Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.3: Нелінійна оптимізація

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    32709

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Різні умови та ситуації недостатньо описані за допомогою лінійних систем. У цьому випадку може бути застосована нелінійна оптимізація. На відміну від лінійної оптимізації, оптимального робочого стану на кордоні не існує.

    Квадратична оптимізація

    \[f(x)=c-x^{T} b+\frac{1}{2} x^{T} A x\nonumber \]

    Для оптимізації необхідно знайти, коли градієнт f дорівнює нулю.

    \[\nabla f(x)=0\nonumber \]

    \[\nabla f(x)=b-A x\nonumber \]

    \[x_{*}=A^{-1} b\nonumber \]

    Оптимальне можна вирішитичотиримісний x_* за допомогою лінійного рівняння, апроксимованого рядом Тейлора.

    \[f\left(x_{*}\right)=f(x)+\left(x_{*}-x\right)^{\prime} \nabla f(x)+\frac{1}{2}\left(x_{*}-x\right)^{\prime} \nabla \nabla f(x)\left(x_{*}-x\right)+\ldots\nonumber \]

    Ітераційні методи

    Коли прямі методи не можуть вирішити рівняння (тобто A не є симетричним додатним визначенням), можливі ітераційні методи [1].

    Починаючи з початкового припущеннячотирьохядерний x_i, алгоритм може призвести доквадрат x_ {i+1} того, що краще задовольняє рівнянню. Через ітерацію, теоретично,квадрат x_\ infty=x.

    Додатки

    • Фінанси: Оптимізація портфеля
    • Підприємства: Оптимізація запасів
    • Техніка: Динаміка жорсткого тіла
    • Біохімія: кінетичне моделювання [2]

    Приклад: Типові нелінійні 3d криві

    onlinear.jpg

    (Зображення з [1])

    Як спостерігалося, оптимальна умова не обов'язково існує на кордоні кривої.

    Приклад: Квадратична оптимізація

    \[f(x)=\vec{c}^{T} \vec{x}+\frac{1}{2} \vec{x}^{T} Q \vec{x}\nonumber \]

    де

    \[\vec{c}^{T}=\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}\right)\nonumber \]

    \[\vec{x}^{T}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\nonumber \]

    Для квадратичної системи, таким чином\(n=2\),\(Q\) (квадратична термінова константа) визначається як симетрична матриця наступним чином.

    \ [Q=\ left [\ begin {масив} {ll}
    Q_ {1} & Q_ {3}\\
    Q_ {3} & Q_ {3} & Q_ {2}
    \ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

    Таким чином, примножуючи на\(f\),

    \[f(x)=\left(c_{1} x_{1}+c_{2} x_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(Q_{1} x_{1}^{2}+2 Q_{3} x_{1} x_{2}+Q_{2} x_{2}^{2}\right)\nonumber \]

    Посилання

    1. Ліпперт, Росс А. «Вступ до нелінійної оптимізації». Дослідження Д.Е. Шоу, 25 лютого 2008 року. http://www.mit.edu/~9.520/spring08/Classes/optlecture.pdf
    2. Мендес, Педро і Келл, Дуглас Б. «Нелінійна оптимізація біохімічних шляхів: застосування до метаболічної інженерії та оцінки параметрів». Журнал біоінформатики, Том 14, 869-883. 1998.
    3. «Вступ до нелінійної оптимізації». Лабораторія реалізації технологічних систем Інституту Джорджії. www.srl.gatech.edu/Освіта/ME6103/NLP-intro.ppt