Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.4: Модель ODE та Excel CSTR з теплообміном

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    32979

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вступ

    Реактор безперервного змішування-резервуара (CSTR) - це посудина для хімічної реакції, в якій робоче колесо безперервно перемішує вміст, забезпечуючи належне змішування реагентів для досягнення певного виходу (рис.\(\PageIndex{1}\)). Корисний у більшості хімічних процесів, він є наріжним каменем інструментарію хімічної інженерії. Правильне знання того, як маніпулювати рівняннями для управління КСТР, рівносильно успішній експлуатації та виробництву бажаних продуктів. Метою цього розділу є моделювання динамічних умов в межах CSTR для різних умов процесу. Простота всередині моделі використовується, оскільки основна увага полягає в розумінні процесу динамічного управління.

    800px збудження_судно.svg.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Діаграма поперечного перерізу CSTR. (CC BY-SA 3.0; Даніеле Пульєзі через Вікіпедію)

    припущення

    Для цілей цього розділу ми зробили наступні припущення, щоб пояснити CSTR моделюванням теплообміну.

    • Ідеальне змішування: Мішалка всередині CSTR створить середовище ідеального змішування всередині посудини. Вихідний потік матиме таку ж концентрацію та температуру, як реакторна рідина.
    • Одиночна реакція 1-го порядку: Щоб уникнути плутанини, складна кінетика не враховується при наступному моделюванні. \ [\ -r_ {a} =k C_ {A}]
    • Задані параметри: Припускаємо, що вказані необхідні параметри для вирішення проблеми.
    • Обсяг вказаний: У контрольному середовищі розмір судна, як правило, вже вказаний.
    • Постійні властивості: Для цієї моделі ми зробили припущення, що властивості видів, які ми намагаємося моделювати, залишатимуться постійними в діапазоні температур, на який ми будемо дивитися. Важливо зробити це припущення, так як в іншому випадку ми будемо мати справу з набагато більш складною проблемою, яка має різну теплоємність, теплоту реакції і т.д.

    Моделювання ODE в Excel

    Для налаштування моделі необхідно враховувати залишки маси та енергії по всьому реактору. З цих енергетичних балансів ми зможемо виробити відносини для температури реактора і концентрації граничного реагенту всередині нього.

    Визначення змінних

    Наступна таблиця дає підсумок всіх змінних, які ми використовували в наших математичних формулах.

    Пояснення символів
    Символ Значення Символ Значення
    V Обсяг реактора ρ Щільність потоку
    м Масова витрата С А0 Оригінальна концентрація
    С А поточна концентрація Т 0 Початкова температура
    Т Поточна температура Т С Температура охолоджуючої рідини
    ΔH рхн Теплота реакції ΔC р Загальна зміна теплоємності
    кг 0 Постійна норма закону Е Енергія активації
    Р Ідеальна газова постійна UA Загальний коефіцієнт теплопередачі

    Баланс маси

    З наших енергетичних і матеріальних балансів курсової роботи ми знаємо, що загальне рівняння для балансу маси в будь-якій системі виглядає наступним чином:

    \[\text {Rate Accumulation}= (\text {Flow } \text {In})-(\text{Flow Out}) - (\text{\mathrm{Rate } \text{Generation}) } \nonumber \]

    \[\text{Rate Accumulation} =V \frac{d C_{A}}{d t} \nonumber \]

    \[\text {Flow In}-\text {Flow } \mathrm{Out} =\frac{m}{\rho}\left(C_{A 0}-C_{A}\right) \nonumber \]

    \[\text{Rate Generation} =V\left(-r_{a}\right)=V C_{A} k_{0} e^{-E / R T} \nonumber \]

    У випадку з CSTR ми знаємо, що швидкість накопичення буде дорівнює\(V \frac{d C_{A}}{d t}\). Це виходить з того, що загальна кількість родимок в CSTR є\(V C_{A}\), тому скупчення родимок якраз і буде диференціалом цього. ОскількиV\, це константа, це можна витягнути з диференціала, і ми залишаємося з нашим більш раннім результатом. Ми також знаємо, що витрата кротів в порівнянні з потоком кротів дорівнює\(\frac{m}{\rho}\left(C_{A 0}-C_{A}\right)\), який являє собою масову витрату, розділену на щільність потоку, а потім помножену на різницю концентрації кротів в потоці корму і потоці продукту. Нарешті, ми можемо визначити, яка швидкість генерації родимок у системі за допомогою рівняння Арренія. Це дасть нам швидкість генерації, рівну

    .

