6.9: Контроль глюкози в крові у хворих на цукровий діабет

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33028

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Передумови того, чому контроль інсуліну важливий для хворих на цукровий діабет

Цукровий діабет - це захворювання ендокринної системи, при якому організм не може контролювати рівень глюкози в крові. Існує дві загальні класифікації діабету:

Тип I (також відомий як ювенільний діабет)

Генетична схильність і/або аутоімунна атака руйнує Т-клітини підшлункової залози
Організм не може виробляти інсулін для регулювання рівня глюкози в крові

Тип II

Найбільш поширена форма діабету і досягла епідемічного статусу в США
Зазвичай викликані способом життя
Ожиріння знижує реакцію організму на інсулін

Лікування обох типів діабету може включати фізичні вправи, дієту, пероральні препарати або ін'єкції інсуліну. Більшість інсулінозалежних діабетиків дотримуються плану управління, який вимагає частого тестування рівня глюкози в крові, а потім введення призначеної дози інсуліну на основі рівня глюкози в крові. Однак мінусом цього методу лікування є те, що немає прогностичного контролю. Якщо рівень глюкози в крові падає і вводять інсулін, може виникнути гіпоглікемічний епізод. Останні біомедичні досягнення призвели до безперервного контролю рівня глюкози в крові пристроїв, а також інсулінових насосів. Постійний моніторинг дозволяє більш точно контролювати рівень глюкози в крові і може допомогти прогнозувати коливання рівня глюкози в крові. Інсулінові насоси замінюють необхідність введення ін'єкцій інсуліну шляхом автоматичного введення призначеної дози, однак це вимагає введення рівня глюкози в крові від пацієнта. У майбутньому інсулінові насоси та монітори безперервної дії глюкози в крові можуть бути інтегровані, утворюючи замкнуту систему управління, яка зможе замінити власну несправну систему управління організму.

Малюнок 1: Схема контролю інфузії інсуліну

Математична модель системи доставки інсуліну із замкнутим контуром

Наступний набір диференціальних рівнянь відомий як «мінімальна модель» Бергмана:

\[\frac{d G}{d t}=-p_{1} G-X\left(G-G_{b}\right)+\frac{G_{m e a l}}{V_{1}} \nonumber \]

\[\frac{d X}{d t}=-p_{2} X+p_{3} I \nonumber \]

\[\frac{d I}{d t}=-n\left(I+I_{b}\right)+\frac{U}{V_{1}} \nonumber \]

де:

G = змінна відхилення концентрації глюкози в крові
X = змінна відхилення концентрації інсуліну у «віддаленому» відділенні
I = змінна відхилення концентрації інсуліну в крові
G _{прийом їжі} = порушення прийому їжі в глюкозу
U = швидкість інфузії інсуліну маніпуляції
G _b = стаціонарне значення концентрації глюкози в крові
I _b = значення стійкого стану концентрації інсуліну в крові

Показники крові включають p ₁, p ₂, p ₃, n, V ₁ (об'єм крові). Вони специфічні для зразка крові і повинні бути заздалегідь визначені.

Лінійна модель простору стану може бути використана для вираження рівнянь Бергмана, розглянутих вище. Загальну форму для моделі простору станів можна побачити нижче:

\ [\ лівий [\ початок {масив} {c}
\ точка {x} _ {1}\
\ vdots\\
\ точка {x} _ {n}
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
a_ {11} &\ cdots & a_ {1 n}
\\ vdots &\ ddots\\
a_ {n 1} &\ cdots & a_ { n n}
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ почати {масив} {c}
x_ {1}\
\ vdots\\
x_ {n}
\ кінець {масив}\ вправо] +\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
b_ {11} &\ cdots & b_ {1 м}
\\ vdots &\\ ddots\
b_ {n 1} &\ cdots & b_ {n m}
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ почати {масив} {c}
u_ {1}\
\ vdots\\
u_ {m}
\ end {масив}\ справа]\ nonumber\]

\ [\ лівий [\ почати {масив} {c}
y_ {1}\
\ vdots\\
y_ {r}
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ початок {масив} {
ccc} c_ {11} &\ cdots & c_ {1 n}
\\ vdots &\ ddots &\\
vdots\\ vdots\\ _ {r n}
\ end {масив}\ праворуч]\ лівий [\ почати {масив} {c}
x_ {1}\
\ vdots\\\
x_ {n}
\ кінець {масив}\ вправо] +\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
d_ {11} &\ cdots & d_ {1 м}
\\ vdots &\ ddots\\
d_ {r 1} &\ cdots & d_ {r m}
\ кінець {масив}\ справа]\ лівий [\ початок {масив} {c}
u_ {1}\
\ vdots\\
u_ {m}
\ end {масив}\ справа]\ nonumber\]

Загалом:

\[\dot{x}=A x+B u \nonumber \]

\[y=C x+D u \nonumber \]

де:

x = стани
u = входи
y = виходи

\ [A=\ лівий [\ begin {масив} {ccc}
-p_ {1} & -G_ {b} & 0\\
0 & -P_ {2} & P_ {3}\\
0 & 0 & -n
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [B=\ left [\ begin {масив} {ll}
0 &\ frac {1} {V_ {1}}\\
0 & 0\\
\ розриву {1} {V_ {1}} & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [C=\ left [\ begin {масив} {lll}
1 & 0 & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [D=\ left [\ begin {масив} {l}
0\
0
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Використовуючи цю загальну формулу, ми можемо деконструювати рівняння Бергмана як лінійну космічну модель стану. Перший вхід - інфузія інсуліну, а другий вхід являє собою порушення глюкози їжі.

