6.1: Модель резервуара для перенапруги

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33013

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Вступ

Використовувані для регулювання рівня рідини в системах, резервуари для перенапруги діють як стояки або резервуари для зберігання, які зберігають та постачають зайву рідину. У системі, яка зазнала сплеску рідини, перенапружні резервуари можуть змінювати коливання швидкості потоку, складу, температури або тиску. Зазвичай ці резервуари (або «перенапружні барабани») розташовуються нижче за течією від закритих акведуків або живильників для водяних коліс. Залежно від його розміщення, розширювальний бак може знижувати тиск і об'єм рідини, тим самим знижуючи швидкість. Тому розширювальний бак діє як регулятор рівня і тиску всередині всієї системи.

Оскільки потік до розширювального бака нерегульований, а рідина, що виводиться з розширювального бака, відкачується, система може бути позначена як нестабільна [MIT], але підхід до приблизного рішення (нижче) використовує методи, які зазвичай дотримуються при вирішенні подібних сталих проблем.

Технологія, що стоїть за перенапругами, використовується десятиліттями, але дослідники мали труднощі з повним пошуком рішення через нелінійний характер керуючих рівнянь. Ранні наближення за участю перенапруг використовували графічні та арифметичні засоби, щоб запропонувати рішення, але з еволюцією комп'ютеризованих методів вирішення можна отримати повні рішення. [Вілі Інтернаука].

Виведення звичайного диференціального рівняння

Щоб точно змоделювати розширювальний бак, слід враховувати залишки маси та енергії по всьому резервуару. З цих залишків ми зможемо розробити взаємозв'язки для різних характеристик розширювального бака

Діаграма системи перенапруг

закликати tank2.jpg

Напружувальний бак спирається на датчик рівня, щоб визначити, чи слід видаляти рідину, що зберігається в резервуарі. Цей регульований відтік відкачується у відповідь на розрахунки, зроблені контролером, який в кінцевому підсумку відкриває і закриває регулюючий клапан, що випускає рідину з бака.

Керівні рівняння моделі перенапруги

Компоненти розширювального бака повинні бути розділені та оцінені окремо спочатку, а потім в цілому. Спочатку має бути отримано вираз для вхідного потоку. Спрощена функція синуса буде використана як основа для вираження потоку, оскільки вона зазвичай описує схему припливних перенапруг низьков'язкої рідини, як вода. Витрата, w, буде вказана в одиницях кг ч ^-1.

\[w_{i}=a+b \sin (c \pi t) \nonumber \]

де a і b - константи, що визначаються конкретною проблемною обставиною.

Баланс маси тепер повинен виконуватися на резервуарі як системі. Використовуючи поняття, що mass in = mass out, і припускаючи, що бак є ідеальним циліндром, позбавленим диверсій, можна вивести вираз:

\[\text{rate mass in} - \text{rate mass out} = \text{accumulated fluid in tank} \nonumber \]

Рерайтинг,

\[w_{i}-w_{o}=\rho \frac{d V}{d t} \nonumber \]

\[\frac{d h}{d t}=\frac{w_{i}-w_{o}}{\rho A} \nonumber \]

\[\int_{0}^{h} d h=\int_{0}^{t} \frac{w_{i}-w_{o}}{\rho A} d t \nonumber \]

\[h(t)-h_{o}=\frac{1}{\rho A} \int_{0}^{t} w_{i}-w_{o} d t \nonumber \]

Де, в той час$t=0$, кількість рідини в розширювальному бачку постійна; таким чином$h(0) = h_0$.

Підставивши вихідне рівняння для вхідного потоку, w _i, в вираз для висоти бака, h (t), виходить керівне рівняння висоти бака:

\[h(t)=h_{o}+\frac{1}{\rho A} \int_{0}^{t}\left[\left(a+b \sin (c \pi t)-w_{0}\right] d t\right. \nonumber \]

Інтеграція частинами,

\[h(t)=h_{o}+\frac{x}{\rho A}(1-\cos (c \pi t)) \nonumber \]

де x утворюється з констант a і b при інтеграції.

