5.5: Покращення перехідного та сталого стану

Last updated
Save as PDF

Page ID: 32096

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Свинець - Лаг і PID конструкції

Коли технічні характеристики системи управління вимагають одночасного вдосконалення перехідної реакції та похибки відстеження сталого стану, може розглядатися затримка свинцю або ПІД-контролер.

Контролер затримки свинцю поєднує етапи фазового відведення та фазового відставання; як правило, спочатку покращується перехідний відгук, а потім поліпшується стаціонарна помилка. Контролер затримки свинцю виражається у вигляді:

\[K(s)=K\left(\frac{s+z_{\rm c1}}{s+p_{\rm c1}}\right)\left(\frac{s+z_{\rm c2}}{s+p_{\rm c2}}\right),\quad z_{\rm c1}<p_{\rm c1}, \; z_{\rm c2}>p_{\rm c2}\]

PID контролер аналогічно поєднує PD і PI контролери. Вона виражається у вигляді:

\[K(s)=K\left({s+z_{\rm c1}}\right)\left(\frac{s+z_{\rm c2}}{s}\right) \]

Як правило, в першу чергу спрямоване поліпшення транзиторної реакції. Полюс і нуль, вибрані для фазового відведення або конструкції PD, направляють кореневий локус до бажаних місць полюсів із замкнутим контуром. Пара полюс-нуль в фазово-лаг або ПІ частини конструкції розташовується близько до початку, щоб мінімально порушити існуючий кореневий локус.

Дизайн свинцевого відставання

Приклад\(\PageIndex{1}\): Lead-Lag Design

Нехай\(G\left(s\right)=\frac{10}{s\left(s+2\right)(s+5)}\); припустимо, що технічні характеристики конструкції:\(\% {\rm O}S\le 10\% ,\; \; t_\rm s \le 2\rm s,\; \; e_{\rm ss} |_{{\rm r}amp} \le 0.1.\) Ці специфікації переводяться на:\(\zeta \ge 0.6,\ \sigma \ge 2,\ K_v\ge 10\).

Фазово-свинцевий дизайн. Конструкція контролера фазового виведення (розглянута в прикладі 5.3.3) триває наступним чином: Нехай\(s_1=-2.2\pm j2.4,\;\;\zeta =0.68,\) позначимо бажане розташування полюса із замкнутим контуром; тоді\(G\left(s_1\right)=0.35\angle 92{}^\circ\), тобто необхідний внесок фази контролера:\(K\left(s_1\right)=K\angle 88{}^\circ\).

Нехай\(z_c=2,\ p_c=22\); потім\(K\left(s_1\right)=0.11\angle 88{}^\circ\). На графіку RL коефіцієнт посилення контролера\(K=24\) вибирається для замкнутих корінців за адресою:\(s=-2.2\pm j2.4\). Значить, секція фазовідних виконана у вигляді:\(K_{\rm lead}\left(s\right)=24\left(\frac{s+2}{s+22}\right)\).

Дизайн фазового відставання. Для\(K_{\rm lead} (s)G(s)\), константа похибки швидкості задається як:\(K_v=2.2\). Для підвищення постійної похибки до\(K_v>10\), розглядається контролер фазового відставання.\(K_{\rm lag}=\frac{s+0.01}{s+0.002}\)

Внесок кута контролера фазового відставання:\(\angle K_{\rm lag}\left(s_1\right)=-0.1{}^\circ\) отже, домінантні коріння замкнутого циклу незначно впливають.

Контролер відставання свинцю формується у вигляді:\(K\left(s\right)=25\left(\frac{s+2}{s+24}\right)\left(\frac{s+0.01}{s+0.002}\right)\).

Функція передачі із замкнутим контуром виходить у вигляді:\(T\left(s\right)=\frac{240\left(s+0.01\right)}{\left(s+0.01004\right)\left(s+22.6\right)\left(s^2+4.39s+10.58\right)}\). Домінантні замкнуті коріння розташовуються за адресою:\(s=-2.2\pm j2.4\ (\zeta =0.68)\).

Ступінчасті і пандусні відгуки системи замкнутого контуру нанесені нижче. Відповідь кроку відображає час осідання\(1.9sec\).

PID Дизайн

У наступному прикладі виконано альтернативне проектування ПІД.

