4.3: Покращення сталого стану помилок

Стабільна помилка відстеження стану

Система контролю відстеження призначена для того, щоб мати низьку похибку сталого стану у відповідь на постійний (тобто одиничний крок) або лінійно змінюється (тобто одиниць-рампа) вхід. Бажаний допуск помилок може бути вказаний у відсотках від вхідних даних посилання. Крім того, реакція системи на постійне введення порушень повинна залишатися невеликою.

Розглядаємо систему управління зворотним зв'язком (рис. 4.3.1) з входом\(r(s)\) і виходом\(y(s)\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Скопіюйте та вставте підпис тут. (Авторське право; автор через джерело)

Нехай\(T\left(s\right)\) позначають функцію передачі замкнутого циклу; потім\(y\left(s\right)=T\left(s\right)r(s)\). Помилка відстеження\(e(s)\), у відповідь на опорний сигнал\(r(s)\), визначається як:

\[e\left(s\right)=\left(1-T(s)\right)r\left(s\right)\]

Щоб охарактеризувати помилку відстеження, ми розглянемо систему зворотного зв'язку з єдиним коефіцієнтом посилення (\(H(s)=1\)). Потім помилка відстеження задається як:\(e(s)\)

\[e(s)=\frac{1}{1+KG(s)} r(s)\]

Використовуючи теорему кінцевого значення (FVT), похибка відстеження сталого стану обчислюється як:\(e(\infty )={\mathop{\lim }\limits_{s\to 0}} \:se(s) \)

Помилка стаціонарного стану для вхідного еталонного кроку\(\left(r(s)=\frac{1}{s} \right)\), задається як:\(e(\infty )=\frac{1}{1+KG(0)} .\)

Помилка стаціонарного стану для вхідного сигналу рампи\(\left(r(s)=\frac{1}{s^{2} } \right)\), задається як:\(e(\infty )=\frac{1}{\left. sKG(s)\right|_{s=0} } .\)

Системні константи помилок

Похибка відстеження сталого стану в разі системи управління зворотним зв'язком з одиничним коефіцієнтом посилення характеризується термінами констант положення системи та похибки швидкості, які визначаються як:

\[K_ p ={\mathop{\lim }\limits_{s\to 0}} KG(s)\]

\[K_{ v} ={\mathop{\lim }\limits_{s\to 0}} sKG(s)\]

З точки зору констант помилок, стаціонарна помилка відстеження до кроку або введення рампи оцінюється як:

\[\left. e(\infty )\right|_{ step} =\frac{1}{1+K_ p }\]

\[\left. e(\infty )\right|_{ ramp} =\frac{1}{K_v } \]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Нехай\(KG(s)=\frac{K}{s(s+2)}\); тоді у нас є:\(K_ p =\infty ,\; \; K_{ v} =\frac{K}{2}\).

Звідси\(\left. e(\infty )\right|_{ step} =0, \;\left. e(\infty )\right|_{ramp} \; =\; \frac{2}{K} .\)

Відзначимо, що наявність інтегратора в циклі змушує\(K_p\to \infty\), а стаціонарна помилка на ступінчастому вході перейти до нуля.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Орієнтовна модель невеликого двигуна постійного струму наведена як:

\[KG\left(s\right)=\frac{500K}{\left(s+10\right)\left(s+100\right)}\]

Тоді у нас є:\(K_p=0.5K\), і\(K_v=0\).

Звідси\(\left. e(\infty )\right|_{ step} =\frac{2}{K}, \;\left. e(\infty )\right|_{ramp} \; =\; \infty .\)

Інтегральний контроль\(K\left(s\right)=\frac{k_i}{s}\), часто використовується для зменшення сталого стану помилки відстеження. Наявність інтегратора в циклі змушує\(K_p\to \infty\), а стаціонарна помилка на ступінчастому вході перейти до нуля.

Стаціонарна помилка для введення рампи

Припускаючи, що цикл зворотного зв'язку містить інтегратор, так що стаціонарна помилка крокового входу дорівнює нулю, помилка сталого стану на вхід рампи виражається у вигляді:

\[e(s)=\left[1-T(s)\right]r(s);\; \, \, r(s)=\frac{1}{s^{2} } .\]

Похибка оцінюється при застосуванні ФВТ:\(\left. e(\infty )\right|_{ramp} ={\mathop{\lim }\limits_{s\to 0}} \frac{1-T(s)}{s} .\)

Використовуючи правило L' лікарні, ми отримуємо:\(\left. e(\infty )\right|_{ramp} ={\mathop{\lim }\limits_{s\to 0}} \, \left(-\frac{ dT(s)}{ ds} \right)\).

Для оцінки RHS ми використовуємо натуральний логарифм для запису:\(\frac d{ ds} \ln T(s)=\frac{1}{T(s)} \frac{ dT(s)}{ ds} .\)

Оскільки\({\mathop{\lim }\limits_{s\to 0}}\; T(s)=1\) за припущенням інтегратора, ми маємо:\({\mathop{\lim }\limits_{s\to 0}}\;\frac d{ ds} \ln T(s)\; ={\mathop{\lim }\limits_{s\to 0}} \;\frac{ dT(s)}{ ds}\).

Далі припустимо, що\(T(s)\) виражається як:\(T(s)=\frac{K(s-z_{1} )\ldots (s-z_{m} )}{(s-p_{1} )\ldots (s-p_{n} )} .\)

Тоді у нас є:\(\ln T(s)=\ln K+\sum _{{ l}n} (s-z_{i} )-\sum _{{ l}n} (s-p_{i} ),\) і

\[\frac d{ ds} \ln T(s)=\ln K+\sum \frac{1}{s-z_{i} } -\sum \frac{1}{s-p_{i} } \]Звідси випливає, що:\[\left. e(\infty )\right|_{ ramp} =\sum \frac{1}{p_{i} } -\sum \frac{1}{z_{i} } \]

де\(z_{i}\) і\(p_{i}\) позначають нулі і полюси замкнутої системи.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Нехай\(KG(s)=\frac{K}{s(s+2)}\); потім, характеристика замкнутого контуру многочлен є:\(\mathit{\Delta}\left(s\right)=s^2+2s+K\).

Припускаючи значення\(K=1\), полюси замкнутого циклу розташовані за адресою:\(s_{1,2}=-1,\ -1\).

Отримана похибка сталого стану для входу рампи задається як:\(\left. e(\infty )\right|_{ramp} =\sum \frac{1}{p_{i} } =2\).

Для перевірки реакція системи замкнутого циклу побудована на малюнку 4.3.1.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Помилка сталого стану для входу рампи (приклад 4.3.3).