    Об'єднавши всі ці рівняння і потім вирішивши для\(\frac{d C_{A}}{d t}\), отримаємо, що:

    \[\frac{d C_{A}}{d t}=\frac{m}{\rho V}\left(C_{A 0}-C_{A}\right)-k_{0} C_{A} e^{-E / R T} \nonumber \]

    Енергетичний баланс

    З нашої курсової роботи з термодинаміки ми знаємо, що загальне рівняння енергетичного балансу в будь-якій системі виглядає наступним чином:

    Швидкість\ Акумуляція енергії) = (Тепло\ In) - (Тепло\ Out) + (Швидкість\ Тепло\ Генерація) + (Тепло\ Передача)\,

    Швидкість\ Накопичення енергії) = V\ rho C_p\ frac {dT} {dT}

    Тепло\ In) - (Тепло\ Out) = м\ Дельта C_p (T_0-T)\

    Тепло\ передача) = UA (T_C-T)

    У випадку з CSTR ми знаємо, що швидкість накопичення енергії всередині реактора буде дорівнюєV\ rho C_p\ Фрак {dT} {dt}. Це рівняння в основному являє собою загальну кількість молів (фактично маси) в реакторі, помножене на теплоємність і зміну температури. Ми також знаємо, що тепло, що генерується цією реакцією, є швидкістю генерації маси (− Vr a), що перевищує питому теплоту реакції (Δ H rxn). Загальна швидкість передачі тепла в систему і з неї задаєтьсям\ Дельта С_р (T_0-T)\,. Це рівняння являє собою витрату, помножену на теплоємність і різницю температур, що дає нам загальну величину теплового потоку для системи. Нарешті, віддається кількість тепла, що передається в системуUA (T_C-T)\,. Об'єднавши всі ці рівняння і вирішивши енергетичний баланс для\ frac {dT} {DT}, отримаємо, що:

    У реалістичній ситуації, коли багато хімічних оброблених мають справу з численними реакціями та тепловими ефектами, необхідно зробити невеликі зміни в модельованому рівнянні. На наведеній нижче схемі оцінюється теплообмінник при теплових впливах, в якому є температура на вході і виході, яка враховується в ентальпійному члені в знову модельованому рівнянні.

    Модель теплообмінника Term.jpg

    Для моделювання теплообмінника, який враховує множинні реакції, просто візьміть\(\delta C_p\) термін\(\delta H_{rxn}\) і додайте грецьку букву сигму для підсумовування перед термінами. При розгляді випадку з множинними реакціями і тепловими ефектами ентальпія і теплоємність кожної реакції повинні бути реалізовані в енергетичному балансі, отже i і j представляють окремі види реакції. Рівняння тепер виглядає приблизно так:

    Метод Ейлера

    Для того, щоб змоделювати ODE в Excel, ми будемо використовувати метод Ейлера. Причина, чому ми обрали метод Ейлера над іншими методами (наприклад, Рунге-Кутта), була пов'язана з простотою, пов'язаною з Ейлером. Намагатися моделювати такими методами, як Рунге-Кутта, набагато складніше в Excel, тоді як метод Ейлера досить простий. Ми також перевірили точність наших результатів за допомогою методу Ейлера, порівнявши наші відповіді з відповідями Polymath, високоточної програми моделювання ODE. Ми виявили, що наші відповіді були такими ж, як і у Polymath, тому нам досить зручно використовувати метод Ейлера для нашої моделі. Ось повна інформація про метод Ейлера. Для цієї моделі нас в першу чергу буде цікавити зміна концентрації реагенту і температури реактора. Це два диференціальних рівняння, які ми змогли отримати з балансів маси та енергії в попередньому розділі. Нижче наведено застосування методу Ейлера для CSTR на зміну концентрації:

    \[C_{A i}=C_{A(i-1)}+\frac{d C_{A}}{d t} \Delta t \nonumber \]

    Це ж додаток можна зробити до зміни температури по відношенню до часу:

    \[T_{i}=T_{i-1}+\frac{d T}{d t} \Delta t \nonumber \]

    Припускаючи, що всі значення в ОДА залишаються постійними, за виняткомТ\ іC_A\, нове значення потім знаходить, приймаючи попереднє значення та додаючи диференціальну зміну, помножену на часовий крок.

