоже поняття. Атрактор - спіраль, якщо він має складні власні значення. Якщо реальна частина власного значення комплексу позитивна (тобто 3 + 2i), атрактор нестабільний і система віддалиться від стаціонарної роботи за умови порушення. Якщо дійсна частина власного значення від'ємна (тобто -2 + 5i), атрактор є стабільним і повернеться до стаціонарної роботи за умови порушення.

Враховуючи наступний набір лінійних рівнянь, ми розглянемо приклад, який створює спіраль:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ розрив {d x} {d t} &=2 х+5 у\\
\ розриву {d y} {d t} &=-5 x+2 y
\ end {align*}\ nonumber\]

Якобійською матрицею будуть коефіцієнти:

\ [A=\ left|\ begin {масив} {cc}
2 & 5\\
-5 & 2
\ end {масив}\ право|\ nonumber\]

Далі ми знайшли власні значення:

\ [(A-\ лямбда I) =\ ліворуч |\ почати {масив} {cc}
2 & 5\\
-5 & 2
\ кінець {масив}\ праворуч |-\ лямбда\ ліворуч |\ почати {масив} {cc}
1 &
0\ 1
\ end {масив}\ right|=\ ліворуч |\ почати {масив} {cc}
(2-\ лямбда) & 5\\
-5 & (2-\ лямбда)
\ end {масив}\ right|\ nonumber\]

де\(I\) - матриця ідентичності

\ [I =\ left|\ begin {масив} {ll}
1 & 0\
0 & 1
\ end {масив}\ право|\ nonumber\]

\[\operatorname{det}(A-\lambda I)=(2-\lambda)^{2}+25=0 \nonumber \]

власні значення:

\[\lambda=2 \pm 5 i \nonumber \]

Система нестабільна, оскільки реальна частина складних власних значень є позитивною.

Щоб знайти перший власний вектор, ми продовжимо, підключивши\(2 − 5i\):

\ [\ лівий|\ почати {масив} {cc}
(2-\ лямбда) & 5\\
-5 & (2-\ лямбда)
\ кінець {масив}\ праворуч |=\ ліворуч |\ почати {масив} {cc}
2- (2-5 i) & 5\\
-5 & 2- (2-5 i)
\ кінець {масив}\ право|=\ ліворуч |\ begin {масив} куб.см}
5 i & 5\ \
-5 & 5 i
\ end {масив}\ праворуч |\ nonumber\]

\ [(A-\ лямбда I) v=\ ліворуч |\ begin {масив} {cc}
5 i & 5\\
-5 & 5 i
\ end {масив}\ right| v=0\ nonumber\]

нехай

\[v=\left|\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right| \nonumber \]

\ [\ left|\ почати {масив} {cc}
5 i & 5\\
-5 & 5 i
\ end {масив}\ праворуч |\ ліворуч |\ почати {масив} {l}
x\
y
\ end {масив} | = |\ begin {масив} {l}
0\
0
\ end {масив}\ право|\ nonumber\]

Тепер у нас є система рівнянь, яку ми можемо вирішити для x, y:

\ begin {вирівнювати*}
5 i x+5 y & =0\\
-5 x+5 i y & =0
\ end {вирівнювати*}

Розділення обох рівнянь на 5:

\ [\ begin {вирівнювати*}
i x+y & =0\\
-x+i y & =0
\ end {align*}\ nonumber\]

Рішення

\ [v_ {1} =\ ліворуч |\ begin {масив} {c}
-1\\
i
\ end {масив}\ право|\ nonumber\]

Дотримуючись тієї ж процедури, використовуючи друге власне значення 2 + 5 i, ми знаходимо другий власний вектор бути:

\ [v_ {2} =\ ліворуч |\ begin {масив} {c}
i\\ -1
\ end {масив}\ право|\ nonumber\]

Тепер підключіть як власні значення, так і власні вектори до характеристичного рівняння:

\ [\ begin {align*}
x (t) &=e^ {2 t}\ ліворуч (C_ {1}\ cos 5 t+c_ {2}\ sin 5 т\ праворуч)\\
y (t) &=e^ {2 t}\ ліворуч (C_ {3}\ cos 5 t+c_ {4}\ sin 5 t\ праворуч)
\ кінець {align*}\ nonumber\]

Докладніше про цю процедуру див.: власні значення та власні вектори

Графік фазової площини показаний нижче:

Вступ до літака

Аналіз фазової площини є важливим інструментом у вивченні поведінки нелінійних систем, оскільки аналітичного рішення для моделі нелінійної системи часто не існує.

