5.1: Булеві моделі - таблиці істинності та діаграми переходу стану

Вступ до булевих моделей

Логічне значення - це змінна, яка може досягати лише двох значень: True або False. У більшості додатків зручно представляти True цифрою 1, а False - числом 0. Логічна модель, або логічна мережа, являє собою набір булевих змінних, які пов'язані логічними правилами перемикання, або булевими функціями, які слідують формату «Якщо - то». Цей тип булевої моделі відомий як автономна модель і буде основним типом моделі, розглянутої в цій статті.

У хімічній інженерії булеві моделі можуть бути використані для моделювання простих систем управління. Булеві функції можуть бути використані для моделювання перемикачів насосів і клапанів, які реагують на показання датчиків, які допомагають забезпечити безперебійну та безпечну роботу цієї системи. Проста програма для контролю рівня CSTR включена в відпрацьований приклад 1. У цьому прикладі булева функція використовується для закриття вхідного потоку і відкриття вихідного потоку, коли рівень вище заданої точки.

Булеві функції

Булеві функції - це логічні оператори, які пов'язують дві або більше булевих змінних всередині системи і повертають true або false. Булеве вираз - це група булевих функцій, які будуть описані окремо нижче. При обчисленні значення булевого виразу для позначення пріоритету використовуються дужки (працюють зсередини назовні, як в алгебрі). Після цього ЛОГІЧНА ІНВЕРСІЯ завжди буде першою, а ЛОГІЧНА ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ - останньою, але порядок роботи для функцій І, АБО, І ЕКСКЛЮЗИВНИЙ АБО вказується дужками.

Описи і приклади цих функцій наведені нижче. Короткий довідник по кожній з функцій можна знайти після прикладів.

ЛОГІЧНА ІНВЕРСІЯ

ЛОГІЧНА ІНВЕРСІЯ - це функція, яка повертає протилежне значення змінної. Функція позначається як просте значення змінної (наприклад, A' або B ') Наприклад, якщо ми скажемо, що A вірно (A=1), то функція A' поверне false (A'=0). Аналогічно, якщо ми скажемо, що A є помилковим (A=0), то функція A' поверне true (A'=1).

Приклад:

A=1, B = A', потім B=0

І

Функція AND пов'язує дві або більше булевих змінних і повертає істинне, якби і тільки - якщо обидві змінні є істинними. Для позначення функції І використовується точка, або вона просто опущена. Наприклад, «A і B» можна записати як «A•B» або як «AB». У цьому прикладі функція І поверне істинне, якщо обидві булеві змінні A і B мають значення 1.

Приклади:

Змінні	Результати
А=1, Б=1	АБ = 1
А=1, Б=0	АБ = 0
А=1, Б = 1, С = 1	АЗБУКА = 1
А=1, Б=0, С = 1	АБК = 0

АБО

Функція OR пов'язує дві або більше булевих змінних і повертає true, якщо будь-які змінні, на які посилаються, є істинними. Для позначення функції АБО використовується плюс. Наприклад, «A або B» можна записати як «A+B». У цьому прикладі функція OR поверне true, якщо булева змінна, A або B, має значення 1.

Приклади:

Змінні	Результати
А=1, Б=1	А+Б = 1
А=1, Б=0	А+Б = 1
А=0, Б=0	А+Б = 0
А=0, Б=0, С = 1	А+Б+С = 1
А=0, Б=0, С = 0	А+Б+С = 0

ЕКСКЛЮЗИВНИЙ АБО

Функція EXCLUSIVE OR пов'язує дві або більше булеві змінні і повертає true лише тоді, коли одна зі змінних є true, а всі інші змінні є false. Він повертає false, коли більше однієї зі змінних є true, або всі змінні є false. Обмежений плюс використовується для позначення функції EXCLUSIVE OR. Наприклад, «A EXCLUSIVE OR B» можна записати як «A B».

Приклади:

Змінні	Результати
А=1, Б=1	А Б = 0
А=1, Б=0	А Б = 1
А=0, Б=1	А Б = 1
А=0, Б=0	А Б = 0
А=0, Б=0, С = 0	А Б С = 0
А=1, Б=0, С = 0	А Б С = 1
А=1, Б=0, С = 1	А Б С = 0
А=1, Б = 1, С = 1	А Б С = 0

ЛОГІЧНА ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ

Функція ЛОГІЧНОЇ ЕКВІВАЛЕНТНОСТІ прирівнює дві булеві змінні або вирази. Функція ЛОГІЧНА ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ, що позначається як =, призначає булевій змінній істинне або хибне в залежності від значення змінної або виразу, до якого вона прирівнюється. Наприклад, ЛОГІЧНА ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ B може бути записана як A = B. У цьому прикладі значення A буде присвоєно значення B.

