8.1: Моделі змінних стану
- Page ID
- 32190
Рівняння стану
Модель змінних стану динамічної системи містить ОДУ першого порядку, які описують похідні часу множини змінних стану. Кількість змінних стану являє собою порядок системи, який, як передбачається, збігається зі ступенем многочлена знаменника в описі його передавальної функції.
Природні змінні, пов'язані з елементами зберігання енергії, зазвичай використовуються як змінні стану, хоча альтернативні змінні можуть бути обрані. До природних змінних відносяться, наприклад, напруга конденсатора і струм індуктивності в електричних мережах, а також положення і швидкість інерційної маси в механічних системах.
\({\bf x}(t)\)Опишемо вектор змінних стану,\(u(t)\) опишемо скалярний вхід і\(y(t)\) опишемо скалярний вихід; тоді модель змінної стану лінійної часово-інваріантної (LTI) системи з одним входом з одним виходом (SISO) записується у загальному вигляді як:
\[\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)+{\bf b}u(t)\]
\[y(t)={\bf c}^{T} {\bf x}(t)+du(t)\]
У наведеному вище,\(\bf A\) є\(n\times n\) матрицею,\(\bf b\) є векторним стовпцем, який розподіляє вхідні дані,\({\bf c}^{T}\) є рядковим вектором, який об'єднує змінні стану для формування вихідних даних, і\( d\) є скалярним терміном feedforward, що сприяє виводу.
Модель змінної стану багатовхідної багатовихідної системи (MIMO) з\(m\)\(p\) входами та виходами описується рівняннями стану та виходу, наведеними як:
\[\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)+{\bf Bu}(t)\]
\[{\bf y}(t)={\bf C}^{T} {\bf x}(t)+{\bf Du}(t)\]
У вищесказаному змінні розміри:\({\bf x}\in {\bf R}^n,\ {\bf u}\in {\bf R}^m,\ \ \rm and\ {\bf y}\in {\bf R}^p\); матриці мають такі розміри:\({\bf A}\in {\bf R}^{n\times n},\ {\bf B}\in {\bf R}^{n\times m},\ {\bf C}\in {\bf R}^{p\times n},\ {\rm and}\ {\bf D}\in {\bf R}^{p\times m}\).
Далі ми обмежимо свою увагу моделями систем SISO. Якщо не зазначено інше,\(d=0\) передбачається, що відповідає строго правильному опису функції передачі системи.
Розв'язок рівнянь стану
Для того, щоб дослідити розв'язання рівнянь стану в часовій області, ми почнемо зі скалярного диференціального рівняння:
\[\dot{x}(t)=ax(t)+bu(t).\]
Використовуючи інтегруючий коефіцієнт\(e^{-at}\), рівняння записується як сумарний диференціал:
\[\frac {d}{ dt} (e^{-at} x(t))=e^{-at} bu(t)\]
Далі, припускаючи початкові умови:\(x\left(0\right)=x_0\), ми інтегруємо\(\tau =0\)\(\tau =t\) from to отримати:
\[e^{-at} x(t)-x_{0} =\int _{0}^{\tau } e^{-a\tau } bu(\tau ) d\tau \]
Отже, розв'язок скалярного ОДА в терміні\(x(t)\) of виходить як:
\[x(t)=e^{at} x_{0} +\int _{0}^{\tau } e^{a(t-\tau )} bu(\tau ) d\tau \]
Далі рішення однорідного рівняння:\(\dot{x}\left(t\right)=ax\left(t\right)\) дається як:\(x\left(t\right)=e^{at}x_0.\)
Далі ми досліджуємо можливість узагальнення цього рішення до матричного випадку. Для цього ми визначаємо матричну експоненціальну функцію як:
\[e^{{\bf A}t} =\sum _{i=0}^{\infty } \frac{{\bf A}^{i} t^{i} }{i!} ={\bf I}+{\bf A}t+\ldots\]
Нескінченний ряд сходиться у випадку систем, які добре поводяться. Далі матриця експоненціальна підпорядковується матричному диференціальному рівнянню:
\[\frac{d}{dt} \left(e^{{\bf A}t} \right)={\bf A}e^{{\bf A}t} =e^{{\bf A}t} {\bf A}\]
Використовуючи матричну експоненціальну, рішення матричного диференціального рівняння\(\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)+{\bf b}u(t)\), записується у вигляді:
\[{\bf x}(t)=e^{{\bf A}t} {\bf x}_{0} +\int _{0}^{\tau } e^{{\bf A}(t-\tau )} {\bf b}u(\tau ) d\tau \]
Вищевказане рішення складається з двох частин: перший термін описує реакцію системи на початкові умови\({\bf x}_{0}\), а другий термін описує реакцію системи на вхід,\(u(t)\).
