5.3: Покращення перехідної реакції

Покращення кореневого локусу

Динамічний контролер змінює графік кореневого локусу, додаючи полюси та нулі до функції передачі циклу. Загалом, додавання скінченного нуля до функції передачі петлі призводить до того, що гілки RL згинаються до нього, тоді як наявність полюса замкнутого циклу відштовхує близьку до нього гілку RL.

Зокрема, досліджено ефект додавання динамічного контролера першого порядку, визначеного:\(K(s)=\frac{K(s+z_{c} )}{s+p_{c} }\) до циклу зворотного зв'язку. Контролер першого порядку додає\(-z_c\) нуль та полюс до функції передачі циклу.\(-p_c\)

Додавання контролера фазового відведення першого порядку до контуру зворотного зв'язку покращує перехідну реакцію системи; додавання контролера фазового відставання або PI покращує реакцію відстеження сталого стану.

Фазово-свинцевий контролер Дизайн

Щоб покращити перехідний відгук, до циклу зворотного зв'язку може бути доданий контролер фази або контролер PD. Контролер фазового відведення описується:

\[K\left(s\right)=\frac{K\left(s+z_c\right)}{s+p_c};\ z_c<p_c\]

У граничному випадку контролер фазовідних\(p_c\to \infty\) перетворюється на контролер PD, описаний:\[K\left(s\right)=K\left(s+z_c\right)\]

Контролер PD має необмежений коефіцієнт посилення на високих частотах, що посилювало б високочастотний шум, що надходить в систему. Таким чином, для ефективного придушення шумів\(p_c\gg z_c\) віддається перевага фазовідної конструкції з контролером ПД.

Місця розташування полюса і нуля контролера у випадку фазовідних і ПД контролерів вибираються за допомогою умови кута RL. Загальна процедура проектування дається наступним чином:

1. Виберіть бажане розташування полюса із замкнутим контуром\(s_1\) із специфікацій конструкції.
2. Compute\(G\left(s_1\right)\); команда MATLAB 'evalfr' може бути використана для цієї мети.
3. Використовуйте умову кута, щоб визначити внесок кута, необхідний контролеру:\[{\theta }_z-{\theta }_p=180{}^\circ -\angle G\left(s_1\right)\]
4. Виберіть положення полюса контролера та нуль, щоб задовольнити внесок кута від контролера; оскільки умова кута визначає одне обмеження між двома змінними, можливі кілька конструкцій.
5. Використовуйте команду MATLAB 'evalfr', щоб перевірити внесок кута контролера. Зауважте, що нам може знадобитися лише дизайн «ballpark».
6. Побудуйте кореневий локус для компенсованої системи та виберіть посилення,\(K\) щоб завершити дизайн контролера.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Phase-Lead Design

Нехай\(G(s)=\frac{2}{s(s+2)}\); спроектувати контролер фазового свинцю для досягнення наступних специфікацій:\(\zeta \cong 0.7,\; \; t_ s \le 2\, s\).

Конструкція контролера фазового виведення відбувається наступним чином:

1. Дозвольте\(s_1=-2.5\pm j2.5\) описати бажане розташування кореня із замкнутим циклом.
2. Використовуючи команду MATLAB 'efalfr' для оцінки функції перенесення рослин, ми отримуємо:\(G(s_1)=0.222\angle 123.7{}^\circ\); отже, необхідний внесок фази контролера для реалізації бажаного розташування полюса:\(K\left(s_1\right)=K\angle 56.3{}^\circ\).
3. Нехай\(z_c=2,\ p_c=5\); потім,\(K\left(s_1\right)=0.72\angle 55{}^\circ\).
4. Далі,\(K(s_1)G(s_1)\cong 0.16\angle 180^\circ\); отже,\(K=\frac{1}{0.16}\cong 6.3\). Крім того, з графіка кореневого локусу компенсованої системи коефіцієнт посилення контролера виявляється як:\(K=6.29\); отже,\(K\left(s\right)=6.29\left(\frac{s+2}{s+5}\right)\).

Ділянка кореневого локуса для конструкції фазово-відведення наведено нижче (рис.5.3.1).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Кореневий локус для фазово-свинцевої конструкції.

Система замкнутого циклу формується у вигляді:\[T(s)=\frac{12.58(s+2)}{(s+2)(s^2+5s+12.58)}\]

Зауважимо, що функція передачі із замкнутим циклом\(T(s)\) включає скасування полюс-нуль при\(s=-2\). Такі скасування дозволені до тих пір, поки вони обмежені відкритою лівою половиною площини (OLHP). Більше того, неточності компонентів роблять точне скасування полюса—нуль малоймовірною подією на практиці.

