Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.4: Серія Тейлора

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    32692

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Серія Тейлора - це подання функції у вигляді нескінченної суми. Кожен член обчислюється з використанням похідної функції, а також факторіала. Наступне рівняння є визначальним рівнянням ряду Тейлора:

    \[f(x)=\int(a)-\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\frac{f^{(3)}(a)}{3 !}(x-a)^{3}+\cdots-\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n} \label{eq1} \]

    де\(a\) - точка, навколо якої визначається функція.

    Наближення Тейлора є найбільш\(a\) точним і стає менш точним, оскільки відстань від a збільшується. Наступне рівняння є таким же, як Equation\ ref {eq1}, згадане вище, у підсумовувальних позначеннях:

    \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n} \nonumber \]

    Спочатку ми розглянемо простий приклад, функцію\(e^x\), визначену навколо точки, 0:

    \[e^{x}=e^{0}+\frac{1}{1 !}(x-0)+\frac{1}{2 !}(x-0)^{2}+\frac{1}{3 !}(x-0)^{3}+\cdots+\frac{1}{n !}(x-0)^{n} \nonumber \]

    Чисельники кожного рівняння всі 1, тому що будь-яка похідна рівня\(e^x\) є\(e^x\), і\(e^x\), визначена при 0, завжди дорівнює 1. Розширення Тейлора спрощує наступне рівняння:

    \[e^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !} \nonumber \]

    Також зауважте, що серія Тейлора, зосереджена навколо 0, називається серією Maclaurin. На додаток до серії e x Maclaurin, тут перераховані деякі інші поширені, спрощені серії Maclaurin:

    \ [\ begin {вирівнювати*}\ cos (x) &=1-\ frac {1} {2!} x^ {2} +\ гідророзриву {1} {4!} x^ {4} -\ гідророзриву {1} {6!} x^ {6} +\ cdots\\ [4pt]
    \ sin (x) &=\ розриву {1} {1!} х-\ гідророзриву {1} {3!} x^ {3} +\ гідророзриву {1} {5!} x^ {5} -\ гідророзриву {1} {7!} x^ {7} +\ cdots\\ [4pt]
    \ кош (х) &=1+\ розриву {1} {2!} x^ {2} +\ гідророзриву {1} {4!} x^ {4} +\ гідророзриву {1} {6!} x^ {6} +\ cdots\\ [4pt]
    \ sinh (x) &=\ frac {1} {1!} x+\ гідророзриву {1} {3!} x^ {3} +\ гідророзриву {1} {5!} x^ {5} +\ гідророзриву {1} {7!} x^ {7} +\ cdots\\ [4pt]
    \ розриву {1} {1-х} &=1+x+x^ {2} +x^ {3} +\ cdots+x^ {n}\\ [4pt]
    \ ln (1+х) і =х-\ розриву {1} {2} x^ {2} +\ frac {1} x^ {3} -\ frac {1} {4} x^ {4} +\ cdots+\ frac {(-1) ^ {n+1}} {n} x^ {n}\ end {align*}\ nonumber\]

    Ці серії Маклорена можуть бути змінені, щоб стати серіями Тейлора, коли рівняння не зосереджено навколо нуля.

    Розширення функцій за допомогою серії Тейлора може бути корисним у похідних. Ряди Маклорена будуть корисними, коли функція наближається для малих значень x. Використання нескінченної кількості термінів, як правило, непотрібне для моделювання функції навколо центральної точки. Перші кілька термінів або серії Тейлора або Маклорена зазвичай досить наближені до функції.

    Стимулююче обговорення серії Тейлора можна знайти в «Калькуляційній практиці коефіцієнтів de Taylor d'une fonction algébrique» (Enseign. Математика. 10, 267-270, 1964), а також знаковий трактат Віттакера та Уотсона «Форми залишку в серії Тейлора». знайдений в курсі сучасного аналізу, 4-е видання.