    Список рівнянь

    Нижче наведено зведений перелік усіх рівнянь, які будуть використовуватися при моделюванні CSTR з теплообмінником.

    \[\frac{d C_{A}}{d t}=\frac{m}{\rho V}\left(C_{A 0}-C_{A}\right)-k_{0} C_{A} e^{-E / R T} \nonumber \]

    \[C_{A i}=C_{A(i-1)}+\frac{d C_{A}}{d t} \Delta t \nonumber \]

    \[T_{i}=T_{i-1}+\frac{d T}{d t} \Delta t \nonumber \]

    Поєднання за допомогою Excel

    Для моделювання CSTR за допомогою Excel ви використовуєте метод Ейлера, енергетичний баланс і баланс маси разом для вирішення концентрації в час t.

    Excel Screenshot.jpg
    Знімок екрана моделі Excel для CSTR з теплообмінником

    Як користуватися нашою моделлю

    Щоб полегшити розуміння цього процесу, ми розробили електронну таблицю Excel спеціально для розгляду змін концентрації та температури, враховуючи деякі зміни вхідних даних у систему CSTR. Прикладом зміни системи може бути те, що температура потоку подачі знизилася на задану кількість градусів, або що швидкість, з якою подається потік подачі, змінилася на деяку величину. Використовуючи нашу електронну таблицю, ви зможете легко підключити задані параметри та подивитися на тенденцію концентрації та температури протягом широкого часового інтервалу.

    Спосіб роботи цієї електронної таблиці досить простий. Коробки надаються для введення всієї наданої інформації для вашої проблеми CSTR. Також були надані різні стовпці, що містять значення температури, концентрації та ін., Що стосується часу. Потім є більше стовпців, які містять значення для різних диференціальних рівнянь зверху. Маючи похідну часу в руці, ми можемо передбачити значення температури або концентрації в наступному заданому часовому інтервалі.

    Наша проста у використанні модель Excel наведена тут: Шаблон моделювання CSTR. У нашій моделі ви знайдете колонку невідомих, які повинні бути вказані для вирішення оптимальної температури перетворення і оптимальної концентрації А. Потім є дві осередки, які будуть відображати оптимальну температуру і концентрацію. Також надаються графіки, щоб подивитися на зміну температури та концентрації з плином часу. Більшість змінних у моделі є зрозумілими. Однією з важливих особливостей нашої моделі є можливість мати зміну температури потоку подачі або концентрації А через заданий час t Вам не потрібно вводити значення для цих осередків, якщо немає зміни подачі; це просто забезпечує зручний спосіб подивитися на зміну температури і концентрація А. Вам також забезпечена клітина для часового кроку,Дельта т\,. Залежно від того, який розмір тимчасового кроку ви виберете, вам може знадобитися вибрати більше значення, якщо ваші графіки не досягають стійкого стану. Якщо це так, вихідні комірки скажуть вам збільшити часовий крок.

    Додатки для управління технологічними процесами

    Створена модель може враховувати безліч різних ситуацій. Однак при контролі процесу дуже важливо враховувати наступне.

    1. Екзотермічна реакція - У промисловості екзотермічна реакція, як правило, має більш важливе значення для контролю, оскільки існує фактор безпеки. (тобто вибухонебезпечні умови реактора)
    2. Об'ємна константа - для КСТР в основному використовуються рідини.

    Розроблена модель може допомогти контролювати фактичний процес різними способами, включаючи наступні, але не обмежуючись:

    • Підтримка концентрації продукту, незважаючи на зміну умов експлуатації
    • Прогнозування та запобігання вибухонебезпечних умов реактора
    • Оптимізація витрати
    • Оптимізація вхідної концентрації
    • Оптимізація робочої температури
    • Оптимізація температури охолоджуючої рідини

    Ця модель дуже корисна для багатьох простих реакторних ситуацій і допоможе в розумінні процесу та того, як динамічні ситуації вплинуть на роботу.

    У реальних програмах реакція не може бути першого порядку або незворотною або включати кілька реакцій. У всіх цих випадках ми модифікуємо баланс енергії та маси з додатковими міркуваннями закону про ставку.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Ви уклали контракт WOW Chemical для контролю роботи їх 3000 л з курткою CSTR. Вони прагнуть створити хімічну речовину В з хімічної речовини А при оптимальному перетворенні. Яка температура, при якій досягається оптимальне перетворення?

