4.5: Чутливість і надійність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 31999

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Чутливість і надійність

Надійність відноситься до здатності системи управління витримувати зміни параметрів у функції передачі заводу, і все ще підтримувати стабільність і продуктивність цілей.

Надійність характеризується чутливістю передавальної функції із замкнутим контуром\(T(s)\) до зміни одного або декількох параметрів рослини.

Функція чутливості системи

Функція чутливості системи визначається як відношення процентної зміни функції передачі замкнутого циклу до процентної зміни функції перенесення рослин, тобто, припускаючи одиницю зворотного зв'язку (\(H(s)=1\)),

\[S_{G}^{T} =\frac{\partial T/T}{\partial G/G} =\frac{\partial T}{\partial G} \frac{G}{T} =\frac{1}{1+KG(s)} \]

Отже, збільшення посилення петлі в системі управління зворотним зв'язком, вибираючи більший коефіцієнт посилення контролера\(K\), зменшує його чутливість до варіацій параметрів.

Можна відзначити, що функція чутливості системи, позначається як\(S(s)\), така ж, як і функція передачі від помилки\(e(s)\), до виходу,\(y(s)\). Функція чутливості - це, таким чином, функція частоти. Далі\(S(s)+T(s)=1\), де\(T(s)\) позначається замкнута передавальна функція.

Чутливість параметрів

Чутливість передавальної функції із замкнутим контуром\(T(s)\), до процентної зміни параметра рослини\(\alpha\), задається як:

\[S_{\alpha }^{T} =S_{G}^{T} S_{\alpha }^{G} \]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Нехай\(KG(s)=\frac{K}{s(s+a)} ,\; \, \, H(s)=1\); тоді, у нас є:\(T(s)=\frac{K}{s(s+a)+K}\).

Для зворотного зв'язку з одиницьким коефіцієнтом посилення функція чутливості системи обчислюється як:\(S_{G}^{T} =\frac{s(s+a)}{s(s+a)+K}\).

Далі,\( S_{a}^{G} =-\frac{a}{s+a} \); отже\( S_{a}^{T} =-\frac{as}{s(s+a)+K} \).

Таким чином, збільшення посилення петлі (шляхом вибору великого\(K\)) знижує чутливість\(T(s)\) до варіацій в\(a\). Однак збільшення\(K\) зменшує демпфування в системі і дає початок вихідних коливань.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Модель невеликого двигуна постійного струму наближена як:\(G(s)=\frac{k_{t} }{(Js+b)(Ls+R)+k_{t} k_{b} } =\frac{500}{s^{2} +110s+1025}\).

Для зворотного зв'язку з одиницьким коефіцієнтом посилення функція чутливості системи обчислюється як:

\[S_{G}^{T} =\frac{1}{1+KG(s)}=\frac{s^2+110s+1025}{s^2+110s+500K+1025}\]

Бо\(K=10\), у нас є\(S_{G}^{T}=\frac{s^2+110s+1025}{s^2+110s+6025}\).

Припустимо, ми хочемо обчислити чутливість\(T\left(s\right)\) до постійної крутного моменту двигуна\(k_t\); тоді

\[S^G_{k_t}=\frac{s^2+110s+1000}{s^2+110s+1000+500k_t}\]

Для\(k_t=0.05\), отримуємо\(S^G_{k_t}=\frac{s^2+110s+1000}{s^2+110s+1025}\), а значить

\[S^T_{k_t}=S^G_{k_t}\,S_G^T=\frac{s^2+110s+1000}{s^2+110s+6025}\]

Графік величини Боде функції чутливості показаний на рис.4.5.1.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Графік величини Боде функції чутливості.