7.1: Дельта (імпульсна) функція Дірака

Вступ

Дельта функція Дірака\(δ(t − t_0)\) - це математична ідеалізація імпульсу або дуже швидкий сплеск речовини при\(t = t_0\). (Тут ми розглядаємо час, але дельта-функція може включати будь-яку змінну.) Дельта-функція правильно визначена через обмежувальний процес. Одним з таких визначень є тонкий високий прямокутник, шириною ε:

\[\delta\left(t-t_{0}\right)=\frac{1}{\epsilon}\nonumber \]

для

\[t_{0}-\frac{\epsilon}{2}<t<t_{0}+\frac{\epsilon}{2}\nonumber \]

і нуль інакше, в межі, що\(\epsilon \rightarrow 0\).

Тоді у нас є

\[\int_{a}^{b} \delta\left(t-t_{0}\right) d t=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[\epsilon \cdot\left(\frac{1}{\epsilon}\right)\right]=1\nonumber \]

до тих пір, поки\(a < t_0 < b\). Коли\(t_0\) знаходиться за межами діапазону\((a,b)\), то інтеграл дорівнює нулю.

Так само для будь-якої функції,\(f(t)\) яка є безперервною та диференційованою (аналітичною) при\(t_0\),

\[\int_{a}^{b} \delta\left(t-t_{0}\right) f(t) d t=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\epsilon} \int_{t_{0}-\epsilon / 2}^{t_{0}+\epsilon / 2} f(t) d t\right]=f\left(t_{0}\right)\nonumber \]

де величина в квадратних дужках вище - це лише середнє значення\(f(t)\) в інтервалі\(t_{0}-\frac{\epsilon}{2}<t<t_{0}+\frac{\epsilon}{2}\). Таким чином, коли\(\epsilon \rightarrow 0\), він стає просто значенням при\(t_0\). Наприклад:

\[\int_{0}^{\infty} \delta(t-2) t^{2} d t=2^{2}=4\nonumber \]

\[\int_{3}^{\infty} \delta(t-2) t^{2} d t=0\nonumber \]

Дельта функція в початковий час

Примітка: якщо одна з меж інтеграла точно збігається з\(t_0\), то результат зазвичай урізається навпіл:

\[\int_{t_{0}}^{b} \delta\left(t-t_{0}\right) f(t) d t=f\left(t_{0}\right) / 2\nonumber \]

для\(b > t_0\). Наприклад:

\[\int_{2}^{\infty} \delta(t-2) t^{2} d t=(1 / 2) 2^{2}=2\nonumber \]

Однак, коли ми думаємо про імпульс до системи в початковий час\(t_0\), то ми дійсно вважаємо, що вся дельта-функція додається до системи - тобто фактичний час є нескінченно малою величиною за межами\(t_0\); тобто\(t=t_{0}^{+}\). У такому випадку

\[\int_{t_{0}}^{b} \delta\left(t-t_{0}^{+}\right) f(t) d t=f\left(t_{0}\right)\nonumber \]

Визначення з точки зору гаусса

Іншим еквівалентним визначенням дельта-функцій є функція Гаусса:

\[\delta\left(t-t_{0}\right)=\lim _{\sigma \rightarrow 0} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\left(t-t_{0}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}}\nonumber \]

Всі властивості виходять однаковими, де\(a=\sqrt{2} \sigma\) використовується.

Фізичні програми

У контролі використовується дельта-функція ідеалізація дуже швидкого збурень до системи. Наприклад, якщо скинути відро з водою в бак, то «витрата» по суті є дельта-функцією - дуже сильно пікова функція, але з чистим інтегралом (загальна кількість води у відрі).

У механіці і прикладом дельта-функції є сила при ударі по предмету молотком. Скажімо, ви вдарили молотком сталеву кульку. Він рухається з певною швидкістю, що представляє сумарний імпульс, переданий молотком. Замість того, щоб говорити про силу х час (чиста передача імпульсу), можна говорити про «імпульс», який є чистим імпульсом, переданим за нескінченно короткий проміжок часу.

Ставлення до ступінчастої функції

Ступінчаста функція\(Θ(t − t_0)\), є інтегралом дельта-функції або, альтернативно, дельта-функція є похідною від тета-функції, де\(Θ(t − t_0)\) визначається в 1 for\(t > t_0\) і 0 для\(t < t_0\):

\[\delta\left(t-t_{0}\right)=(d / d t) \Theta\left(t-t_{0}\right)\nonumber \]

\[\int_{a}^{b} \delta\left(t-t_{0}\right) d t=\int_{a}^{b}(d / d t) \Theta\left(t-t_{0}\right) d t=\Theta\left(a-t_{0}\right)-\Theta\left(b-t_{0}\right)=1-0=1 \quad \text { for } a<t_{0}<b\nonumber \]

Тут гладке або гаусове визначення дельта-функції відповідає плавне подання\(Θ\) функції як інтеграла гаусової або еквівалентно функції помилки.