Булеві мережі

Як зазначено у вступі, булева мережа являє собою систему булевих рівнянь. У хімічній інженерії булеві мережі, швидше за все, залежать від зовнішніх входів як засобу управління фізичною системою. Однак наступні розділи стосуються здебільшого синхронних автономних систем. Автономна система - це та, яка повністю незалежна від зовнішніх входів. Кожна булева змінна залежить від стану інших булевих змінних у системі, і жодна змінна не контролюється зовнішнім входом. Синхронна система - це та, що логічне перемикання (зміна булевих змінних) відбувається одночасно для всіх змінних на основі значень до виникнення змін.

Ось приклад автономної булевої мережі:

Булеві функції

А = Б+С '

Б = ЗМІННИЙ СТРУМ

С = А'

Таблиці істинності

Таблиця істинності - це табуляція всіх можливих станів логічної моделі на різних часових інтервалах. Проста таблиця істинності показує потенційні початкові стани в часі, T _i, і відповідні наступні стани в час T _i+1, булевої мережі. Таблиці істинності можуть надати більш чітке уявлення про те, як застосовуються правила та як вони впливають на кожну ситуацію. Отже, вони допомагають гарантувати, що кожен вивід має лише один керуючий оператор, щоб логічні правила не конфліктували один з одним.

Побудова таблиць істинності

1. Складіть таблицю з відповідною кількістю стовпців для кожної змінної; по одному на кожен вхід і вихід.
2. Ліва частина стовпця повинна містити всі можливі перестановки вхідних змінних на час T _i. Одним із способів цього може бути перелік усіх можливих комбінацій у зростаючому двійковому порядку.
3. Права частина стовпця повинна містити відповідний результат вихідних змінних в наступний час T _i+1. Загальний приклад цього з 2 змінними можна побачити нижче:

Швидкий спосіб перевірити, що у вас є всі можливі перестановки полягає в тому, що для вхідних змінних ^X має бути 2 х можливих перестановок.

Приклад таблиці істинності

Система зразків, яку ми будемо використовувати, заснована на технології водневих паливних елементів. Рівняння для роботи водневих паливних елементів

\[\ce{H2 + O2 -> H2O}. \nonumber \]

Один з аспектів паливних елементів мембрани протонного обміну (PEM) (тип паливного елемента) полягає в тому, що продуктивність паливного елемента сильно залежить від відносної вологості системи (якщо вологість підвищується занадто високо, паливний елемент затопить і H _{2 і O 2} не зможуть досягти осередок. Якщо вологість падає занадто низько, паливний елемент висохне і продуктивність знизиться.) Завдання полягає в тому, щоб створити булеву модель для цієї спрощеної системи управління водними ресурсами.

Система виробляє пар всередині системи, і є вентиляційний отвір для випуску пари, якщо система стає занадто насиченою. У нашій системі ми будемо вважати, що входи стехіометричні і реагують повністю. Також будемо вважати, що нарощування тиску від пари незначне в порівнянні зі зміною відносної вологості. Єдина змінна, про яку йде мова, - це відносна вологість у системі.

• Примітка: це не те, як насправді працює управління водними ресурсами в системі паливних елементів, але це простий приклад.

A буде представляти реакцію регулятора вологості (0 вказує на відносну вологість або %RH < 80%, 1 indicates %RH > 80%)
B буде представляти стан клапана (0 закрито, 1 відкритий)

Відповідні булеві функції для цієї моделі наведені нижче (зазвичай вам доведеться розробити їх самостійно, щоб відповідати критеріям, які ви хочете):

А = А
Б = А

Для цього прикладу з 2 вхідними змінними є ² = 4 можливі перестановки і 2 ² = 4 рядки. Результуючі перестановки для виходів: Для A, де Y = 1, кількість 0 і 1s дорівнює 2 ^(Y-1) =2 ^(1-1) =1. Для B, де Y=2, кількість 0 і 1s дорівнює 2 ^(Y-1) =2 ^(2-1) =2.

Результуюча таблиця істинності наведена нижче:

Діаграми переходу стану

Діаграма переходу стану - це графічний спосіб перегляду таблиць істинності. Це досягається шляхом розгляду кожного окремого початкового стану та його результуючого стану. Перехід з одного стану в інший представлений стрілкою. Потім вони збираються разом, як головоломка, поки вони не вписуються на місце. Коли один стан веде до себе, воно просто вказує на себе. Наступний приклад базується на таблиці істинності в попередньому розділі.