Ступінчаста реакція системи замкнутого циклу побудована на рис.5.3.2. З малюнка час заселення дається як:\(t_s=1.7s\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Ступінчаста реакція замкнутої системи.

Відзначимо також, що альтернативні фазовідні конструкції для цього прикладу можливі, однак вибір нульового розташування\(z_c<2\) контролера, швидше за все, збільшить час осідання системи із замкнутим контуром.

Приклад\(\PageIndex{2}\): PD Controller Design

Нехай\(G(s)=\frac{2}{s(s+2)}\); спроектувати контролер PD для досягнення наступних специфікацій:\(\zeta \cong 0.7,\; \; t_ s \le 2\, s\).

Конструкція контролера ПД відбувається наступним чином:

1. Дозвольте\(s_1=-2.5\pm j2.5\) описати бажане розташування кореня із замкнутим циклом.
2. Використовуючи команду MATLAB 'efalfr' для оцінки функції перенесення рослин, ми отримуємо:\(G\left(s_1\right)=0.222\angle 123.7{}^\circ\); отже, необхідний внесок фази контролера для реалізації бажаного розташування полюса:\(K\left(s_1\right)=K\angle 56.3{}^\circ\).
3. З тригонометрії (рис. 5.3.3), нехай\(z_c=4.17\); тоді\(K(s)=s+z_c\), для, маємо:\(K(s_1)\cong 3\angle 56.3{}^\circ\).
4. З тих пір\(K(s_1)G(s_1)\cong 0.66\angle 180^\circ\), у нас є\(K=\frac{1}{0.66}=1.5\). Як варіант, з графіка РЛ компенсованої системи (рис.5.3.4) отримаємо:\(K=1.5\); отже,\(K\left(s\right)=1.5(s+4.17)\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Тригонометрія для обчислення необхідного кута від нуля контролера.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Графік кореневого локусу для контролера PD.

З міркувань придушення шуму краще замінити контролер PD на фазову конструкцію.

Відповідно, нехай\(K(s)=K\frac{s+4}{s+55}\); так як\(K(s_1)G(s_1)\cong 0.012\angle 180^\circ\), нехай\(K=81.25\). Тоді, для\(K(s)=81.25\frac{s+4}{s+55}\), у нас є\(K(s_1)G(s_1)=-1\).

Ступінчаста реакція контролера ПД і запропонована конструкція фазовідведення практично ідентичні (рис.5.3.5).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Ступінчаста реакція замкнутих систем.

Другий приклад фазово-свинцевої конструкції представлений нижче.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Phase-Lead Design

Нехай\(G\left(s\right)=\frac{10}{s\left(s+2\right)(s+5)}\); припустимо, що технічні характеристики конструкції наведені як:\(OS\le 10\%,\ \ t_s\le 2sec\).

Конструкція контролера фазового виведення відбувається наступним чином:

1. Дозвольте\(s_1=-2.2\pm j2.4\) описати бажане розташування кореня із замкнутим циклом.
2. Використовуючи команду MATLAB 'efalfr', ми отримуємо:\(G\left(s_1\right)=0.35\angle 92{}^\circ\); необхідний внесок фази контролера:\(K\left(s_1\right)=K\angle 88{}^\circ\).
3. Нехай\(z_c=2,\ p_c=22\); потім\(K\left(s_1\right)=0.11\angle 88{}^\circ\).
4. З розгляду посилення, нехай\(|K(s_1)G(s_1)|=1\); потім, використовуючи команду «evalfr», ми отримуємо, отже\(K=24\), бажаний контролер фазового відведення:\(K(s)=\frac{24(s+2)}{s+22}\). Компенсована система має,\(K(s_1)G(s_1)\cong -1\).

Отримана система замкнутого циклу після скасування полюс-нуль задається як:\(T\left(s\right)=\frac{240}{\left(s+22.6\right)\left(s^2+4.4s+10.62\right)}\).

Ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром показує час осідання\(1.8s\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Ступінчаста реакція системи замкнутого циклу.

Оцінити зворотний зв'язок Дизайн контролера

Конфігурація зворотного зв'язку швидкості, показана на малюнку 5.3.7, передбачає внутрішній контур зі зворотним зв'язком швидкості на додаток до регулярного вихідного зворотного зв'язку. У цій конфігурації коефіцієнт посилення зворотного зв'язку дорівнює\(k_f\), тоді як\(K(s)\) позначає контролер зовнішнього контуру.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Конфігурація зворотного зв'язку швидкості (зверху); еквівалентна діаграма (знизу).

