6.6: Модель теплообмінника ODE та Excel

Вступ

У переробних виробництвах теплообмінники призначені для передачі тепла від однієї рідини до іншої. Теплообмінники мають багато різних застосувань, особливо в хімічних процесах, кондиціонуванні повітря та холодильному обладнанні. Їх класифікують за конструкцією і типом протікання. У деяких типах теплообмінників дві рідини розділені стінкою або мембраною, і передача тепла відбувається як конвекцією, так і провідністю. В іншому, менш поширеному типі теплообмінника дві рідини фізично контактують один з одним в міру теплопередачі.

Оскільки теплообмінники мають широкий спектр застосувань і зазвичай використовуються в промисловості, контроль системи є важливим. Може бути створена динамічна модель, яка дозволить інженера-хіміку оптимізувати і контролювати теплообмінник. Використовуючи цю модель, можна зробити прогнози про те, як зміна незалежних змінних системи змінить виходи. Існує багато незалежних змінних та міркувань, які слід враховувати в моделі. Якщо зробити це правильно, можна зробити точні прогнози щодо системи.

Типи теплообмінників

1. Двотрубний теплообмінник

Двотрубний теплообмінник є найпростішим видом теплообмінника і може працювати з однопоточним (рис. 1) або протитечією (рис. 2). Конструкція складається з однієї невеликої труби (трубка-сторона) всередині більшої (оболонка-сторона). Спільний теплообмінник найчастіше використовується, коли ви хочете, щоб вихідні потоки залишали теплообмінник при тій же температурі. Протиточний теплообмінник використовується частіше, ніж однострумовий, оскільки вони дозволяють більш ефективно передавати енергію.

2. Кожухотрубний теплообмінник

Кожухотрубний обмінник використовується для великих потоків, які дуже поширені в хімічній переробній промисловості. Конструкція цього теплообмінника являє собою оболонку з пучком трубок всередині. Трубки знаходяться паралельно і навколо них в оболонці обтікає рідина. Існує багато різних механізмів, таких як прямі (рис. 3) або U-tube (рис. 4). Кожне розташування дозволяє використовувати різний тип потоку, такий як спільний струм, протиточний і поперечний потік. Сторона трубки може мати один або кілька проходів для збільшення енергообміну від рідини на стороні трубки. Оболонка може містити перегородки або стінки, які направляють потік рідини і викликають турбулентність, і, таким чином, збільшують енергообмін. Кореляції можуть бути розроблені для прогнозування збільшення енергообміну. Ці кореляції виходять за рамки цієї статті.

3. Перехресний потік теплообмінника

Найбільш поширене застосування для перехресного теплообмінника - це коли газ нагрівається або охолоджується. Цей пристрій складається з декількох паралельних трубок, зазвичай містять рідину, а зовнішній газ тече по трубках. У деяких випадках повітря обмежений в окремих проточних камерах, таких як ребра, а в інших він відкритий для вільного потоку (рис. 5).

Динамічне моделювання теплообмінників

Оскільки теплообмінники настільки широко використовуються в промисловості, інженеру-хіміку необхідно мати можливість оптимізувати та контролювати систему та знати, як незалежні змінні впливатимуть на виходи з системи. Для цього розробляється і використовується динамічна модель.

Динамічна модель теплообмінника може бути використана, наприклад, для прогнозування того, як зміна витрат рідини або додавання ізоляційної сорочки вплине на температуру виходу потоку продукту. Модель використовує звичайні диференціальні рівняння (ODE) для опису процесу і, використовуючи таку програму, як Microsoft EXCEL, дає графіки змінних проти часу для всього процесу. У теплообміннику є багато незалежних змінних, що може призвести до того, що моделювання буде дуже складним, оскільки для визначення всіх змінних процесу потрібно кілька ОД.

