9.3: Дизайн контролера PI відстеження

Відстеження PI Контролер Дизайн

Конструкція системи відстеження за допомогою коефіцієнта посилення зворотного зв'язку для скасування помилки відстеження не є стійкою до змін параметрів заводу. Надійна конструкція системи відстеження вимагає додавання інтегратора до циклу зворотного зв'язку (рис. 9.3.1).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Стан зворотного зв'язку з інтегратором в циклі для відстеження еталонного входу.

Пропорційно-інтегральний (ПІ) тип закону управління з використанням державного зворотного зв'язку визначається як:\[u(t)=-{\bf k}^{T} {\bf x}(t)+k_{i} \int (r-y)\rm dt\] де\(k_\rm i\) являє собою інтегральний коефіцієнт посилення. Інтегратор працює за сигналом помилки:\(e=r-y\). Інтегральний контролер змушує сигнал помилки до нуля в стаціонованому стані.

\(x_a (t)\)Дозвольте позначити вихід інтегратора; потім рівняння стану інтегратора задається як:\[\dot{x}_a =r-y=r-{\bf c}^{T} {\bf x}\]

Розширена модель системи формується шляхом додавання виводу інтегратора до множини змінних стану; отримана модель зі\(n+1\) змінними описується як:

\[\left[\begin{array}{c} {\dot{\bf x}} \\ {\dot{x}_a } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {\bf A} & {0} \\ {-{\bf c}^T } & {0} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {x} \\ {x_a } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {\bf b} \\ {0} \end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c} {\bf 0} \\ {1} \end{array}\right]r\]

Державний закон контролю зворотного зв'язку для моделі доповненої системи визначається як:

\[u=\left[-\begin{array}{cc} {{\bf k}^T } & {k_\rm i } \end{array}\right]\, \left[\begin{array}{c} {\bf x} \\ {x_a } \end{array}\right],\]

Заміна закону управління в доповненій моделі системи визначає замкнуту систему:

\[\left[\begin{array}{c} {\dot{\bf x}} \\ {\dot{x}_a } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {{\bf A-bk}^T } & {{\bf b}k_{i} } \\ {-{\bf c}^T } & {0} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {\bf x} \\ {x_a } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {\bf 0} \\ {1} \end{array}\right]r\]

Характеристичний многочлен із замкнутим контуром утворюється як:\(\Delta _{a} (s)=\left|\begin{array}{cc} {s{\bf I-A+bk}^T } & {-{\bf b}k_{i} } \\ {{\bf c}^T} & {s} \end{array}\right|,\) де\(\bf I\) позначає тотожну матрицю порядку\(n\).

Далі вибираємо\((n+1)\) порядок потрібної характеристики полінома\({\mathit{\Delta}}_{des}\left(s\right)\), і виконуємо дизайн розміщення полюса на розширеній системі. Розташування полюса інтегратора можна регулювати методом проб і помилок, враховуючи бажаний час осідання системи.

Приклади

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Модель змінної стану масо-пружинно-демпферної системи наведено у вигляді:

\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {-10} & {-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right]f, \;\;x=\left[\begin{array}{cc} {1} & {0} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]\]

Бажано мати менше, ніж\(10\%\) перевищення та нульова похибка стаціонару до крокового входу.

Для виконання інтегральної конструкції управління формується доповнена модель змінної стану у вигляді:

\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \\ {x_a } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {0} \\ {-10} & {-1} & {0} \\ {-1} & {0} & {0} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \\ {x_a } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c} {0} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right]r.\]

Закон управління для доповненої системи наведено як:\(u=-k_{1} x-k_{2} v+k_{i} \int (r-x)\rm dt\).

Характерний многочлен системи із замкнутим контуром формується так:\(\Delta (s)=s^{3} +(k_{2} +1)s^{2} +(k_{1} +10)s+k_{i} .\) Нехай бажаний характеристичний многочлен третього порядку вибирається як:\(\Delta _{\rm des} (s)=(s+2)(s^{2} +4s+10)\).

Порівнюючи поліноміальні коефіцієнти, виграші контролера отримують так:\(k_{1} =8,k_{2} =5,\; k_{i} =20.\) Отриманий закон управління задається як:\(f=-8x-5v+20\int \left(r-y\right)dt\).

Ступінчаста реакція замкнутої системи показана на рис. 9.3.1 для трьох різних значень інтегрального коефіцієнта посилення.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): tep response of the mass-spring-damper system with integrator in the loop.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Модель змінної стану двигуна постійного струму наведена як:

\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {-100} & {-5} \\ {5} & {-10} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a} \\ {\omega } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {100} \\ {0} \end{array}\right]V_a , \;\;\omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]\]

Припустімо, що технічні характеристики конструкції вимагають низького перенапруження до крокової реакції та часу осідання\(t_s\cong 0.1 \rm s\).

Закон управління для контролера трекінгу PI наведено як:\(u=-k_{1} i_{a} -k_{2} \omega +k_{i} \int (r-\omega )\rm dt\).

Модель доповненої системи для розміщення полюсів за допомогою інтегрального керування отримано у вигляді:

\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \\ {x_a } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} {-100} & {-5} & {0} \\ {5} & {-10} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \\ {x_a } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {100} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c} {0} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right]r\]

Отриманий характеристичний многочлен задається у вигляді:

\[\Delta (s)=s^{3} +\left(100k_{1} +100\right)s^{2} +\left(1000k_{1} +500k_{2} +1025\right)s-500k_{i} .\]

Вибираємо потрібний характеристичний многочлен як:\({\mathit{\Delta}}_{des}\left(s\right)=\left(s+50\right)\left(s^2+100s+5,000\right)\). Коріння із замкнутим контуром розташовуються за адресою:\(s=\; -50,\; -50\pm j50\).

Контролер відстеження визначається як:\(V_a\left(s\right)=-0.4\,i_a(t)-17.2\,\omega (t)+500\int (r-\omega )dt\).

Для порівняння призначений каскадний PI контролер для передавальної функції моделі двигуна постійного струму\(\zeta=0.7\). Контролер PI задається як:\(K(s)=\frac{10(s+10)}{s}\). Коріння із замкнутим контуром розміщують за адресою:\(s=-9.94, -50\pm j50.3\).

Ступінчаста реакція системи замкнутого циклу для контролерів стеження і каскаду ПІ показана на рис.9.3.2. Обидва контролери досягають бажаного часу осідання.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Ступінчаста реакція моделі двигуна постійного струму для каскадних та трекінгових контролерів PI.