Вторинне використання резервуарів для перенапруг

Резервуари для перенапруги найчастіше використовуються для захисту систем від зміни рівня рідини; вони діють як резервуар, який зберігає та постачає зайву рідину. Крім того, резервуари захищають системи від різких змін тиску, температури та концентрації. Вони також можуть дозволити відключити один блок для технічного обслуговування, не вимикаючи всю установку.

Тиск

Можуть бути моменти високого тиску, званого ударом молотка, в системі, коли рідинний (нестисливий) потік зупиняється і запускається. Енергію, якою володіють рідини під час подорожі по трубах, можна класифікувати як потенційну або кінетичну. Якщо рідина швидко зупиняється, імпульс, який несе рідина, повинен бути перенаправлений в інше місце. В результаті труби вібрують від реактивної сили і ваги ударних хвиль всередині рідини. В крайньому випадку можуть лопнути труби, на стиках можуть розвинутися протікання, а також пошкодитися клапани і лічильники.

Екстремальні величини тиску затухають, коли рідина потрапляє в розширювальні баки. Напружувальний бак діє як буфер для системи, розганяючи тиск на більшій площі. Ці резервуари дозволяють системі більш безпечно виконувати свої завдання.

Температура

Температуру рідини можна або контролювати, або змінювати за допомогою розширювального бака. Напружувальний бак дозволяє швидко змінювати температуру рідини. Прикладом цього є процес пастеризації; молоко повинно бути при високій температурі протягом короткого періоду часу, тому воно піддається впливу високої температури, а потім переміщується в розширювальний бак, де його можна зберігати та охолоджувати (див. Нагрітий розширювальний бак).

Речовина може потрапити в розширювальний бак при кімнатній температурі, і вона миттєво змішується з рештою резервуара. Речовини, що надходять у резервуар, також згодом піднімуться, щоб задовольнити високу температуру, а потім швидко вийдуть з розширювального бака.

Концентрація

Концентрація всередині розширювального бака зберігається відносно постійною, таким чином рідина, що виходить з розширювального бака, така ж, як і рідина в резервуарі. Це сприятливо, коли є градієнт концентрації в рідини, що надходить в розширювальний бак. Резервуар гомогенізує вхідну рідину, зберігаючи концентрацію реагентів однаковою по всій системі, тим самим виключаючи будь-який градієнт концентрації.

Приклад$\PageIndex{1}$: Modeling Surge Tank

Припустимо, ми повинні спроектувати розширювальний бак, який має справу з коливаннями потоку +/- 40% протягом 10-хвилинного періоду, змодельованого наступним рівнянням:

\[w_{1}=500+200 \sin \frac{\pi t}{10} \label{1} \]

де витрата становить м ³ год ^-1 і час в годинах. Витрата на виході, w _o, бажана бути 500 м ³ ч ^-1.

Напружувальний бак має висоту 30 м і має площу поперечного перерізу 5 м ². Початкова висота рідини (ρ = кг/ м ³) - 10м.

Змоделюйте цей гіпотетичний приклад.
Напружний бак має верхню та нижню граничні регулятори, які відкривають або закривають клапан, якщо рівень стає занадто високим або низьким. Яка найвища максимальна задана точка, яку можна використовувати без переповнення розширювального бака?

Рішення

а.

\[\rho A \frac{d h}{d t}=w_{i}-w_{o} \label{2} \]

с$h(0)=h_{o} $.

\[h(t)=h_{o}+\frac{1}{\rho A} \int_{0}^{t}\left(w_{i}(t)-w_{o}(t)\right) d t \nonumber \]

Підставляючи рівняння\ ref {1} на\ ref {2}, отримуємо

\[h(t)=h_{o}+\frac{2000}{\rho \pi A}\left(1-\cos \frac{2 \pi t}{20}\right) \label{3} \]

Щоб завершити конструкцію, ми повинні мати площу поперечного перерізу A розширювального бака, це було б дано.