Деякі незалежні змінні в системі теплообмінника включають:

Оболонка:

• рідина
• витрата
• температура
• кількість перегородок

Сторона трубки:

• рідина
• витрата
• температура
• кількість проходів

Конфігурація потоку

• Спільний струм
• Протитечія
• Перехресний потік

Ізоляційна куртка

Первинною залежною змінною, що викликає занепокоєння, є температура на виході потоку продукту (зазвичай рідини на стороні труби). Температура на виході, в контрольованій системі, контролюється датчиком. Потім датчик передає сигнал на виконавчий пристрій однієї або декількох незалежних змінних (зазвичай контролер потоку на стороні оболонки) для виконання певної бажаної реакції.

Моделювання за допомогою ОДУ

У наступному розділі викладено метод розробки динамічної моделі теплообмінника. Модель призначена для двотрубного теплообмінника, який має можливість протікати в однопоточних або протиточних конфігураціях і варіант зовнішньої ізолюючої сорочки. Він передбачає постійні властивості рідини і ідеальну тепловіддачу через метал трубки. Температура на виході рідини на стороні трубки контролюється датчиком температури, а швидкість потоку рідини на стороні оболонки регулюється приведеним пристроєм управління потоком.

Енергетичний баланс

Енергетичний баланс спочатку виконується на стороні трубки рідини.

\[\text{Rate of accumulation of thermal energy in tube-side fluid} = \text{rate of energy in} - \text{Rate of energy out} - \text{Heat transferred from shell-side} \label{1} \]

Самим лівим терміном енергетичного балансу в Equation\ ref {1} є кількість теплової енергії, яка накопичується в рідині на стороні трубки і викликає зміну її температури на виході. Терміни з правого боку вищевказаного енергетичного балансу описують теплову енергію рідини, що протікає і рідини, що випливає назовні, і кількість тепловіддачі з боку оболонки рідини. У терміні для передачі тепла з боку оболонки температурами вважаються температури вихідних потоків. Температура на виході буде змінюватися залежно від того, працюєте ви одночасно чи зустрічно. Енергетичний баланс пишеться так:

\[m c_{p, t} \frac{d T_{t, o u t}}{d t}=\rho c_{p, t} F_{t, i n} T_{t, i n}-\rho c_{p, t} F_{t, o u t} T_{t, o u t}-\frac{k A_{i}}{\Delta z}\left(T_{t, o u t}-T_{s, o u t}\right) \label{2} \]

де,

• маса рідини =
• постійний тиск теплоємності рідини
• Температура
• час
• провідний коефіцієнт тепловіддачі
• площа поверхні трубки, з якою контактує рідина
• довжина трубки
• щільність рідини
• об'ємний витрата рідини

а індекси позначають

• - рідина на стороні трубки
• - розетка
• - впускний
• - всередині

Аналогічний енергетичний баланс далі виконується на оболонці рідини.

\[\text{Rate of accumulation of thermal energy in tube-side fluid} = \text{rate of energy in} - \text{Rate of energy out} - \text{Heat transferred to tube-side fluid} - \text{Rate of heat loss to the surroundings} \label{3} \]

Самим лівим терміном в вищезгаданому енергетичному балансі є кількість теплової енергії, яка накопичується в рідині на стороні оболонки і викликає зміну її температури на виході. Терміни з правого боку вищевказаного енергетичного балансу описують теплову енергію рідини, що протікає, і рідини, що випливає назовні, тепловіддачу рідини на стороні трубки, а також тепло, втрачене конвекцією в навколишнє середовище. Енергія пишеться як;

\[m c_{r, s} \frac{d T_{s, out}}{d t}-\rho c_{p, s} F_{s, sn} T_{s, i n}-\rho c_{p, s} F_{s, cut} T_{s, out}-\frac{k \cdot A_{o}}{\Delta z}\left(T_{s, cut}-T_{t, o u t}\right)-h . A_{s}\left(T_{s}-T_{\infty}\right) \label{4} \]

де,

• = коефіцієнт конвективної тепловіддачі для повітря
• - провідний коефіцієнт тепловіддачі.

