8.0: Прелюдія до моделей змінних стану

Last updated
Save as PDF

Page ID: 32171

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі розглядаються алгебраїчні методи аналізу моделей змінних стану динамічних систем. Ці моделі містять набір лінійних диференціальних рівнянь першого порядку, які описують поведінку системи за допомогою змінних стану системи. Загальний вибір включає природні змінні, пов'язані з елементами накопичення енергії, присутніми в системі. Також можна вибрати альтернативні змінні в рівній кількості.

Рівняння стану включають набір зв'язаних ODE першого порядку, які описують поведінку системи. Рівняння стану можуть бути спільно інтегровані з використанням матричної експоненціальної, тобто матриці переходу стану, як інтегруючого фактора. Матриця переходу стану містить природні режими реакції системи і відіграє фундаментальну роль в еволюції системних траєкторій. Загальним розв'язком однорідних рівнянь стану є зважена сума стовпців матриці переходу станів.

З огляду на модель змінної стану системи, представлення передавальної функції можна отримати шляхом застосування перетворення Лапласа. Як правило, ступінь многочлена знаменника в моделі передавальної функції дорівнює кількості змінних стану, які використовуються для його представлення. Однак скасування полюс-нуль у функції передачі призведе до відсутності деяких режимів відгуку в описі системи введення-виведення.

Задана модель передавальної функції може бути реалізована в модель змінної стану декількома способами. Різні варіанти змінних стану надають різну структуру системній матриці. Конкретні структури реалізації можуть бути кращими для зручності обчислення відгуку системи або визначення її характеристик стійкості.

Модальна реалізація розкриває природні режими реакції системи. Реалізація контролера полегшує проектування контролера за допомогою методів змінних стану. Діагональне подання розділяє системні змінні на набір незалежних звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, які можна легко інтегрувати. Вектори змінних стану для цих альтернативних моделей пов'язані за допомогою білілінійних перетворень.

У цьому розділі описані методи аналізу моделей змінних стану систем безперервного часу. Моделі дискретних систем розглядаються пізніше в розділі 8. Аналіз обмежується системами з одним входом з одним виходом (SISO), які демонструють раціональну передавальну функцію,\(G\left(s\right)\). Методи, однак, можуть бути узагальнені, щоб включити багатовхідні системи з кількома виходами (MIMO).