Якби ми застосовували наступну умову,

\[w_{i}-w_{o}=C \label{4} \]

і ми повинні були замінити рівняння\ ref {4} в рівняння\ ref {2}, ми виявимо

\[h(t)=h_{o}+\frac{C}{\rho A} t \label{5} \]

б.

Використовуючи надану модель Microsoft Excel, максимально можлива максимальна задана точка становить 23 м. Медіа: Модель сплеску Tank.xls

Приклад 1 ГБ Solution.jpg

Приклад$\PageIndex{2}$

У цьому прикладі ми моделюємо випадкові коливання, які можуть спостерігатися в реальному потоці процесів. Функція генерації випадкових чисел (в MS Excel) використовується для генерації псевдовипадкових коливань вечора 200 кг/год близько середнього значення 1000 кг/год для вхідного потоку, w _i (t) протягом періоду 5 годин. Результат виходить наступним чином:

і потік data.JPG

Вивчіть вплив цих коливань на рівень рідини в перенапружних баках різного об'єму. Щоб змінити об'єм, припустимо резервуари постійної висоти h _max = 20m, і варіюйте площу поперечного перерізу від A = 1 м ² до A = 5 м ². Використовуйте наступні параметри для розширювального бака: Початковий рівень рідини h ₀ = 10 м, ρ = 1 кг/м ³, w ₀ = 1000 кг/м ³, t ₀ = 0 год і t _f = 5ч.

Рішення

У розв'язанні першого прикладної задачі ми використовували тригонометричну функцію для моделювання флуктуацій вхідного потоку і отримали аналітичний розв'язок диференціального рівняння. Оскільки в даному прикладі ми використовуємо псевдовипадковий флуктуаційний вхідний потік, ми вирішимо цю задачу за допомогою числових методів. Використовуючи псевдовипадкові дані для w _i (t), виконуємо числове інтегрування на раніше похідному виразі:

\[h(t)=h_{o}+\frac{1}{\rho A} \int_{0}^{t}\left(w_{i}(t)-w_{o}(t)\right) d t \label{ex2:2} \]

Ця інтеграція була виконана з трапецієподібним правилом (в MS Excel, використовуючи незначну модифікацію розміщеної моделі Excel), використовуючи задані параметри розширювального бака, з A=1 м ^², ^{2 м 2 та 5 м 2} л. отримано:

Ми бачимо, що збільшення обсягу розширювального бака за рахунок збільшення площі поперечного перерізу А зменшує величину коливань рівня рідини h в розширювальному бачку. Для А = 1 м ² і 2 м ² пропускна здатність розширювального бачка перевищується і вона переповнюється.

Приклад$\PageIndex{3}$

Оператор швидко додає 50 галонів з барабана води в циліндричний розширювальний бак діаметром 4 фути. Початковий об'єм рідини в резервуарі становить 40 кубічних футів, а загальна висота резервуара - 5 футів. Швидкість припливу та виходу спочатку становить 6 кубічних футів на хвилину. Опір має лінійну залежність від висоти рідини.

Вивести лінійну модель першого порядку для висоти резервуара і визначити значення R для відтоку
Чи буде переповнюватися бак при додаванні барабана?
Покажіть висоту h (t) після додавання барабана води; розглядайте зміну h (t) як миттєву
Чи повертається висота бака в сталий стан? Що це таке?

Рішення

Зображення

(а)

Припустімо, що оператор додає воду при t = 0, тому, коли t < 0, резервуар знаходиться в сталому стані, який можна описати як: q _IN − q _OUT = 0 (1)

Припустимо: $_ {OUT} =\ ліворуч (\ frac {h} {R}\ праворуч)$ де R - опір, а h - висота рідини. Початковий обсяг бака становить:

$_ {SS} =\ пі\ ліворуч (\ frac {d^ {2}} {4}\ праворуч) h_ {SS}$

$0 =\ пі\ ліворуч (\ розриву {4^ {2}} {4}\ праворуч) h_ {SS}$

Таким чином: $_ {SS} =\ лівий (\ frac {10} {\ pi}\ праворуч) = 3.183 футів$

$_ {OUT} =\ лівий (\ frac {h_ {SS}} {R}\ праворуч)$ Підставляємо $_ {IN} =\ ліворуч (\ frac {6 ft^ {3}} {min}\ праворуч)$ і в рівняння 1 вище:

0 = 6 − ч _СС/Р

$=\ ліворуч (\ frac {h_ {SS}} {6}\ праворуч) =\ ліворуч (\ frac {0.531 хв} {ft^ {2}}\ праворуч)$

Під час t > 0 до системи додається 50 галонів (6,685 кубічних футів) води, що порушує сталий стан і відповідним початковим станом системи є:

V ₀ = V _СС + V _{оператор} = 40 + 6,685 = 46,685 фут ³

$_0 =\ ліворуч (\ frac {46.685} {4\ pi}\ праворуч) = 3.7151 футів$

Відповідна динамічна лінійна модель:

\[A\left(\frac{d h}{d t}\right)=q_{I N}-q_{O U T}=q_{I N}-\left(\frac{h}{R}\right) \label{ex2:2} \]

з початковим станом:$h_0 = 3.7151\,ft$

(б)

Після додавання барабана h ₀ = 3.7151, що нижче 5 футів. Система не буде переповнюватися при t ₀. Оскільки рівень рідини вище, ніж рівень стаціонарного стану $_ {out} =\ ліворуч (\ frac {h} {R}\ праворуч)$ , і витрата поза буде більшою, ніж q _IN, що штовхає падіння рівня рідини. В результаті вода не буде перетікати.

(c)

Визначте змінні відхилення. h '= h − h _СС; q IN' ₌ q _IN − q _INSS = 0 і підставити в рівняння (2)

\[\\left ( \frac{dh'}{dt} \right )=q_{IN}'-\left ( \frac{h'}{R} \right )=-\left ( \frac{h'}{R} \right ) \nonumber \](3)

Вирішити лінійну модель вище (ур. 3): (Або шляхом прямої інтеграції, або перетворення лапласа та зворотного перетворення лапасу)

$'=h_0'exp (-\ лівий (\ frac {t} {AR}\ праворуч))$ (4)

Покладіть h '= h − h _SS у рівняння 4:

$-h_ {SS} = (h_0-h_ {SS}) exp (-\ лівий (\ frac {t} {AR}\ праворуч))$

Потім:

$=h_ {СС} + (h_0-h_ {SS}) exp (-\ лівий (\ frac {t} {AR}\ праворуч))$

$=3.183+ (0.5321) exp (-\ лівий (\ frac {t} {AR}\ праворуч))$

(г)

Так. Так як

\[\lim _{t \rightarrow \infty} h=3.183+0.5321 \exp (-0.1499 t)=3.183 \mathrm{ft} \nonumber \]

який був початковим стаціонарним станом

Куточок мудреця

Якщо ви мудрець для цієї сторінки, будь ласка, пов'яжіть свою розказану презентацію PowerPoint тут.

Посилання

Кундур, Прабха. Стабільність та контроль енергосистеми, McGraw-Hill 1994.
Чен-Нан Лін і Джон С. Гладуелл. Немірний аналіз перенапруги, Науково-дослідний центр води штату Вашингтон, Університет штату Вашингтон 1970.
Слокум, Стівен Елмер. Елементи гідравліки, McGraw-Hill 1915.
Відкритий курс MIT. www.ocw.cn/OCWWEB/Хімічна інженерія/10-450 Динаміка процесів - Операції та управління весна 2003/Примітки лекції/index.htm. Конструкція розширювального бака для згладжування коливань потоку. Визначення важливих термінів управління технологічним процесом
Використовуйте стиль Harvard Referencing для посилань у документі.
Для отримання додаткової інформації про те, коли слід посилатися, див. Наступний запис Вікіпедії.

Автори та атрибуція

Автори: (6 вересня 2007) Кара Канаді, Девід Карпентер, Че Мартінес, Джеремі Мінті, Бредлі Новак

Приклад\(\PageIndex{1}\): Modeling Surge Tank

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)