а індекси позначають

• - рідина на стороні оболонки
• - повітря
• - зовні труби
• - зовні оболонки

Міркування

Існують міркування та спрощення, які ви можете зробити, щоб вирішити диференціальні енергетичні баланси. Обґрунтованість цих припущень залежить від того, наскільки точна модель вам потрібна.

1. Теплоємність рідини може залежати від температури. Якщо це так, поліноміальне рівняння може бути записано для значень C _p кожної з рідин. Це прийме форму-

\[C_{p}=a+b T+c T^{2}+d T^{3} \label{5} \]

Значення a, b, c та d є властивостями рідини і їх можна знайти в Довіднику інженерів-хіміків Перрі.

Слід також зазначити, що якщо рідинами в процесі є гази, на їх властивості рідини впливатимуть зміни тиску і використання постійного значення С _р було б недоцільним.

2. Щільність рідини може залежати від температури. Це було б ймовірно, якби рідина була парою, як у випадку використання пари як рідини на стороні оболонки для нагрівання технологічної рідини на стороні труби. Якщо це так, диференціальне рівняння може бути записано для значення рідини і прийме форму-

\[\frac{d \rho}{d T} \propto C \label{6} \]

де\(C\) - коефіцієнт кубічного розширення (відносить кінетичну енергію до температури).

3. Тепловтратами в навколишнє середовище можна знехтувати. Це було б у випадку, якщо теплообмінник добре ізольований або якщо рідина на стороні оболонки приблизно така ж, як температура навколишнього середовища. В даному випадку-

\[h A\left(T_{s}-T_{\infty}\right)=0 \label{7} \]

4. Температурний датчик може мати властиву тимчасову затримку. Це означає, що температура на виході з датчика відстає від фактичної температури на момент показання. Температурний відставання може враховуватися за допомогою диференціального рівняння-

\[\frac{d T_{\text {outlet}, \text {sensor}}}{d t}=\frac{1}{\tau_{T s}}\left(T_{\text {outlet}, \text {actual}}-T_{\text {outlet}, \text {sensor}}\right) \label{8} \]

де = постійна часу для датчика температури. є параметром процесу і зазвичай становить від 6 до 20 секунд в залежності від властивостей датчика. Це значення або буде наведено в літературі від виробника, або доведеться визначати шляхом експериментів.

5. Система приводу для регулюючого клапана може мати повільний динамічний відгук. Коли система приводу заснована на регулюючому клапані, реакція на зміну тиску повільніше, ніж потік через клапан. Швидкість потоку через регулюючий клапан може бути змодельована за допомогою диференціального рівняння-

\[\frac{d Q_{\text {actual}}}{d t}=\frac{1}{\tau_{v}}\left(Q_{\text {setpoint}}-Q_{\text {actual}}\right) \label{9} \]

де = постійна часу для клапана регулювання потоку. є параметром процесу і зазвичай становить від 0,5 до 2 секунд в залежності від властивостей датчика. Цю величину потрібно було б визначити шляхом експериментів.

Використання EXCEL для вирішення ODE

Оскільки температура теплообмінника змінюється як по металу, так і по довжині труби, необхідно описати часткову похідну того, як температура змінюється в залежності від довжини. Для того щоб вирішити цю задачу за допомогою excel, було використано наближення довжини. Замість того, щоб приймати часткову похідну по довжині по відношенню до температури, труба була розділена на диференціальні сегменти, Δz. В ідеалі Δz - це нескінченно малий перетин довжини теплообмінника. Будемо вважати, що через цей диференціальний сегмент температура рідини, що виходить з сегмента, така ж, як температура рідини всередині сегмента. Оскільки ми припускаємо таку ж температуру для вихідних потоків, що і внутрішня частина сегмента, вибір довжини для цих Δz допомагає диктувати точність рішення. Поєднання цих диференціальних агрегатів дозволяє моделювати теплообмінник без використання часткових похідних. На малюнку нижче показаний приклад спрощення, коли теплообмінник розділений на три сегменти (рис. 6).

