7.3: Диференціальні рівняння другого порядку

Last updated
Save as PDF

Page ID: 32693

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Розглянемо загальне диференціальне рівняння другого порядку:

\[\tau^{2} \frac{d^{2} Y(t)}{d t^{2}}+2 \zeta \tau \frac{d Y(t)}{d t} + Y(t)=X(t) \nonumber \]

Якщо розгорнути попереднє диференціальне рівняння другого порядку:

\[ \begin{align*} \tau_{1} \tau_{2} \frac{d^{2} Y(t)}{d t^{2}}+\left(\tau_{1}+\tau_{2}\right) \frac{d Y(t)}{d t} + Y(t) &=X(t) \\[4pt] \left(\tau_{1} \frac{d}{d t}+1\right)\left(\tau_{2} \frac{d}{d t}+1\right) Y(t) &=X(t) \end{align*} \nonumber \]

де:

\[\tau=\sqrt{\tau_{1} \tau_{2}} \nonumber \]

\[\zeta=\frac{\tau_{1}+\tau_{2}}{2 \sqrt{\tau_{1} \tau_{2}}} \nonumber \]

Розширення диференціального рівняння дозволяє здогадатися, як буде виглядати форма рішення (\(Y(t)\)) при\(X(t)=1\).

Наступні правила застосовуються, коли\(τ_1 = Re(τ_1)+ i*Im(τ_1)\) і\(τ_2 = Re(τ_2)+ i*Im(τ_2)\):

Якщо Re (τ ₁) і Re (τ ₂) обидва позитивні, і немає уявних частин,\(Y(t)\) буде експоненціально затухати (перегасити).
Якщо Re (τ ₁) і Re (τ ₂) обидва позитивні, і є уявні частини,\(Y(t)\) буде коливатися, поки не досягне стійкого стану (недогасла).
Якщо Re (τ ₁) і Re (τ ₂) обидва негативні, і немає уявних частин,\(Y(t)\) буде експоненціально рости (нестабільний).
Якщо Re (τ ₁) і Re (τ ₂) обидва негативні, а є уявні частини,\(Y(t)\) буде коливатися і рости експоненціально (нестабільно).
Якщо Re (τ ₁) і Re (τ ₂) обидва нуль, а є уявні частини,\(Y(t)\) буде коливатися і ні рости, ні занепадати.
Якщо τ ₁ і τ ₂ обидва дорівнюють нулю,\(Y(t)\) дорівнює X (t).

Розв'язок загальної системи другого порядку (Коли X (t) = θ (t))

Рішення для виведення системи\(Y(t)\), можна знайти в наступному розділі, якщо припустити, що вхід\(X(t)\), - це ступінчаста функція\(θ(t)\). Рішення буде залежати від величини. Якщо менше одиниці,\(Y(t)\) буде знижено. Це означає, що вихід буде перебільшуватися і коливатися. Якщо дорівнює одиниці,\(Y(t)\) буде критично затухнути. Це означає, що вихід швидко досягне значення сталого стану, без перенапруження або коливань. Якщо більше одиниці,\(Y(t)\) буде завищена. Це означає, що вихід не досягне значення стійкого стану так швидко, як критично затухаюча система, але не буде перевищення або коливань.

Затухаючий (<1)

Якщо\(ζ < 1\), рішення таке:

\[Y(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} e^{-\zeta t / \tau} \sin \left(\sqrt{1-\zeta^{2}} \frac{t}{\tau}+\phi\right) \nonumber \]

де:

\[\phi=-\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1-\zeta^{2}}}{\zeta}\right) \nonumber \]

Коефіцієнт розпаду (C/A) можна розрахувати за допомогою наступного рівняння:

\[\frac{C}{A}=e^{-2 \pi \zeta / \sqrt{1-\zeta^{2}}} \nonumber \]

Перенесення (A/B) можна обчислити за допомогою наступного рівняння:

\[\frac{A}{B}=e^{-\pi \zeta / \sqrt{1-\zeta^{2}}} \nonumber \]

Період (\(T\)) і частота (\(ω\)) наступні:

\[T=t_{2}-t_{1}=\frac{2 \pi \tau}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} \nonumber \]

\[\omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{\sqrt{1-\zeta^{2}}}{\tau} \nonumber \]

Критично затухає (= 1)

Якщо\(ζ = 1\), рішення таке:

\[Y(t)=1-\left(1+\frac{t}{\tau}\right) e^{-t / \tau} \nonumber \]

Перегашення (> 1)

Якщо\(ζ > 1\), рішення таке:

\[Y(t)=1-\frac{1}{\sqrt{\zeta^{2}-1}} e^{-\zeta t / \tau} \sinh \left(\sqrt{\zeta^{2}-1} \frac{t}{\tau}+\phi\right) \nonumber \]

де:

\[\phi=-\tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{\zeta^{2}-1}}{\zeta}\right) \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Дано:

А ₁ = 1 м ²
А ₂ = 1,5 м ²
R ₁ = 0,25 с/м ²
R ₂ = 0,75 с/м ²

де:

А - площа резервуара
Q - об'ємна витрата
R - опір потоку потоку, що виходить з резервуара.
H - висота рідини в баку

розробити вираз, що описує відповідь Н ₂ на Q _в. Визначте, чи система закінчена, під або критично затухає, і визначте, як виглядатиме графік виразу за допомогою комплексної τ площини вище. Схема системи показана нижче:

Диференціальне рівняння другого порядку два tanks.jpg

Рішення

Виконання балансу маси на кожному резервуарі:

\[A_{1} \frac{d H_{1}}{d t}=Q_{i n}-\frac{H_{1}}{R_{1}} \label{1} \]

\[A_{2} \frac{d H_{2}}{d t}=\frac{H_{1}}{R_{1}}-\frac{H_{2}}{R_{2}} \label{2} \]

де ліві терміни враховують накопичення в резервуарі, а праві терміни - витрата в вхідному і вихідному потоках.

Нехай τ ₁ = R ₁ А ₁ і τ ₂ = R ₂ А ₂

Рівняння\ ref {1} і\ ref {2} тепер стають

\[\tau_{1} \frac{d H_{1}}{d t}=R_{1} Q_{i n}-H_{1} \label{3} \]

\[\tau_{2} \frac{d H_{2}}{d t}=\frac{R_{2}}{R_{1}} H_{1}-H_{2} \label{4} \]

Поставте подібні терміни на ту ж сторону і фактор

\[\left(\tau_{1} \frac{d}{d t}+1\right) H_{1}=R_{1} Q_{i n} \label{5} \]

\[\left(\tau_{2} \frac{d}{d t}+1\right) H_{2}=\frac{R_{2}}{R_{1}} H_{1} \label{6} \]

Застосувати\(\left(\tau_{1} \frac{d}{d t}+1\right)\) оператор з рівняння\ ref {5} до рівняння\ ref {6}

\[\left(\tau_{1} \frac{d}{d t}+1\right)\left(\tau_{2} \frac{d}{d t}+1\right) H_{2}=\left(\tau_{1} \frac{d}{d t}+1\right) \frac{R_{2}}{R_{1}} H_{1} \label{7} \]

\(\left(\tau_{1} \frac{d}{d t}+1\right) H_{1}\)Термін з лівої частини Рівняння\ ref {5} можна підставити в праву частину Рівняння\ ref {7}

\[\left(\tau_{1} \frac{d}{d t}+1\right)\left(\tau_{2} \frac{d}{d t}+1\right) H_{2}=R_{1} Q_{i n} \frac{R_{2}}{R_{1}} \nonumber \]

\[\left(\tau_{1} \frac{d}{d t}+1\right)\left(\tau_{2} \frac{d}{d t}+1\right) H_{2}=Q_{i n} R_{2} \nonumber \]

Цей вираз показує відповідь H ₂ на Q _у вигляді рішення другого порядку, як ті, що зображені вище. Тут Y (t) = H ₂ і X (t) = R ₂ Q _в

\[\zeta=\frac{\tau_{1}+\tau_{2}}{2 \sqrt{\tau_{1} \tau_{2}}}=\frac{(0.25 * 1)+(0.75 * 1.5)}{2 \sqrt{(0.25 * 1)(0.75 * 1.5)}}=1.296 \nonumber \]

Перегашене.

Обидва значення\(τ\) є додатними дійсними числами, а поведінку графіка рівняння можна знайти на комплексній τ площині вище.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Analogy to Physics - Spring System

Було б корисно використовувати пружинну систему як аналогію для наших систем другого порядку.

З другого закону руху Ньютона,

\[F = ma \nonumber \]

де:

\(F\)є Сила
\(m\)це маса
\(a\)це прискорення

Для пружинної системи це рівняння можна записати так:

\[F_{\text {applied}}-F_{\text {friction}}-F_{\text {restoring}}=m x^{\prime \prime} \nonumber \]

де\(x'\) - прискорення автомобіля в напрямку x

\[F_{\text {applied}}-f x-k x=m x^{\prime \prime} \nonumber \]

де:

k - постійна пружини, яка пов'язує зміщення об'єкта з прикладеною силою
f - частота коливань

\[\frac{m}{k} x^{\prime \prime}+\frac{f}{k} x^{\prime}+x=F_{a p p l i e d} \nonumber \]

Як бачите, це рівняння нагадує форму рівняння другого порядку. Тоді рівняння можна розглядати як:

\[\mathrm{T}^{2} X^{\prime \prime}+2 \zeta \mathrm{T} X^{\prime}+X=F_{\text {applied }} \nonumber \]

\[\tau=\sqrt{\frac{m}{k}} \nonumber \]

\[\zeta=\frac{f}{2 \sqrt{m k}} \nonumber \]

Через це пружина проявляє поведінку як диференціальні рівняння другого порядку:

Якщо\(ζ > 1\) або\(f>2 \sqrt{m k}\) він перезволожений
Якщо\(ζ = 1\) або\(f = 2 \sqrt{m k}\) він критично затухає
Якщо\(ζ < 1\) або\(f < 2 \sqrt{m k}\) він недозатухає