Приклад\(\PageIndex{2}\): PID Design

Проектування ПД. Контролер PD задається як:\(K_{PD}\left(s\right)=K\left(s+z_c\right)\). Ми можемо довільно вибрати контролер нуль в\(z_c=-2\), і використовувати кореневий локус компенсованої системи для вибору\(K=1\) з замкнутим циклом коріння за адресою:\(s_1=-2.5\pm j1.95\).

Проектування ІП. Контролер PI задається як:\(\frac{s+z_c}{s}\), де\(z_c\ll s_1\) потрібно. Ми можемо довільно вибрати нульове розташування:\(z_c=0.01\) щоб визначити ПІД-регулятор як:\(K_{PID}\left(s\right)=\frac{(s+0.01)(s+2)}{s}\).

Функція передачі із замкнутим циклом задається як:\(T\left(s\right)=\frac{10\left(s+0.01\right)}{\left(s+0.01005\right)\left(s+2\right)\left(s^2+4.99s+9.95\right)}\).

Ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром показує час осідання\(t_s=1.8sec\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром.

Фаза-відведення з PI

Ми також можемо поєднати конструкцію контролера фази з контролером PI для визначення композитного контролера, як показано нижче.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Phase-Lead with PI

Нехай\(G\left(s\right)=\frac{10}{s\left(s+2\right)(s+5)}\); припустимо, що технічні характеристики конструкції:\(\% {\rm O}S\le 10\% ,\; \; t_\rm s \le 2\rm s,\; \; e_{\rm ss} |_{\rm ramp} \le 0.1.\) Ці специфікації переводяться на:\(\zeta \ge 0.6,\ \sigma \ge 2,\ K_v\ge 10\).

Фазово-свинцевий дизайн. Нехай\(s_1=-2.2\pm j2.4\,\;\;\zeta =0.68\); тоді, ми можемо вибрати, як у прикладі 5.5.1 вище,\(z_c=2,\ p_c=22\) і\(K=24\) для замкнутого циклу коренів за адресою:\(s=-2.2\pm j2.4\). Контролер фазового відведення визначається як:\(K_{\rm lead}\left(s\right)=24\left(\frac{s+2}{s+22}\right)\).

Проектування ІП. Контролер PI задається як:\(\frac{s+z_c}{s}\). У цьому випадку\(z_c=0.01\) не представляється хорошим вибором, оскільки повільний режим у крокової реакції залишається домінуючим, збільшуючи час осідання.

Кращою стратегією є вибір нульового контролера PI, щоб скасувати другий полюс рослини на\(s=-5\). Композитний контролер формується у вигляді:\(K\left(s\right)=24\left(\frac{s+2}{s+22}\right)\left(\frac{s+5}{s}\right)\).

Отримана передавальна функція замкнутого циклу після скасування полюс-нуль задається як:\(T\left(s\right)=\frac{240}{\left(s^2+22s+240\right)}\), яка має домінантні замкнуті коріння, розташовані за адресою:\(s=-11\pm j11\ (\zeta =0.7)\).

Ступінчаста реакція системи із замкнутим циклом показує короткий час осідання\(t_s\cong 0.38sec\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром.

MATLAB Налаштування ПІД-регулятора

Набір інструментів MATLAB Control Systems пропонує команду «pidtune» для розробки оптимального ПІД-регулятора або ПІД-регулятора з фільтром для зменшення шуму високої частоти.

Приклад\(\PageIndex{4}\): MATLAB PID Controller

Нехай\(G\left(s\right)=\frac{10}{s\left(s+2\right)(s+5)}\); тоді, MATLAB налаштований ПІД-контролер отримується як:

\[K\left(s\right)=\frac{2.01\left(s+0.314\right)\left(s+1.43\right)}{s}\]

Отримані замкнуті коріння розташовуються за адресою:\(s=-0.34,\ -1.16,\ -2.73\pm 3.71.\)

Як варіант, налаштований ПІД-регулятор MATLAB з фільтром виходить у вигляді:

\[K\left(s\right)=\frac{727.25\left(s+0.302\right)\left(s+1.41\right)}{s\left(s+361.4\right)}\]

Отримані замкнуті коріння розташовуються за адресою:\(s=-0.34,\ -1.16,\ -2.73\pm 3.71,\ -361.5.\)

Відповіді системи із замкнутим контуром для розроблених MATLAB ПІД-контролерів наведені нижче. Відповіді майже ідентичні з перевищенням приблизно\(10\%\) з часом заселення\(t_s\cong 6sec\).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Крок реакції налаштованих ПІД-контролерів MATLAB.