Щоб почати моделювання, почніть з вирішення відповідного енергетичного балансу (Equation\ ref {2} або\ ref {4}) і зробіть будь-які необхідні спрощення. Потім використовуйте метод для вирішення ODE в Excel, наприклад Ейлера або Хеуна. Перейдіть сюди: ExcelModelingOde для подальшого пояснення того, як налаштувати електронну таблицю Excel за допомогою цих методів. Для кожної одиниці Δz і кожної рідини в цій одиниці теплообмінника слід мати рівняння наближення. Оскільки в ідеалі\(Δz\) являє собою нескінченно малу секцію, з першого припущення випливає, що ми можемо прийняти температуру в Δz як температуру виходу гарячих і холодних потоків відповідно.\(Δz\)

Рівняння для методу Ейлера набуває вигляду:

\[T_{h 1}\left(t_{i+h}\right)=T_{h 1}\left(t_{i}\right)+\Delta t\left[\frac{d T}{d t}\left(t_{i}\right)\right] \label{10} \]

Рівняння для методу Хона набуває вигляду:

\[T_{h_{1}}\left(t_{i+1 h}\right)=T_{h_{1}}\left(t_{i}\right)+\Delta\left[\frac{1}{2} \frac{d T}{d t}\left(t_{i} T_{i}\right)+\frac{1}{2} \frac{d T}{d t}\left(t_{i+h} T_{i+1 h_{i}}\right)\right] \label{11} \]

Потім температури можуть бути побудовані в порівнянні з часом, щоб змоделювати, як вхідні системи впливають на теплообмін. Наступні приклади продемонструють вам модель простого теплообмінника в Excel.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Euler's Method

Як інженер-технолог в хімічній переробній компанії, вам було доручено масштабувати процес для останньої та найбільшої хімічної речовини вашої компанії. Між одним з етапів реакції необхідно швидко і ефективно охолодити розчин від 330 К, перш ніж дати йому увійти на наступний етап. З ваших попередніх знань ви знаєте, що теплообмінник необхідний і протиточний теплообмінник є найбільш ефективним для досягнення потрібної температури. Ви вирішили використовувати холодну воду, що надходить при 250 К в якості теплоносія, оскільки вона відносно недорога. Для того, щоб інженери заводу в майбутньому мали більший контроль, створіть модель, щоб визначити, коли цей процес перейде в сталий стан, і графік температурних профілів вихідних потоків. Можна припустити, що теплообмінник ідеально ізольований і що існує ідеальна провідність через метал від рідини на стороні оболонки до рідини на стороні трубки, і ця провідність описується коефіцієнтом теплопередачі, k, між двома рідинами.

Загальна відповідна інформація:

• Т _{повітря} = 296,15 К (Темп. повітря)
• r _i = 0,1 м (внутрішній діаметр внутрішньої труби)
• r _o = 0,12 м (зовнішній діаметр внутрішньої труби)
• r _o '= 0,15 м (зовнішній діаметр зовнішньої труби)
• Δz = 1 м (Приріст довжини)
• k = 450000 Вт/м2* К (коефіцієнт теплопередачі між рідинами на стороні оболонки та трубки)

Інформація про бічну рідину оболонки (холодна вода)

• C _ps = 4185 Дж/кг* К (теплоємність рідини з боку оболонки)
• T _{0 с} = 250 К (температура вхідної рідини на стороні оболонки)
• A _s = 0,02543 м (площа поперечного перерізу, де присутня рідина на стороні оболонки)
• ρ _s = 1000 кг/м ^ 3 (щільність бічної рідини оболонки)
• F _s = 0,1 м3/с (об'ємний витрата бічної рідини оболонки)

Інформація про рідину на стороні трубки (рішення)

• C _pt = 1200 Дж/кг* К (теплоємність рідини на стороні трубки)
• T _{0 t} = 330 К (температура вхідної рідини з боку трубки)
• A _t = 0,0314 м (площа поперечного перерізу, де присутня рідина з боку труби)
• ρ _t = 1030 кг/м ^ 3 (щільність рідини з боку трубки)
• F _t = 0,2 м3/с (об'ємний витрата рідини з боку трубки)

Рішення

Загальний алгоритм можна дотримуватися для розробки моделі Excel.

