7.2: Диференціальні рівняння першого порядку
- Page ID
- 32701
Вступ
Розглянемо загальне диференціальне рівняння першого порядку:
\[\tau \dfrac{d y(t)}{d t}+y(t)=x(t) \nonumber \]
Загальне рішення дають:
\[y(t)=y_{0} e^{-\left(t-t_{0}\right) / \tau}+\dfrac{e^{-\left(t-t_{0}\right) / \tau}}{\tau} \int_{t_{0}}^{t} x\left(t^{\prime}\right) e^{\left(t^{\prime}-t_{0}\right) / \tau} d t^{\prime} \nonumber \]
де\(y_{0}=y \left(t-t_{0}\right)\). Зверніть увагу, що\(t^{\prime}\) використовується для відрізнення від\(t\) верхньої межі інтеграла.
Для отримання загального розв'язку починають з диференціального рівняння першого порядку:
\[\tau \dfrac{d y(t)}{d t}+y(t)=x(t) \nonumber \]
Розділіть обидві сторони на\(\tau\):
\[\dfrac{d y(t)}{d t}+\dfrac{1}{\tau} y(t)=\dfrac{1}{\tau} x(t) \nonumber \]
Перепишіть LHS в згущеному вигляді за допомогою інтегруючого фактора\(e^{ − t / τ}\):
\[e^{-t / \tau} \dfrac{d}{d t}\left[e^{t / \tau} y(t)\right]=\dfrac{1}{\tau} x(t) \nonumber \]
Зверніть увагу, як диференціація ланцюга поверне LHS до попередньої форми
Спростити:
\[\dfrac{d}{d t}\left[e^{t / \tau} y(t)\right]=\dfrac{1}{\tau} x(t) e^{t / \tau} \nonumber \]
Інтегруйте обидві сторони:
\[e^{t / \tau} y(t)-e^{t_{0} / \tau} y\left(t_{0}\right)=\dfrac{1}{\tau} \int_{t_{0}}^{t} x\left(t^{\prime}\right) e^{t^{\prime} / \tau} d t^{\prime} \nonumber \]
Вирішити для\(y(t)\):
\[y(t)=y_{0} e^{-\left(t-t_{0}\right) / \tau}+\dfrac{e^{-t / \tau}}{\tau} \int_{t_{0}}^{t} x\left(t^{\prime}\right) e^{t^{\prime} / \tau} d t^{\prime} \nonumber \]
Розглянемо:
\[\dfrac{d y(t)}{d t}=x(t) \nonumber \]
Множення обох сторін на\(dt\) дає:
\[\int_{t_{0}}^{t} \dfrac{d y d t}{d t}=\int_{t_{0}}^{t} x\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \nonumber \]
Загальне рішення дається як:
\[y(t)=y_{0}+\int_{t_{0}}^{t} x\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime} \nonumber \]
Тепер розглянемо:
\[\dfrac{d y(t)}{d t}=-a y(t) \nonumber \]
Поділ обох сторін на\(y(t)\) дає:
\[\dfrac{1}{y(t)} \dfrac{d y(t)}{d t}=-a \nonumber \]
які можна переписати як:
\[\dfrac{d}{d t}[\ln (y(t))]=-a \nonumber \]
Множення обох сторін на\(dt\), інтегрування та встановлення обох сторін рівняння як експоненціальної функції дає загальне рішення:
\[y(t)=y_{0} e^{-a\left(t-t_{0}\right)} \nonumber \]
Тепер розглянемо:
\[\dfrac{d y(t)}{d t}=-a y(t)+x(t) \nonumber \]
Детальні етапи вирішення такі:
1. Роздільні\(y(t)\) та\(x(t)\) терміни
\[\dfrac{d y(t)}{d t}+a y(t)=x(t) \nonumber \]
2. Перепишіть LHS в згущеному вигляді з використанням «інтегруючого фактора»\(e^{ − at}\)
\[e^{-a t} \dfrac{d\left(e^{a t} y(t)\right)}{d t}=x(t) \nonumber \]
Зверніть увагу, як диференціація ланцюга поверне LHS до форми, написаної на кроці 1
3. Розділіть обидві сторони на\(e^{− at}\)
\[\dfrac{d\left(e^{a t} y(t)\right)}{d t}=e^{a t} x(t) \nonumber \]
4. Помножте обидві сторони на\(dt\) та інтегруйте
\[e^{a t} y(t)-e^{a t_{0}} y_{0}=\int_{t_{0}}^{t} x\left(t^{\prime}\right) e^{a t^{\prime}} d t^{\prime} \nonumber \]
Загальне рішення дається як:
\[y(t)=y_{0} e^{-a\left(t-t_{0}\right)}+e^{-a t} \int_{t_{0}}^{t} x\left(t^{\prime}\right) e^{a\left(t^{\prime}-t_{0}\right)} d t^{\prime} \nonumber \]
Крок Функція Спрощення
\[\tau \dfrac{d y(t)}{d t}+y(t)=x(t) \nonumber \]
Для того\(x(t)=\Theta\left(t-t_{0}\right)\), яка є функція кроку і\(y_{0}=0\)
Тобто,\(x(t)=1\) для\( t_0 > t_o\) і\(x(t)=0\) інакше:
Виведене раніше загальне рішення:
\[y(t)=y_{0} e^{-\left(t-t_{0}\right) / \tau}+\dfrac{e^{-\left(t-t_{0}\right) / \tau}}{\tau} \int_{t_{0}}^{t} x\left(t^{\prime}\right) e^{\left(t^{\prime}-t_{0}\right) / \tau} d t^{\prime} \nonumber \]
зводиться до:
\[y(t)=e^{-\left(t-t_{0}\right) / \tau} \nonumber \]
так як інтеграл дорівнює 1.
Кількість\(tau\) можна розглядати як постійну часу, за допомогою якої\(y(t)\) падає до\(1/e\) початкового значення
Розглянемо диференціальне рівняння
\[\dfrac{d y(t)}{d t}=-0.5 y(t)+x(t) \nonumber \]
де\(x(t)=2+0.01 t\)
Припускаючи\(y_o =0\), що таке поведінка\(y(t)\)?
Рішення
Загальне рішення було виведено раніше як:
\[y(t)=y_{0} e^{-a\left(t-t_{0}\right)}+e^{-a t} \int_{t_{0}}^{t} x\left(t^{\prime}\right) e^{a\left(t^{\prime}-t_{0}\right)} d t^{\prime} \nonumber \]
Для\(a=0.5\) і\(y_o = 0\), під час схоплювання\(t_o=0\), розчин зводиться до:
\[y(t)=e^{-0.5 t} \int_{0}^{t}\left(2+0.01 t^{\prime}\right) e^{0.5\left(t^{\prime}\right)} d t^{\prime} \nonumber \]
Для інтегральних таблиць можна посилатися на наступне посилання: S.O.S Math
Спрощення рішення дає наступне:
\[y(t)=\dfrac{\left.\left(e^{-0.5 t}\right)\left((x+198)\left(e^{0.5 t}\right)-198\right)\right)}{50} \nonumber \]
При побудові графіка цієї функції відображається наступна поведінка:
Як добре видно з графіка, спочатку системна відповідь показує більш експоненціальні характеристики. Однак з плином часу домінує лінійна поведінка.