7.7: Дизайн кореневого локусу цифрових контролерів
- Page ID
- 32198
Цифровий дизайн контролера
Метод кореневого локусу (глава 5) використовує функцію передачі з розімкнутим контуром\(KGH(s)\), для опису локусу коренів характеристичного полінома із замкнутим контуром:\(\mathit{\Delta}\left(s\right)=1+KGH(s)\), з варіацією коефіцієнта посилення контролера,\(K\).
\(z\)-plane кореня локус аналогічно описує локус коренів замкнутого циклу імпульсного характеристичного полінома\(\Delta (z)=1+KG(z)\), оскільки посилення контролера\(K\) змінюється. Відповідне значення потім\(K\) може бути вибрано з графіка RL.
Для забезпечення стабільності замкнутого циклу коріння із замкнутим контуром слід обмежувати всередині одиничного кола.
У наборі інструментів Системи керування MATLAB команда 'rlocus' використовується для побудови як\(s\) -plane, так і\(z\) -plane кореневих локусів. Конструкція RL цифрового контролера описана нижче.
Дизайн для бажаного коефіцієнта демпфування
Припускаючи, що технічні характеристики контролера включають бажаний коефіцієнт демпфування полюсів із замкнутим контуром, ми розглядаємо конструкцію кореневого локусу\(z\) -plane на основі\(\zeta\) вимоги.\(\zeta ,\)
Для прототипу передавальної функції другого порядку:\(T(s)=\frac{\omega _{n}^{2} }{s^{2} +2\zeta \omega _{n} s+\omega _{n}^{2} }\) константні\(\zeta\) рядки визначаються за допомогою:\(\frac{\sigma }{\omega } =\mp \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta ^{2} } }\). \(\zeta\)Постійні лінії в z-площині отримують за допомогою:\(z=e^{Ts} =e^{\sigma T} e^{\pm j\omega T}\), де\(\sigma =\mp \frac{\zeta }{\sqrt{1-\zeta ^{2} } } \omega\) і\(\omega T\) коливається від\(0\) до\(\pi\).
У наборі інструментів MATLAB Control Systems команда «grid» відображає постійні\(\zeta\) лінії в комплексній\(z\) -площині. Команда grid додатково відображає\((\omega _{n} )\) контури постійної частоти, які корисні для вибору відповідного часу вибірки з\((T)\) урахуванням власної частоти моделі. Потрібна область в\(z\) -площині для замкнутого контуру розташування коренів може бути вказана як:\(0.1\pi \le \omega _{n} T\le 0.5\pi ,\; \, \, \zeta \ge 0.6\), що передбачає частоту дискретизації між\(2\ and10\) кратністю власної частоти аналогової системи.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Нехай\(G(s)=\frac{1}{s(s+1)}\),\(T=0.2\rm s\); Потім, у нас є:\(G(z)=\frac{0.0187z+0.0175}{(z-1)(z-0.819)}\). Припустимо, що проектні специфікації вимагають\(\zeta =0.7\).
Імпульсний характеристичний поліном із замкнутим контуром отримують у вигляді:\(\Delta (z)=z^{2} +(0.0187\, K-1.819)z+0.0175\, K+0.819.\)
Кореневий локус\(z\) -plane будується за допомогою команди MATLAB 'rlocus' і показано на рис. 7.7.1. З графіка Z-площині RL (рис. 7.7.1) ми можемо вибрати\(K=0.46\), наприклад, мати\(\zeta =0.7\) коріння замкнутого циклу.
Отриманий імпульсний характеристичний поліном є:\(\Delta (z)=z^{2} -1.81z+0.827,\) із замкнутими корінцями, розташованими за адресою:\(z=0.9\pm j0.09.\) Використання команди MALTAB «damp» показує коефіцієнт демпфування\(\zeta =0.7\) з власною частотою\(\omega _{n} =0.68\, \, {\rm rad/s}\).
Для порівняння, безперервно-часова система має характерний многочлен:\(\Delta (s)=s^{2} +s+K,\); для\(K=0.46\), замкнуті коріння розташовані в\(s=0.5\pm j0.46\) с\(\zeta =0.74\) с\(\omega _{n} =0.68\, \, {\rm rad/s}\).
Ступінчасті реакції аналогових і дискретних систем порівнюються на малюнку 7.7.2.