Рішення для перетворення Лапласа
Розглянемо рівняння стану:
\[ \dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)+{\bf b}u(t) , {\bf x}\left(0\right)={\bf x}_0;\]
Застосуйте перетворення Лапласа, щоб отримати:
\[s{\bf x}(s)-{\bf x}_{0} ={\bf Ax}(s)+{\bf b}u(s).\]
Вектор змінної стану вирішується як:
\[{\bf x}(s)=(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} {\bf x}_{0} +(s{\bf I-A})^{-1} {\bf b}u(s),\]
де\({\bf I}\) позначають матрицю\(n\times n\) ідентичності.
\(n\times n\)Матриця\((s{\bf I-A})\) називається характеристичною матрицею\({\bf A}\).
Її детермінант визначає характерний многочлен\({\bf A}\), т. Е\(\Delta (s)=|s{\bf I}-{\bf A}|\).
Коріння характерного многочлена - це власнізначення\({\bf A}\).
\(n\times n\)Матриця\((s{\bf I}-{\bf A})^{-1}\) називається резольвентної матрицею\({\bf A}\). Ресольвент\({\bf A}\) може бути обчислений як нескінченний ряд:
\[(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} =s^{-1} ({\bf I}+s^{-1} {\bf A}+\ldots )\]
Порівнюючи рішення перетворення Лапласа з рішенням часової області, ми досягаємо таких зв'язків:
\[{\rm\mathcal L}[e^{{\bf A}t} ]=(s{\bf I}-{\bf A})^{-1}\]
\[ {\rm {\mathcal L}}\left[\int _{0}^{\tau } e^{{\bf A}(t-\tau )} {\bf b}u(\tau ) d\tau \right]=(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} {\bf b}u(s)\]
Перше рівняння вище може бути використано для обчислення експоненціальної матриці:
\[e^{{\bf A}t} ={\rm L}^{\rm -1} \left[(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} \right]\]
Друге рівняння використовується для вирішення вихідної відповіді, коли початкові умови дорівнюють нулю:
\[y(s)={\bf c}^{T} (s{\bf I}-{\bf A})^{-1} {\bf b}u(s)\]
Матриця переходу станів
Розглянемо однорідну систему рівнянь:\(\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)\, \, {\rm and}\, \, {\bf x}(0)={\bf x}_{0}\).
Розв'язок рівняння однорідного стану задається у вигляді:\({\bf x}(t)=e^{{\bf A}t} {\bf x}_{0}\).
Експоненціальна матриця\(e^{{\bf A}t}\),\({\bf x}_{0}\) до\({\bf x}(t)\) якої відноситься, називається матрицею переходу стану. Матриця переходу стану містить природні режими реакції системи.
Функція передачі
Вихідна відповідь моделі змінної стану визначає передавальну функцію:\(y(s)=G(s)u(s)\), де
\[G(s)={\bf c}^{T} (s{\bf I}-{\bf A})^{-1} {\bf b}= {\bf c}^{T}\frac{\rm adj (s{\bf I}-{\bf A})}{\det (s{\bf I}-{\bf A})}{\bf b}\]
У випадку з системою MIMO,\(G\left(s\right)\) являє собою матрицю\(p\times m\) передачі, наведену як:
\[G(s)={\bf C}(s{\bf I}-{\bf A})^{-1} {\bf B+D}\]
Як варіант, матрицю передачі системи MIMO можна отримати у вигляді:
\[G(s)=\frac{\rm det \left[\begin{array}{cc} s{\bf I-A} & -{\bf B} \\ {\bf C} & {\bf D} \end{array}\right]}{\det (s{\bf I-A})}\]
Припускаючи відсутність скасування полюс-нуль в\(G\left(s\right)\), характеристичний многочлен відповідає знаменнику многочлена. У разі скасування полюс-нуль порядок многочлена знаменника,\(d\left(s\right)\), менше, ніж\(n\), тобто нулі\(d\left(s\right)\) утворюють підмножину власних значень\({\bf A}\) .
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Розглянемо модель маси — пружина-демпфер (приклад 1.9.2)\(x(t)\), де положення маси та швидкість\(v(t)=\dot{x}(t)\) вибираються як змінні стану; тоді рівняння виходу стану задаються як:
\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {0} \\ \frac{1}{m} \end{array}\right]f, \;\;x=\left[\begin{array}{cc} {1} & {0} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {x} \\ {v} \end{array}\right]\]
Характерна матриця моделі дається як:\(s{\bf I-A}=\left[\begin{array}{cc} {s} & {-1} \\ {\frac{k}{m} } & {s+\frac{b}{m} } \end{array}\right]\).
\({\bf A}\)Резольвент обчислюється як:\((s{\bf I-A})^{-1} =\frac{1}{\Delta (s)} \left[\begin{array}{cc} {s+b/m} & {1} \\ {-k/m} & {s} \end{array}\right];\; \; \Delta (s)=s^{2} +\frac{b}{m} s+\frac{k}{m}\).