• 1. Складіть електронну таблицю, яка містить всю відповідну інформацію про процес (тобто: T входи, ρ значення тощо).
• 2. Виконайте загальний енергетичний баланс для рідин на стороні трубки та оболонки. Зробіть спрощення та припущення стану. Вирішити для
• 3. Розділіть теплообмінник на менші відрізки довжиною Δ z
• 4. У вашій електронній таблиці налаштуйте стовпчик на час. У першому рядку почніть з t = 0, а потім збільште час на Δ h вниз по стовпчику.
• 5. Налаштуйте колонку для вхідної температури на стороні труби, T _{t 0}. Значення вхідної температури вводиться користувачем. Зробіть те ж саме для температури на стороні оболонки, T _{s 0}.
• 6. Налаштуйте колону для вихідної температури на стороні труби з кожної одиниці Δ z. Зробіть те ж саме для температур на стороні оболонки. Для кожного з цих температурних стовпчиків:

• а. в першому ряду зробіть початкове припущення про температуру. Зазвичай це робиться шляхом установки температури, рівної температурі потоку, що надходить в теплообмінник.
• б У наступних рядках введіть рівняння Ейлера (Eq 10), посилаючись на відповідні комірки для інформації про процес і візьміть всі температури від часу, t _i, які є температурами в рядку вище.

• 7. Складіть графік змінних, що цікавлять (Температури) проти часу.

На графіку нижче показано, як змінюється температура виходу гарячої та холодної за короткий проміжок часу.

Для більш детального перегляду цього процесу, будь ласка, перегляньте додану електронну таблицю:

Приклад\(\PageIndex{2}\): Heun's Method

Знову ж таки, ви працюєте над тим же процесом, але ваш керівник вимагає від вас більш точного опису динаміки системи. Будучи настільки яскравим, як і ви, ви вирішили використовувати метод Рунга Кутта 2-го порядку, відомий як метод Хун.

Рішення

Дотримуйтесь алгоритму в прикладі 1, за винятком кроку 6b, використовуйте рівняння для методу Хена, Eq 11.

На графіку нижче показано, як змінюється температура виходу гарячої та холодної за короткий проміжок часу.

Для більш детального перегляду цього процесу, будь ласка, перегляньте додану електронну таблицю:

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Через місяць після того, як ви розробили модель теплообмінника, використовуваного в процесі для останньої та найбільшої хімічної речовини вашої компанії, один з інженерів заводу телефонує вам і каже, що при t = 2 с в процес температура вхідної рідини різко змінюється від 330K до 300K. Як реагують на цю зміну температури вихідних потоків. Використовуйте інформацію та модель з Прикладу 1.

Рішення

Електронна таблиця Excel може бути змінена таким чином, щоб під час t = 2s вхідна температура рідини на стороні трубки становила 300K. На графіку нижче показано, як змінюється температура виходу гарячої та холодної за короткий проміжок часу.

Для більш детального перегляду цього процесу, будь ласка, перегляньте додану електронну таблицю:

Зміна температури на стороні трубки

Посилання

• Ріггс, Джеймс Б.; Карім, М. Назмул. Контроль хімічних та біопроцесів, Техаський технічний університет, видавництво тхорів.

Дописувачі та атрибуція

• Автори: Тереза Місіті, Карлі Еренбергер, Данеш Деонарайн, Джорджина Манг