Проектування зворотного зв'язку за швидкістю зазвичай виконується в два етапи. По-перше, внутрішня петля призначена для відповідних місць розташування коренів із замкнутим контуром. Отримана функція передачі внутрішнього контуру служить установкою для конструкції контролера зовнішнього контуру.

Незначний дизайн петлі. Функція передачі циклу для другорядного циклу задається як:\(G(s)k_ f s\). Нехай\(G(s)=\frac{n(s)}{d(s)}\); тоді функція передачі замкнутого незначного циклу є:\(G_{ml} (s)=\frac{n(s)}{d(s)+n(s)k_ f s} .\)

Дизайн зовнішньої петлі. Функція передачі циклу для зовнішнього циклу задається як:\(K(s)G_{ml} (s)\).

Нехай\(K\left(s\right)=K\); потім, функція передачі замкнутого зовнішнього циклу виходить як:\(T\left(s\right)=\frac{Kn\left(s\right)}{d\left(s\right)+\left(k_fs+K\right)n\left(s\right)}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Нехай\(G(s)=\frac{2}{s(s+2)}\); припустимо, що технічні характеристики конструкції наведені як:\(OS\le 10\%, \; t_s\le 2s \;(\zeta\ge 0.6)\).

Незначний дизайн петлі. Незначний коефіцієнт посилення циклу:\(\frac{2k_f s}{s(s+2)}\); функція передачі замкнутого незначного циклу є:\(G_{ml} (s)=\frac{2k_f}{s(s+2+2k_f)}\).

Ми можемо вибрати, наприклад,\(k_f=1\) для отримання:\(G_{ml} (s)=\frac{2}{s(s+4)}\).

Як варіант, з другорядної петлі кореневої локус (рис. 5.3.8) вибираємо\(k_f=1\) для замкнутого контуру кореня в\(s=-4\).

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Мала петля кореневого локуса.

Локус кореня незначної петлі показує очевидне скасування полюс-нуль у початку. Полюс біля початку, однак, зберігається у зовнішній конструкції петлі.

Дизайн зовнішньої петлі. Функція передачі зовнішнього циклу задається як:\(KG_{ml} (s)=\frac{2K}{s(s+4)}\).

З характерного многочлена замкнутого контуру ми можемо вибрати\(\Delta (s)=s(s+4)+K\), наприклад\(K=4\), щоб коріння замкнутого циклу розташовувалися за адресою:\(s=-2\pm j2\).

Крім того, ми можемо вибрати\(K=4\) з зовнішньої петлі кореневої ділянки локусу (рис.5.3.9).

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Зовнішня петля кореневого локусу.

Функція передачі замкнутого зовнішнього циклу задається як:\(T(s)=\frac{8}{s^2+4s+8}\).

Ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром показує час осідання\(2.1s\).

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Ступінчаста реакція системи замкнутого циклу.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Нехай\(G(s)=\frac{10}{s(s+2)(s+5)}\); припустимо, що специфікації крокової відповіді:\(OS\le 10\%,\ t_s\le 2sec \; (\zeta\ge 0.6)\).

Незначний дизайн петлі. Незначний коефіцієнт посилення циклу є\(k_f s\; G(s)=\frac{10k_f s}{s(s+2)(s+5)}\). З кореневого локусу другорядної петлі (рис. 5.3.11) ми можемо вибрати,\(k_f =2\) наприклад, щоб коріння замкнутої другорядної петлі розташовувалися за адресою:\(s=-3.5\pm j4.2\; (\zeta \cong 0.64)\).

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Мала петля кореневого локуса.

Дизайн зовнішньої петлі. Коефіцієнт посилення зовнішньої петлі виходить у вигляді:\(KG_{ml} (s)=\frac{10K}{s\left[(s+2)(s+5)+k_f \right]} =\frac{10K}{s(s^{2} +7s+30)} \).

З зовнішньої петлі кореневого локусу ми можемо вибрати, наприклад,\(K=5.4\) для замкнутих корінців, розташованих за адресою:\(s=-2\pm j3.75\; (\zeta \cong 0.47)\). Хоча\(\zeta\) здається низьким, ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром має невелике перенапруження через наявність реального полюса на\(s=-3\).

Малюнок\(\PageIndex{12}\): Зовнішня петля кореневого локусу.

Функція передачі замкнутого зовнішнього циклу задається як:\(T(s)=\frac{54}{(s+3)(s^2+4s+18)}\).

Ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром показує час осідання\(1.5s\).

Малюнок\(\PageIndex{13}\): Ступінчаста реакція системи замкнутого циклу.