Перший вхід:

\ [\ лівий [\ початок {масив} {c}
\ точка {G}\
\ точка {X}\
\ точка {I}
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
-p_ {1} & -G_ {b} & 0\
0 & -P_ {2} & P_ {3}\\
0 & 0 & -n
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ почати {масив} {c}
G\\
X\
I
\ кінець {масив}\ праворуч] +\ лівий [\ початок {масив} {cc}
0 &\ frac {1} {V_ {1}}\\
0 & 0
\\\ frac {1} {V_ {1}} & 0
\ кінець {масив}\ вліво [\ почати {масив} л }
u_ {1}\\
u_ {2}
\ кінець {масив}\ право]\ nonumber\]

де

$\ точка {G}$ = диференціальна концентрація глюкози в крові
$\ точка {X}$ = диференціальна концентрація інсуліну у «віддаленому» відділенні
$\ точка {Я}$ = диференційна концентрація інсуліну крові

Другий вхід:

\ [y=\ left [\ begin {масив} {lll}
1 & 0 & 0
\ кінець {масив}\ праворуч] G+\ left [\ begin {масив} {ll}
0 & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ left [\ begin {масив} {l}
u_ {1}\
u_ {2}
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

де

\ [\ left [\ begin {масив} {l}
u_ {1}\
u_ {2}
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ begin {масив} {c}
U-U_ {b}\\
G_ {m e a l} -0
\ end {масив}\ право]\ nonumber\]

Приклад набору параметрів

Гб = 4,5 ммоль/літр
Ib = 4,5 мед/літр
V1 = 12 літрів
р1 = 0/хв
р2 = 0,025/хв
р3 = 0,0000013 МВ/літр
n = 5/54 хв-1

Важливо стежити за агрегатами при використанні цих параметрів. Перераховані вище концентрації знаходяться в ммоль/літр, але порушення глюкози має одиниці грамів. Тому нам необхідно застосувати коефіцієнт перерахунку 5,5556 ммоль/грам до терміну _{прийому їжі} G. Використовуючи ці змінні, можна вирішити для сталих станів і обчислити швидкість інфузії базального інсуліну (Ub) таку, яка дорівнює 16.1667 мU/хв. Для цих параметрів результуюча модель простору стану дорівнює

\ [A=\ лівий [\ begin {масив} {ccc}
0 & -4.5 & 0\\
0 & -0.025 & 0.000013\
0 & 0 &\\ 0 &\ frac {-5} {54}
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [B=\ left [\ begin {масив} {cc}
0 & 0.4630\\
0 & 0\\
\ frac {1} {12} & 0
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

У США поширена практика описувати концентрацію глюкози в одиницях мг/децилітр на відміну від ммоль/літр. Тому одиниці будуть переведені з ммоль/літр в мг/децилітр. Молекулярна маса глюкози становить 180г/моль, і тому потрібно помножити стан глюкози (ммоль/літр) на 18, щоб отриманий виміряний вихід глюкози знаходився в одиницях мг/децилітр. Наступні відносини стану-виводу оброблятимуть це:

\ [C=\ left [\ begin {масив} {lll}
18 & 0 & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

\ [D =\ left [\ begin {масив} {ll}
0 & 0
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Через перетворення Лапласа буде встановлено, що функція передачі процесу:

\[G_{p}(s)=\frac{-3.79}{(40 s+1)(10.8 s+1) s} \nonumber \]

Функція передачі порушень через скасування полюса/нуля просто:

\[G_{d}(s)=\frac{8.334}{s} \nonumber \]

Однак насправді глюкоза безпосередньо не потрапляє в кровотік. Відбувається «відставання», пов'язане з переробкою глюкози в кишечнику. Його потрібно попередньо обробити тут перед надходженням в кров. Однак його можна змоделювати як функцію першого порядку, з 20-хвилинною постійною часу. Це змінює вищевказане рівняння для функції передачі збурень, щоб включити відставання в кишечнику таким чином, що:

\[G_{d}(s)=\frac{8.334}{s(20 s+1)} \nonumber \]

Бажана продуктивність управління

Стаціонарна концентрація глюкози 4,5 ммоль/літр відповідає концентрації глюкози 81 мг/децилітр. Пацієнт на цукровий діабет, щоб залишатися здоровим, повинен підтримувати концентрацію глюкози в крові вище 70 мг\ deciliter. Якщо концентрація глюкози в крові падає нижче 70 мг/децилітр, пацієнт може мати слабкість, оскільки це дуже типовий короткочасний симптом гіпоглікемії. Швидкість інфузії інсуліну (маніпульоване введення) не може опускатися нижче 0, і це обмеження має бути встановлено в моделюванні. Можна використовувати численні різні стратегії управління. Рівняння, наведене для функції процесу вище, може бути спрощено до наступної форми, і може бути використаний регулятор PD або PID.

\[G_{p}(s)=\frac{k_{p}}{\left(\tau_{p}+1\right) s} \nonumber \]

Діабетик буде знати, коли вони споживають їжу, і, отже, коли їх концентрація глюкози в крові може підвищуватися. Тому може бути бажана система управління подачею вперед.

Посилання

Bequette, B.W. Управління процесом: Моделювання, дизайн та моделювання Нью-Джерсі: Прентіс Холл, 2003. стор 81-83, 694-697.

Автори та атрибуція

Автор: Робберт Аппель, Джессіка Ріллі, Джордан Талія