    A → B - це реакція першого порядку, незворотна.

    Деякі відомості про процес:

    Температура подачі потоку = 400 К

    Температура охолоджуючої рідини = 350 К

    Теплота реакції = -200 Дж/моль

    Концентрація на вході A = 9 моль/л

    Витрата на вході = 4 кг/с

    Щільність А = 1000 г/л

    UA теплообмінника = 7 ккал/с

    Постійна швидкість = 1,97х10 20 с -1

    Енергія активації = 166 кДж/моль

    Загальна зміна теплоємності = 1 Ккал/кг-К.

    STRforExample1.jpg  

    Опрацьований приклад 1

    4.6.1 Відповідь на приклад проблеми #1

    Використовуючи наш зручний робочий аркуш денді, ми бачимо, що оптимальне перетворення відбувається при 368.4 К. Це відбувається від введення всієї даної інформації з постановки проблеми в лист Excel, а потім зчитування значення для оптимальної температури. Крім того, переконайтеся, що ви перетворюєте на відповідні одиниці, такі як від kJ до J, для використання нашої моделі (просто щоб побачити, чи звертаєте ви увагу на одиниці).

    Приклад 1 рішення

    х. 1.JPG

    Опрацьований приклад 2

    1. У попередньому прикладі завод працював в денний час доби. Вночі спостерігається падіння температури потоку корму на 5 К. Для того, щоб підтримувати однакову концентрацію, нам потрібно...

    А. зниження температури охолоджуючої води в теплообміннику.

    Б. підвищення температури охолоджуючої води в теплообміннику.

    С. Підтримувати однакову температуру охолоджуючої води в теплообміннику.

    2. Вночі витрата на вході системи також зменшується через те, що установка не працює на повну потужність. Що відбувається з температурою реакції, якщо концентрація А в потоці подачі залишається незмінною?

    А. зниження

    Б. збільшення

    C. Залишайтеся незмінними

    3. Нарешті, якщо постійна швидкість подвоїлася, який вплив це матиме на загальну концентрацію, якщо температура тримається постійною?

    А. збільшення

    B. Зниження

    C. Залишайтеся незмінними

    Відповіді на приклад проблеми #2

    1: Б. оскільки температура потоку подачі знизилася, нам потрібно буде збільшити температуру охолоджуючого потоку, щоб підтримувати ту саму температуру, при якій CSTR працював раніше. Використовуючи таблицю Excel з Прикладу 1 і знизивши температуру потоку подачі на 5 К, ми можемо спочатку побачити, що температура CSTR знизилася до 366,5 К.

    х. 2.1.JPG

    Потім ми можемо регулювати температуру потоку подачі і побачити, що вона повинна бути піднята на 3 К, щоб повернутися до вихідної робочої температури 368,4 К.

    х 2.1B.JPG

    2: А. Оскільки в CSTR надходить менше корму, оптимальна температура реактора також знизиться. Це знову можна побачити за допомогою нашої моделі Excel з Прикладу 1. Відомо, що спочатку температура реактора була на рівні 368,4 К. Знизивши витрату до 3 кг/с, можна помітити, що температура реактора знижується більш ніж на 3 К до 365,1 К.

    х. 2.2.JPG

    3: Б. ми бачимо в рівняннях для диференціальних рівнянь, що константа швидкості негативно впливає на концентрацію А. Подвоївши його значення, ми також зменшимо C A. Це також можна побачити в моделі Excel з Прикладу 1. Ми бачимо, що початкова концентрація А становить 6,3 моль/л, потім ми можемо подвоїти значення константи швидкості, і ми бачимо, що концентрація А падає до 4,8 моль/л, що ми передбачали станеться.

    х. 2.3.JPG

    Посилання

    • Бекет, Б.Уейн. Моделювання динаміки процесів, аналіз та моделювання, Нью-Джерсі: Прентіс Холл.
    • Фоглер, Г.Скотт. Елементи інженерії хімічних реакцій, Прентіс Холл. ІСБН 0-13-047394-4
    • Краваріс, Костас. Управління хімічними процесами: підхід у часовій області, Мічиганський університет.
    • Ріггс, Джеймс Б.; Карім, М. Назмул. Контроль хімічних та біопроцесів, Техаський технічний університет, видавництво тхорів.

    Дописувач

    Автори: Джейсон Буржуа, Михайло Кравченко, Ніколас Парсонс, Ендрю Ванг