5.4: Покращення сталого стану помилок
- Page ID
- 32116
Покращення стаціонарного стану помилок
Похибка відстеження сталого стану на вході кроку або рампи оцінюється за допомогою констант похибки положення та швидкості системи. Ці константи визначаються як:
\[K_ p ={\mathop{\lim }\limits_{s\to 0}}\; KGH(s)\]
\[K_{v} ={\mathop{\lim }\limits_{s\to 0}}\; sKGH(s)\]
У випадку конфігурації зворотного зв'язку з одиницьким коефіцієнтом посилення (\(H(s)=1\)), стаціонарна помилка відстеження для входів кроку та рампи обчислюється як:
\[\left. e(\infty )\right|_{\rm step} =\frac{1}{1+K_ p }\]
\[\left. e(\infty )\right|_{\rm ramp} =\frac{1}{K_v } \]
де команда MATLAB 'dcgain' може бути використана для обчислення відповідної константи помилки.
Додавання контролера PI першого порядку або фазового відставання до циклу зворотного зв'язку покращує відповідну постійну помилки. Обидва контролери додають пару полюс-нуль до функції передачі циклу, і описуються наступним чином:
\[K(s)=\frac{K(s+z_ c )}{(s+p_ c )} ,\quad p_ c <z_ c \]
де\(p_c =0\) позначає PI контролер.
Припускаючи\(K=1\), що константа похибки позиції піднімається як:\(K_p^{'} =(z_c /p_c )K_p >K_p\).
Контролер PI, зокрема, призводить до:\(K_ p^{'} =\infty\), отже\(\left. e(\infty )\right|_{\rm step} =0\). В силу додавання інтегратора в контур зворотного зв'язку, похибка стаціонарного стану на ступінчастий вхід дорівнює нулю для PI-контролера.
Фазове відставання та проектування PI
Конструкція контролера PI/фазового затримки має на меті підвищити відповідну постійну помилки, не відчутно порушуючи існуючий графік RL.
Дозвольте\(s_1\) позначити бажане розташування полюса із замкнутим контуром на існуючому графіку RL; потім, полюс контролера і нуль вибираються відповідно до:\(p_c<z_c\ll Re(s_1)\). Це гарантує, що несприятливий внесок кута від контролера залишається невеликим, тобто\(\theta _ z -\theta _ p \approx 0^{\circ }\).
Фактичні місця полюс-нуль для фазового лагу та нульового розташування для PI можуть бути довільно обрані.
Контролер PI/Phase-lag додає пару полюс-нуль, близьку до початку, до функції передачі петлі. Звідси в функції передачі із замкнутим контуром з'являється полюс із великою постійною часу. Проте внесок доданого повільного режиму в загальну реакцію системи залишається невеликим через безпосередній близькості полюса до нуля контролера.
Приклад\(\PageIndex{1}\): Phase-Lag Design
Нехай\(G\left(s\right)=\frac{10}{s\left(s+2\right)(s+5)}\); припустимо, що технічні характеристики конструкції наведені як:\(\zeta \ge 0.6,\ \ {e_{ss}|}_{\rm ramp}\le 0.1.\)
Оскільки покращення перехідної реакції не спрямоване, ми можемо використовувати статичний контролер для задоволення вимог коефіцієнта демпфування.
Як приклад, нехай\(K=0.7\); тоді, замкнута система має домінуюче коріння в:\(s=-0.8\pm j0.8\; (\zeta =0.7)\). Характерний многочлен враховується як:\(\mathit{\Delta}\left(s\right)=(s+5.38)(s^2+1.62s+1.3)\).
Далі константа похибки швидкості оцінюється як:\(K_v=0.7\).
Для того щоб підняти\(K_v>10\), розглянемо контролер фазового лага:\(K\left(s\right)=\frac{s+0.02}{s+0.0012}\), де\(\angle K(s_1)=-0.3{}^\circ \).
Компенсована система має:\(K_v=11.67\); отже\({e_{ss}|}_{\rm ramp}\le 0.1\).
Відповідь рампи замкнутої системи будується для підтвердження результатів.
При додаванні контролера фазового відставання функція передачі замкнутого циклу задається як:
\[T(s)=\frac{7(s+0.02)}{(s+0.0202)(s+5.38)(s^2+1.61s+1.29)}\]
Закритий корінь при майже\(s=-0.0202\) скасовується наявністю нульового в\(s=-0.02\). Значить, повільний режим\(e^{-0.0202t}\) має дуже малий коефіцієнт і лише мінімально впливає на реакцію системи. Домінантні замкнуті коріння також уражаються мінімально.
Приклад\(\PageIndex{2}\): PI Design
Орієнтовна модель двигуна постійного струму наведена як:\(G(s)=\frac{.5}{(.01s+1)(.1s+1)}\). Технічні характеристики конструкції наведені як:\(\zeta \ge 0.6,\ \ {e_{ss}|}_{\rm step}\le 0.01.\)
Вибираємо PI контролер\(K(s)=\frac{K(s+z_c)}{s}\), з єдиним коефіцієнтом посилення зворотного зв'язку\(H(s)=1\). Коефіцієнт посилення циклу задається як:\(K(s)G(s)=\frac{.5K(s+z_c)}{s(.01s+1)(.1s+1)}\).
Похибка положення константа є\(K_p=\infty\). Звідси\({e_{ss}|}_{\rm step}=0\).
Нуль контролера може бути обраний для скасування одного з полюсів рослин; отже\(z_c=10\). Далі, з графіка RL, ми можемо вибрати, наприклад,\(K=10\). Конструкція контролера PI задається як:\(K(s)=\frac{10(s+10)}{s}\).
Функція передачі системи із замкнутим циклом задається як:\(T(s)=\frac{5000}{s^2+100s+5000}\). Ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром нанесена нижче.