Plane є JAVA аплет для аналізу фазової площини двовимірних систем. Він починається у вашому веб-браузері, і ви можете безпосередньо вводити свої рівняння і значення параметрів. PLANE будує векторні поля для систем диференціальних рівнянь. У кожній точці (x, y) сітки PPLANE малює стрілку, яка вказує напрямок і величину вектора (x', y'). Цей вектор дорівнює dy/dt/dx/dt = dy/dx і не залежить від t; отже, він повинен бути дотичним до будь-якої кривої розв'язку через (x, y).

Це дозволяє користувачеві будувати криві рішення в фазовій площині простим натисканням на них. Це також дозволяє користувачеві будувати ці рішення в різних сюжетах. Існує ряд додаткових функцій, включаючи пошук точок рівноваги, власних значень та нульових рядків, які ви знайдете корисними пізніше.

Як користуватися літаком

У вікні рівняння PPlane ви можете ввести систему диференціальних рівнянь\(dy/dt = g(x,y)\) виду\(dx/dt = f(x,y)\) та визначити параметри та змінити розмір вікна відображення. У розкривному меню «Галерея» ви можете переключитися на лінійну систему.

Зверніть увагу, якщо ваші диференціальні рівняння містять постійні параметри, ви можете ввести їх у поля «Вирази параметрів» під диференціальними рівняннями, як показано на малюнку нижче (A, B та C використовуються як приклад параметрів). Це зручна функція для використання при розгляді впливу змінених параметрів на сталий стан системи, оскільки вона виключає надмірність повторного введення значень параметрів багаторазово в межах диференціальних рівнянь.

У вікні Phase Plane нижче ви побачите векторні поля для системи. Натиснувши на поле, ви побудуєте криві рішення у фазовій площині. Якщо вас цікавить сюжет вашого рішення проти часу або тривимірного перегляду, натисніть на графік:

Якщо ви виберете параметри x-t та y-t, вам доведеться вибрати певну криву рішення. Результат буде виглядати наступним чином:

Використовуйте функцію кадрування, щоб збільшити масштаб точки інтересу

Виберіть «Знайти точку рівноваження» у спадному меню «Рішення». Потім, коли ви натискаєте на орбіту у фазовій площині, вікно Plane Messages відображатиме власні значення та можливі точки рівноваги.

Додаткові речі, які ви можете змінити в Plane

Зміна поля нахилу

Натиснувши на вкладку «Параметри», потім вибравши «Налаштування поля напрямків», можна змінити кількість рядків і стовпців, спосіб оформлення поля, а також обчислювальні настройки PPlane.

Стирання орбіт

На вкладці «Редагувати» є опції, які говорять «Видалити орбіту» або «Видалити всі орбіти». Ці варіанти діють так, як випливають їх назви.

Зміна напрямку графіків

Натиснувши на вкладку «Параметри», потім вибравши опцію «Напрямок рішення», ви можете змінити спосіб, яким PPlane графіки лінії при натисканні на поле. Ви можете змінити графіку для побудови вперед (для значень t>0), назад (для значень t<0) або в обох напрямках t.

Більше використання для PLANE

З багатьох застосувань, які може запропонувати PPLANE, деякі з найбільш корисних функцій включають:

Пошук власних значень/власних векторів для точки рівноваги.

Після побудови графіків ряду диференціальних рівнянь знайдіть певну точку рівноваги в графічних даних («Знайти точку рівноваги» на вкладці Рішення)

Тепер, вибравши точку на полі, яке було намальовано площиною, plane знайде найближчу точку рівноваги на графіку та виділить цю точку на графіку червоним кольором.

Поле повідомлення PPLANE у верхньому лівому куті екрана має з'явитися з деякою новою інформацією. Ця інформація надає власні значення та відповідні власні вектори до вибраного значення рівноваги:

Стабільність точки рівноваги

Так само, як і раніше, вікно повідомлень забезпечить функції стабільності (тобто: це вузлова раковина?) знайденої точки рівноваги, відразу після використання «Знайти точку рівноваги».

Інші поняття аналізу фазової площини

Сепаратрикс

Сепаратрикс - це будь-яка лінія в площині фази, яка не перетинається жодною траєкторією. Нестабільна точка рівноваги, або точка сідла, нижче ілюструє ідею роздільниці, оскільки ні вісь x, ні y не перетинається траєкторією. Якщо ви сфотографуєте топографічну карту, сеператрикс буде гірським хребтом; якщо ви впадете трохи краю, ви ніколи не повернетеся. Побудова фазової площини в площині було б корисно, наприклад, для виявлення неможливих заданих точок.