Дизайн для врегулювання часу та коефіцієнта демпфування
Час осідання та коефіцієнт загасання домінантних замкнутих корінців у\(z\) -площині пов'язані як:\(re^{\pm j\theta } =e^{-\zeta \omega _{n} T} e^{\pm j\omega _ d T} ,\; \; \omega _ d =\omega _{n} \sqrt{1-\zeta ^{2} } .\)
За допомогою поділу на дійсну і уявну частину дають два рівняння:\(\ln r\; =-\zeta \omega _{n} T\) і\(\theta =\omega _{d} T\), які можна вирішити для отримання:
\[\zeta =-\ln r/\sqrt{\ln ^{2} r\; +\theta ^{2} }\]
\[\omega _{n} =\sqrt{\ln ^{2} r\; +\theta ^{2} } /T\]
\[\tau =\frac{1}{\zeta \omega _{n} } =-\frac{T}{\ln r\; } .\]
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Нехай\(G(z)=\frac{0.0187z+0.0175}{(z-1)(z-0.819)}\). Імпульсний характеристичний поліном із замкнутим контуром отримують у вигляді:\(\Delta (z)=z^{2} +(0.0187\, K-1.819)z+0.0175\, K+0.819.\)
Для\(\zeta =0.7\),\(z\) -площині замкнутого контуру коріння розташовуються за адресою:\(z=0.905\pm j0.0875=0.91\; e^{\pm j0.096}\). Потім з перерахованих вище відносин отримуємо:\(\zeta =0.7,\; \omega _{n} =0.74,\; \tau =2.1\; {\rm s,\; }t_\rm s =4.6\, \tau =9.5\, \rm s.\)
Порівняння аналогових та цифрових контролерів
Наступний приклад порівнює конструкцію кореневого локусу аналогових та цифрових контролерів у випадку моделі двигуна постійного струму.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Модель двигуна постійного струму описується як:\(G\left(s\right)=\frac{500}{s^2+110s+1025}\); конструктивні характеристики полягають у тому, щоб реакція кроку двигуна мала:\(OS\le 10\%\ (\zeta \ge 0.59),\ \ t_s\le 100ms,\ \ e{\left(\infty \right)|}_{step}=0.\)
Час вибірки вибирається як:\(T=0.01s\); потім, з команди MATLAB 'c2d', функція передачі імпульсів двигуна отримується як:\(\ G\left(z\right)=\frac{0.0178z+0.0123}{z^2-1.27z+0.333}\).
Для отримання нульової похибки сталого стану ми можемо вибрати PI контролер, де нуль контролера приблизно скасовує полюс рослини, тобто нехай\(K\left(s\right)=\frac{K\left(s+10\right)}{s}\).
Порівняний PI-контролер для системи вибіркових даних одержується за допомогою перетворення:\(z=e^{Ts}\), і задається як:\(K\left(z\right)=\frac{K\left(z-0.905\right)}{z-1}\).
Графіки локусів коренів\(s\)\(z\) -plane і -plane показані на малюнку 7.7.3. З графіків ми можемо вибрати, наприклад,\(K=8\) для замкнутої системи для досягнення постійної часу:\(\tau \cong 25ms\).
Для\(K=8\), отримані в результаті замкнутого циклу передавальні функції для аналогової та дискретної системи отримані у вигляді:
Аналоговий:\(T\left(s\right)=\frac{4000\left(s+10\right)}{s^3+110s^2+5025s+40,000}\)
Дискретні:\(T\left(z\right)=\frac{0.14z^2-0.03z-0.089}{z^3-2.13z^2+1.57z-0.42}\)
Використання команди MATLAB «damp» показує демпфування\(\zeta =0.79\) для аналогової системи та демпфування\(\zeta =0.68\) для цифрової системи.
Ступінчасті реакції аналогової та дискретної систем порівнюються на малюнку 7.7.4. Як видно з малюнка, як аналогові, так і дискретні системи відповідають вимогам часу осідання та перевищення.
MATLAB Налаштована конструкція PID контролера
Набір інструментів MATLAB Control Systems надає команду «pidtune», яку можна використовувати як з аналоговими, так і з дискретними моделями систем. Налаштована конструкція ПІД-регулятора у випадку двигуна постійного струму досліджується в наступному прикладі.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Нехай\(G\left(s\right)=\frac{500}{s^2+110s+1025}\); технічні характеристики конструкції призначені для реакції кроку двигуна, щоб мати:\(OS\le 10\%\ (\zeta \ge 0.59),\ \ t_s\le 100ms,\ \ e{\left(\infty \right)|}_{step}=0.\)
Нехай\(T=0.01s\); з команди MATLAB 'c2d' функція передачі імпульсів двигуна отримується як:\(\ G\left(z\right)=\frac{0.0178z+0.0123}{z^2-1.27z+0.333}\).
За допомогою команди MATLAB 'pidtune' виходить аналоговий ПІД-регулятор для моделі двигуна постійного струму з частотою\(100rad/s\) кросовера:\(K\left(s\right)=25.1+0.189s+\frac{567}{s}\).
Команда «pidtune» використовується для проектування подібного ПІД-контролера для дискретної моделі. Результат:\(K\left(z\right)=23.4+0.368\left(\frac{z-1}{T}\right)+202\left(\frac{T}{z-1}\right)\).
Одинично-ступінчасті реакції замкнутих систем для аналогових і дискретних моделей порівнюються на малюнку 7.7.5. Обидва контролери досягають часу\(t_s<0.1s\) осідання без помилки сталого стану. Однак в цьому випадку налаштований цифровий ПІД-регулятор має менший час осідання.
