7.5: Лаплас перетворюється

Last updated
Save as PDF

Page ID: 32700

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Вступ

Перетворення Лапласа часто використовується при визначенні розв'язків широкого класу диференціальних рівнянь з частинними частинними. Як і інші перетворення, перетворення Лапласа використовуються для визначення конкретних рішень. При розв'язанні рівнянь з частинними похідними загальні розв'язки важко, якщо не неможливо, отримати. Таким чином, методи перетворення іноді пропонують корисний інструмент для досягнення певних рішень. Перетворення Лапласа тісно пов'язане зі складним перетворенням Фур'є, тому інтегральна формула Фур'є може бути використана для визначення перетворення Лапласа та його зворотного [3]. Інтегральні перетворення є одним з багатьох інструментів, які дуже корисні для вирішення лінійних диференціальних рівнянь [1]. Інтегральне перетворення - це відношення форми:

\[F(s)=\int_{a}^{b} K(s, t) f(t) d t \nonumber \]

де$K(s, t)$ знаходиться ядро перетворення

Наведене вище відношення перетворює функцію f в іншу функцію F, яка називається перетворенням f. Загальна ідея використання інтегрального перетворення для розв'язання диференціального рівняння полягає в наступному:

Використовувати відношення для перетворення задачі для невідомої функції f в простішу задачу для F
Вирішіть цю простішу проблему, щоб знайти F
Відновлення потрібної функції f з її перетворення F

Відомо, що кілька інтегральних перетворень корисні в прикладній математиці, але в цьому розділі ми розглянемо лише перетворення Лапласа. Це перетворення визначено таким чином: Нехай f (t) буде задано для $\ лек 0$ . Тоді перетворення Лапласа f, яке ми позначимо $математичний {L}\ лівий\ {f (t)\ праворуч\}$ , визначається рівнянням:

\[\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t \nonumber \]

Кожного разу, коли цей неправильний інтеграл сходиться. Перетворення Лапласа використовує ядро K (s, t) = e ⁻ (st). Оскільки розв'язки лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами базуються на експоненціальній функції, перетворення Лапласа особливо корисно для таких рівнянь.

Таблиця 1 - Таблиця перетворень Лапласа

Таблиця 5 3 Односторонній Лаплас Transforms.jpg

Приклади проблем

Елементарні функції з використанням перетворень Лапласа

Приклад 1. Враховуючи $(c) =c\,\!$ , $\,\!$ є постійною

\[\\mathcal{L}[c] =\int_0^{\infty}e^{-st} c\,dt \,\! \nonumber \]

$=\ ліворуч [{-\ frac {c e^ {-st}} {s}}\ праворуч] _ {0} ^ {\ infty}$

$=\ гідророзриву {c} {s}$

Приклад 2. Враховуючи $f (c) =e^ {в}\,\!$ , $а\,\!$ є постійною

\[\\mathcal{L}[e^{at}]=\int_0^{\infty}e^{-st} e^{at}\,dt\,\! \nonumber \]

$=\ ліворуч [{-\ frac {e^ {- (s-a) t}} {(s-a)}}\ праворуч] _ {0} ^ {\ infty}$

$=\ гідророзриву {1} {s-a}$ , де $s\ ge а\,\!$

Приклад 3. Враховуючи $f (t) =t^ {2}\,\!$ , тоді

\[\mathcal{L}\left[t^{2}\right]=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{2} d t \nonumber \]

Інтеграція по частинам

\[=\left[-\frac{t^{2} e^{-s t}}{s}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-s t}}{s} 2 t d t \nonumber \]

Так $t^ {2} e^ {-st}\ до 0\,\!$ як $t\ to {\ infty}\,\!$ , у нас

\[\\mathcal{L}[t^{2}]={\frac{2}{s}} \left [ {-\frac{e^{-st}}{s}}t \right ]_{0}^{\infty}+{\frac{2}{s}} \int_0^{\infty} {\frac{e^{-st}}{s}} \,dt \,\! \nonumber \]

\[ \begin{align*} \mathcal{L}\left[t^{2}\right]=\frac{2}{s}\left[-\frac{e^{-s t}}{s} t\right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{s} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-s t}}{s} d t \\[4pt] &= \frac{2}{s^{3}} \end{align*} \nonumber \]

Приклад 4. Дано $f (t) =\ sin\ омега т\,\!$ . Тоді

\[F(s)=\mathcal{L}[\sin \omega t]=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} \sin \omega t d t \nonumber \]

$=\ ліворуч [- {\ frac {e^ {-st}} {s}\ sin\ омега т\ вправо] _ {0} ^ {\ infty} +\ int_0^ {\ infty} {\ frac {-st}} {s}}\ омега\ cos\ омега т\, dt\,\!$

$= {\ frac {\ омега} {s}}\ лівий [- {\ frac {e^ {-st}} {s}}\ cos\ омега т\ право] _ {0} ^ {\ infty} - {\ frac {\ омега}}\ int_0^ {\ infty} {\ frac {-st}} {s}}\ int_0^ {\ infty} {\ frac {-st}} {s}\ omega\ sin\ омега т\, дт\,\!$

$F (s) = {\ frac {\ омега} {s}} - {\ frac {\ омега^ {2}} {s^ {2}}} F (s)\,\!$

Таким чином, вирішуючи для$F(s)$, отримуємо

\[\mathcal{L}[\sin \omega t]=\frac{\omega}{\left(s^{2}+\omega^{2}\right)} \nonumber \]

У прикладі класу з використанням Laplace перетворення

Розв'язування диференціального рівняння:

\[\frac{d y(t)}{d t}=-a y(t) \nonumber \]

Переставляючи рівняння в одну сторону, ми маємо:

\[\frac{d y(t)}{d t}+a y(t)=0 \nonumber \]

Далі беремо перетворення Лапласа

\[\left(s y(s)-y_{o}\right)+a y(s)=0 \nonumber \]

де $(S) = Л [у (т)]\,\!$ і $y_o=y (0)\,\!$ Вирішуючи для y (s), знаходимо:

\[y(s)=\frac{y_{o}}{s+a} \nonumber \]

\[y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{y(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{y_{o}}{s+a}\right\}=y_{o} e^{-a t} \nonumber \]

Посилання

Вільям Бойс, Елементарні диференціальні рівняння та крайові задачі (2005) Глава 6 с. 307-440.
Д-р Алі Мукайбель, Сигнали та системи EE207 (2009) < http://tinyurl.com/ycq46qn >
Тин Мьїнт-У, Рівняння з частинними похідними для вчених та інженерів (2005) С. 337 -341.

Дописувачі та атрибуція

Автор: Пол Рі, Ерік Чуанг та Девід Муй