Нульові рядки

Нульова лінія - це крива, де x'=0 або y'=0, таким чином вказуючи, де фазова площина повністю горизонтальна або повністю вертикальна. Точка, в якій перетинаються дві нульові лінії, є точкою рівноваги. Нульові лінії також можуть бути дуже корисними для візуалізації діаграми фазової площини, оскільки вони розділяють фазову площину на області подібного потоку. Щоб відобразити нульові рядки у вікні Фазової площини, виберіть Nullclines у спадному меню Рішення. Скріншот нижче - приклад.

Зверніть увагу, що червона нульова лінія показує, де потік повністю вертикальний (x'=0), а жовта нульова лінія показує, де потік повністю горизонтальний (y'=0).

Обмеження циклу

Нижче ви знайдете криву рішення для граничного циклу. Лімітний цикл містить відповідь у встановленому діапазоні, що є чимось, що ви можете скористатися для певних інженерних програм. З іншого боку, він завжди обертається і може бути недостатньо стабільним для ваших цілей.

Створення знімків екрана для копіювання портретів фази літака

З введенням Windows Vista був представлений інструмент Snipping Tool. Цей інструмент дозволяє набагато більшу гнучкість при зйомці знімків екрана та їх редагуванні. У цій статті мова піде про інструмент Snipping Tool, а також клавішу Windows Print Screen, яку можна використовувати для фотографування екрану комп'ютера. При натисканні клавіші комп'ютер копіює зображення екрана і в буфер обміну комп'ютера. Потім зображення можна вставити в кілька програм. Є багато випадків протягом курсу CHE 466, в яких знімок екрана вашої роботи стане в нагоді. Приклади включають копіювання фазових портретів, створених у Plane, графіків, створених у Mathematica, або коду Mathematica.

Щоб увімкнути інструмент Snipping Tool на комп'ютері Vista, перейдіть до кнопки Windows у нижньому лівому куті екрана та натисніть «Аксесуари» -> «Інструмент відрізання».

Малюнок 1. Як увімкнути інструмент Snipping

З'явиться вікно із запитом, чи хочете ви додати інструмент Snipping Tool до вашого Quicklaunch. Це забезпечує простий і швидкий спосіб зробити скріншоти.

Щоб сфотографувати свій графік, просто натисніть кнопку Snipping Tool в області швидкого запуску, і з'явиться таке вікно:

Малюнок 2. Вікно інструмента «Відсікання»

Автоматично інструментом «Фрагмент» за замовчуванням буде перехрестя, з якого ви можете клацнути і перетягнути, щоб зробити вибір ділянки екрана, який ви хотіли б представити червоним прямокутником.

ПОПЕРЕДЖЕННЯ: У розділі «Параметри» слід зняти прапорець «Показувати чорнило виділення після зйомки фрагментів», щоб усунути червоний край навколо ваших фотографій.

Малюнок 3. Меню параметрів інструмента Snipping Tool (Зніміть позначку з чорнила виділення)

Інструмент Snipping Tool відкриє нове вікно з вашим виділенням і скопіює зображення в буфер обміну. Сміливо редагуйте своє зображення або зберігайте його там, де зручно.

Малюнок 4. Вікно редагування інструмента фрагментів

Якщо ви не використовуєте Windows Vista, ви все ще можете використовувати екран друку:

Виконайте наступні прості кроки, щоб скопіювати та вставити фазовий портрет у документ Microsoft Word:

1. Підтягніть вікно, що містить ваш фазовий портрет так, щоб він відображався на екрані.
2. Знайдіть кнопку Print Screen або PrtSc у верхній правій частині клавіатури. (Клавіша може дещо відрізнятися залежно від виробника клавіатури Windows).
3. Відкрийте Microsoft Word до документа за вашим вибором (тобто CHE 466 Домашнє завдання 7).
4. Вставте зображення в документ Word. На малюнку 1 нижче показано, як ваш фазовий портрет буде виглядати в Word.
5. Щоб обрізати або змінити розмір зображення так, як вам подобається, ви можете скористатися панеллю «Зображення» (показано на малюнку 2), вибравши Перегляд -> Панелі інструментів -> Зображення.