У цьому прикладі існує два циклу стану. Цикл стану - це сукупність станів, навколо яких система постійно входить і знову входить. Для кінцевого числа станів завжди існуватиме принаймні один цикл стану. Цикл стану - це також шлях або блок-схема, яка показує «процес прийняття рішень» булевої мережі. Ця функція є прямим результатом двох атрибутів булевих мереж:

1. Кінцева кількість станів
2. Детермінований (існує певний набір правил, що визначає наступний стан, яке буде введено)

У прикладі, представленому в попередньому розділі, було два циклу стану. Однією з переваг циклів стану є те, що він легко дозволяє побачити, де ваша модель закінчиться велосипедним спортом і чи є якісь стани, які не враховуються належним чином вашою моделлю. На попередній схемі, якщо вологорегулятор вказував вологість нижче встановленого значення, він закриє клапан або утримує клапан закритим. Якщо вологорегулятор вказував, що вологість вище встановленого значення, він або відкриє клапан, або утримує його відкритим.

Розглянемо цю альтернативну систему.

У цьому прикладі цикл стану говорить, що якщо лічильник говорить, що вологість нижче заданої точки, він буде циклічно відкривати і закривати вентиляційний клапан. Це зашкодить системі і не є бажаним результатом моделі.

З питань безпеки та функціональності інженер з управління технологічними процесами хотів би розглянути всі можливості при проектуванні будь-якої логічної мережі моделювання реальної системи.

Обмеження булевих мереж

Переваги булевих мереж

• На відміну від звичайних диференціальних рівнянь і більшості інших моделей, булеві мережі не вимагають введення параметрів.
• Булеві моделі швидко і легко обчислюються за допомогою комп'ютерів.
• Булеві мережі можуть бути використані для моделювання найрізноманітніших видів діяльності та подій.
• Булеві мережі можуть бути використані для наближення звичайних диференціальних рівнянь, коли існує нескінченна кількість станів.

Недоліки булевих мереж

• Булеві мережі стримані до обчислень дуже простий математики. Їх не можна використовувати для обчислення і для обчислення великих величин.
• Булеві моделі мають відносно низьку роздільну здатність в порівнянні з іншими моделями.
• Це дуже трудомісткий і складний, щоб побудувати булеві мережі вручну.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Гіпотетичний CSTR повинен підтримувати рівень рідини нижче позначки безпеки за допомогою датчика L1 на відповідній позначці та регулюючого клапана, розміщеного на вхідному та вихідному потоках - V1 та V2 відповідно. Типове застосування вищезгаданої системи може включати гетерогенно каталізовану рідинну реакцію (реакції) з рідким продуктом (ами).

Рішення

Конвенції

Датчик рівня води

L1	0	1
рівень води	бажані	занадто високий

Клапан

V	0	1
позиції	закриті	відкритий

Початковий стан

Припустимо, що CSTR порожній і заповнюється. CSTR, будучи порожнім, встановлює значення L1 в нуль. Заповнення CSTR може здійснюватися шляхом відкриття клапана 1 - V1, припускаючи значення одного - і закриваючи клапан 2 - V2, припускаючи значення нуля.

У формі координат початковий стан такий: (L1, V1, V2) = (0, 1, 0)

Тлумачення проблеми

Нехай h - рівень води, а WL1 - знак безпеки, визначений у CSTR. Система може прийняти один з наступних станів в будь-який час:

1) h < WL1: бажаний рівень води

Максимізація виробництва хімічної речовини спонукає систему залишатися в поточному стані - тобто її початковому стані. (L1, V1, V2) остаточний = (0, 1, 0) кінцевий стан

2) h > WL1: занадто високий рівень води

Запобігання затоплення вимагає, щоб резервуар був спустошений. Таким чином, клапан 1 (V1) повинен бути закритий, щоб зупинити вхід, тоді як клапан 2 (V2) повинен бути відкритий, щоб спорожнити зайву воду вище знака безпеки. (L1, V1, V2) '= (1, 1, 0) тригер до клапана (L1, V1, V2) остаточний = (1, 0, 1) кінцевий стан

Цикл стану

Фізичне значення

Посилання

• Джеймс Палмер і Девід Перлман (1993). Схеми теорії та проблем впровадження цифрових систем Шаума, професіонал Макгроу-Хілла. ІСБН 0070484392
• Стюарт Кауфман (1993). Витоки самоорганізації та відбору порядку в еволюції, Oxford University Press. ІСБН 0195079515

Автори та атрибуція

• Джозеф Каслер, Андрі Харіанто, Сет Кале та Вейїн Сюй, Адхі Пайсосепутра, Ендрю Кім, Хілларі Каст, Стефані Клето