Передавальна функція моделі обчислюється як:\[G(s)=\frac{1}{\Delta(s)}=\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {s+b/m} & {1} \\ {-k/m} & {s} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} 1\\ \frac{1}{m} \end{array}\right]=\frac{1}{ms^2 +bs+k}\]
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Розглянемо модель двигуна постійного струму (приклад 1.9.3), де струм якоря та швидкість двигуна вибираються як змінні стану; рівняння стану та виходу двигуна постійного струму наведені як:\(i_a(t)\)\(\omega (t)\)
\[\frac {d}{ dt} \left[\begin{array}{c} {i_a} \\ {\omega} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} {-R/L} & {-k_b /L} \\ {k_{t} /J} & {-b/J} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {i_a} \\ {\omega} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {1/L} \\ {0} \end{array}\right] V_{a} ,\;\; \omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]\]
Припустімо, що приймаються наступні значення параметрів:\(R=1\Omega ,\; L=1\; mH,\; \; J=0.01\; kg \cdot m^2 ,\; b=0.1\; \frac{{ N}\cdot s}{rad} ,\; k_t = k_b =0.05\). Потім модель змінної стану двигуна задається як:
\[\frac {d}{ dt} \left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {-100} & {-5} \\ {5} & {-10} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {100} \\ {0} \end{array}\right] V_{ a}, \;\; \omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]\]
Ресольвентна матриця і функція передачі двигуна отримують наступним чином:
\[(s{\bf I-A})^{-1} =\frac{1}{\Delta (s)} \left[\begin{array}{cc} {s+10} & {-5} \\ {5} & {s+100} \end{array}\right];\; \; \Delta (s)=s^{2} +110s+1025\]
\[G(s)={\bf c}^{T} (s{\bf I-A})^{-1} {\bf b}=\frac{500}{s^{2} +110s+1025}\]
Імпульсна характеристика
Розглянемо рівняння стану:
\[\dot{\bf x}(t)={\bf Ax}(t)+{\bf b}u(t), \;\; y(t)={\bf c}^T {\bf x}\]
Для\({\bf x}_0={\bf 0}\), вхідний відгук системи виходить у вигляді:
\[y\left(s\right)=G\left(s\right)u\left(s\right)={\bf c}^T\left(s{\bf I-A}\right)^{-1}{\bf b}u(s)\]
Нехай\(u\left(t\right)=\delta \left(t\right),\ \ u\left(s\right)=1\); тоді відповідь системи задається як:
\[y_{imp}\left(s\right)=G(s)={\bf c}^T\left(s{\bf I-A}\right)^{-1}{\bf b}\]
Імпульсну характеристику в часовій області отримують у вигляді:
\[g\left(t\right)={\rm \mathcal L}^{\rm -1} \left[G(s)\right]={\bf c}^Te^{{\bf A}t}{\bf b}\]
За імпульсною характеристикою вихід системи задається інтегралом згортки:
\[y\left(t\right)=\int^t_0{g\left(t-\tau \right)u\left(\tau \right)d\tau }\]
Крок Відповідь
Нехай\(u\left(t\right)=1\left(t\right),\ \ u\left(s\right)=\frac{1}{s}\). Тоді у нас є:
\[s{\bf x}\left(s\right)={\bf c}^T\left(s{\bf I-A}\right)^{-1}{\bf b}\]
Одинично-ступінчаста відповідь у часовій області отримується у вигляді:
\[y_{step}\left(t\right)={\bf c}^T\left(\int^t_0{e^{{\bf A}\left(t-\tau \right)}d\tau }\right){\bf b}\]
Як варіант, ступінчаста характеристика являє собою інтеграл імпульсної характеристики:
\[y_{step}\left(t\right)=\int^t_0{g\left(t-\tau \right)d\tau }\]
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Рівняннями стану та виходу для моделі двигуна постійного струму є:
\[\frac{\rm d}{\rm dt} \left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {-100} & {-5} \\ {5} & {-10} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} {100} \\ {0} \end{array}\right] V_a, \omega =\left[\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} {i_a } \\ {\omega } \end{array}\right]\]
Матриця переходу стану для моделі двигуна постійного струму отримано у вигляді:
\[e^{{\bf A}t} =\left[\begin{array}{cc} {1.003} & {0.056} \\ {-0.056} & {-0.003} \end{array}\right]e^{-99.72t} +\left[\begin{array}{cc} {-0.003} & {-0.056} \\ {0.056} & {1.0003} \end{array}\right]e^{-10.28t} \]
Імпульсна характеристика двигуна постійного струму обчислюється як:
\[g\left(t\right)={\bf c}^Te^{{\bf A}t}{\bf b}=5.6\left(e^{-99.7t}-e^{-10.3t}\right)\]
де\(\left\{e^{-99.72t} ,\; e^{-10.28t} \right\}\) представляють природні режими відгуку системи, які відповідають електричним і механічним постійним часу двигуна постійного струму:\(\tau _{\rm e} \cong 0.01s,\; \tau _\rm m \cong 0.1\rm s\).
Припускаючи\(V_a\left(t\right)=u\left(t\right)\), що ступінчаста реакція двигуна постійного струму обчислюється як:
\[y\left(t\right)=\int^t_0{g\left(t-\tau \right)d\tau }=0.488+0.056e^{-99.7t}-0.544e^{-10.3t}\]
Імпульсні і ступінчасті реакції нанесені нижче (рис. 8.1.1).