Якщо ви віддаєте перевагу робити знімок екрана лише вашого фазового портрета, а не всього екрана комп'ютера, виконайте наступні прості кроки:

1. Підтягніть вікно, що містить ваш фазовий портрет так, щоб він відображався на екрані.
2. Натисніть Alt-Print Screen, щоб зробити знімок вибраного вікна.
3. Відкрийте Microsoft Word до документа за вашим вибором (тобто CHE 466 Домашнє завдання 7).
4. Вставте зображення в документ Word. На малюнку 3 нижче показано, як виглядатиме зображення фазового портрета.

Малюнок 5. Початковий знімок екрана

Малюнок 6. Документ Microsoft Word, що містить знімок екрана

Малюнок 7. Знімок екрана фазового портретного вікна

Приклад\(\PageIndex{1}\): Linear System of Equations

Використовуйте PPLANE для обчислення наступної інформації системи, наведеної нижче: розташування та тип точки рівноправності, якобійська матриця, власні вектори та власні значення.

\ [\ begin {масив} {c}
x^ {\ прайм} =y\
y^ {\ прайм} =2 x+y
\ кінець {масив}\ nonumber\]

Рішення

Використовуючи функцію PPLANE «Знайти точку рівноважності» та клацнувши на фазовій площині, буде вказана наступна точка рівноваги:

Розташування та тип точки рівноваги задаються у вікні «Повідомлення PPLANE» разом з якобійською матрицею, власними векторами та власними значеннями.

Для нашої другої прикладної задачі ми хотіли б спробувати нелінійну систему рівнянь.

Приклад\(\PageIndex{2\): Nonlinear System of Equations

Розв'яжіть для множини рівнянь на Plane. Розглянемо тенденції зміни швидкості диференціальних рівнянь і згодом вирішуємо рівняння на Mathematica для порівняння тенденцій. Наступні два диференціальних рівняння будуть використані для проходження розв'язків на Plane і Mathematica:

\[\(\frac{d x}{d t}=x-(5 x y) \nonumber \]

\[\frac{d y}{d t}=-2 x+2 y\) \nonumber \]

Рішення

Наведені вище рівняння були введені в вікно Plane і вирішені. Наступні два вікна показують рішення для множини диференціальних рівнянь:

Дивлячись на графік фазової площини, при малих значеннях x і y, t збільшується повільно. Однак при більш високих значеннях y збільшення t відбувається стрімко. Однак, коли x високий, а y низький, t збільшується повільно. Mathematica допоможе нам краще візуалізувати відносні темпи змін.

Нижче наведено код, який використовується в Mathematica для розв'язання та побудови множини диференціальних рівнянь:

ОД = {x' [t] == (x [t] - 5* x [t] * y [t]), y' [t] == (-2*х [t]) + (2* y [t]), x [0] == 9, y [0] == 370} числове рішення [ОД, {x [t], y [t]}, {t, 1, 100}] Ділянка [y [t] /. числовий золь, {t, 1, 100}, Діапазон сюжету -> Все]

Графіки, отримані на Mathematica для x проти t та y проти t, наведені нижче. Зверніть увагу на різницю між осями шкали.

Також, для більш уважного погляду, ось ділянки нахилів графіків вище.

Порівнюючи збільшення t зі збільшенням x, ми бачимо аналогічну тенденцію на діаграмі PPlane. Mathematica показує постійно зростаючу x' з t, при більш високих значеннях x значення для t збільшується на діаграмі PPlane. Однак, як добре видно на діаграмі Plane та графіках нахилу x щодо t та нахилу y щодо t, нахил x не порівнюється з дуже великим нахилом, показаним для y' проти t, тому результати з використанням Mathematica та PPlane є постійними.

Ця система моделювання може бути використана для перегляду тенденцій змінних у CSTR або будь-якій іншій системі, яка може бути змодельована за допомогою диференціальних рівнянь.

Питання з множинним вибором

Питання 1

Відкрийте PLANE і введіть наступні рівняння у вікно рівняння PLANE:

х '= гріх (х)

y' = cos (у)

Як виглядає отримана фазова площина? (Примітка: Натисніть на зображення, щоб збільшити)

А.

Б.

С.

Д.

Питання 2

Якщо у вашій системі є порушення, і система повертається назад до рівноваги, власне значення цієї фіксованої точки, швидше за все, є:

A. комплексне число з від'ємною дійсною складовою
B. 0
C. від'ємне дійсне число
D додатне дійсне число

Відповіді на питання з декількома варіантами

Питання 1: C

Питання 2: А

Дописувачі та атрибуція

• Автори: Ерін Найт, Діпті Савалка, Метт Рассел, Спенсер Йенделл
• Стюарди: Ерік Блек, Меган Бокелу, Деніел Картер, Стейсі Янг