4.2: Покращення перехідного реагування
- Page ID
- 32000
Покращення перехідного реагування
Розглядаємо систему управління зворотним зв'язком (рис. 4.2.1) з входом\(r(s)\) і виходом\(y(s)\).
Відповідь системи із замкнутим циклом задається як:\(y(s)=T(s)r(s)\), де\(T(s)=\frac{KG(s)}{1+KGH(s)} \).
Відповідь системи складається з перехідних і стаціонарних компонентів, тобто\(y(t)=y_{tr}(t)+y_{ss}(t)\).
Зокрема, для постійного введення\(r_{ss}\), стаціонарна складова відповіді системи задається як:\(y_{ss}=T(0)r_{ss}\).
Транзиторна реакція характеризується коренями характерного многочлена замкнутого контуру, наведеного як:\(\Delta(s)=1+KGH(s)\).
Ці корені можуть бути справжніми або складними, виразними або повторюваними. Відповідно, режими природного відгуку системи характеризуються наступним чином:
Реальні та чіткі корені. Нехай\(\Delta (s)=(s-p_{1} )(s-p_{2} )\ldots (s-p_{n} ).\); тоді, режими природного відгуку системи задаються як:\(\left\{e^{p_{1} t} ,e^{p_{2} t} ,\; \ldots \, ,e^{p_{n} t} \right\}\).
Реальні та повторювані коріння. Нехай\(\Delta _{m} (s)=(s-s_{1} )^{m}\); потім, відповідні природні режими відгуку задаються як:\(\left\{e^{s_{1} t} ,\; te^{s_{1} t} ,\; \ldots ,\; t^{m-1} e^{s_{1} t} \right\}\).
Складні Коріння. Дозволяти\(\Delta _ c (s)=(s+\sigma )^{2} +\omega ^{2} \); тоді відповідні природні режими відгуку задаються як:\(\left\{e^{-\sigma t} \cos \omega t\; ,\; \; e^{-\sigma t} \sin \omega t\right\}\).
Загальний вираз. Припустимо, що для будь-якого полінома порядку режими відгуку задаються як:\(\phi _{k} (t),\; k=1,\ldots ,n\).\(n\) Потім, використовуючи довільні константи\(c_{k}\), природна відповідь системи задається як:\(y(t)=\sum _{k=1}^{n} c_{k} \phi _{k} (t)\nonumber\).
Технічні характеристики конструкції системи управління
Специфікації конструкції системи управління включають бажані характеристики для перехідних і стаціонарних компонентів реакції системи щодо входу прототипу. Крок вхідних даних використовується для визначення бажаних характеристик перехідного відгуку.
До якісних показників ступінчастої реакції відносяться наступні:
- Час підйому (\(t_{r}\))
- Піковий час (\(t_{p}\))
- Пік відгуку (\(M_p\)) і процентне перевищення (% OS),
- Час заселення (\(t_{s}\))
Час підйому. Для надмірно затухаючих систем (\(\zeta >1\)) час підйому - це час, який приймає відповідь, щоб досягти від\(10\%\) до\(90\%\) його кінцевого значення. Для недогащених систем (\(\zeta <1\)) час підйому - це час, коли реакція вперше досягає свого сталого значення.
Піковий час. Для недозатухаючих систем піковий час - це час, коли ступінчаста реакція досягає свого піку.
Перенагулювання піку. Перенесення піку - це перевищення вище значення стаціонарного стану.
Час заселення. Час відстоювання - це час, коли крокова реакція досягає і залишається в межах\(2\%\) свого сталого значення. По черзі можуть використовуватися\(1\%\) ліміти.
Прототип системи другого порядку
Для ілюстрації наведених вище характеристик розглянуто прототип передавальної функції другого порядку, заданий передавальною функцією із замкнутого циклу як:\[T\left(s\right)=\frac{{\omega }^2_n}{s^2+2\zeta {\omega }_ns+{\omega }^2_n}\]
Полюси для прототипу системи розташовуються за адресою:\(s=-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_d\), де\({\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}\) знаходиться затухаюча власна частота.
Імпульс і ступінчаста характеристика прототипу системи наведені у вигляді:\[y_{imp}(t)=\frac{{\omega }^2_n}{{\omega }_d} e^{-\zeta {\omega }_nt}{\sin \left({\omega }_dt\right)\ }u(t)\]
\[y_{step}(t)=T(0) \left(1-e^{-\zeta {\omega }_n t} \sin \, (\omega _{d} t+\phi)\right)\, u(t),\, \, \, \phi =\tan ^{-1} \frac{\omega_d }{\zeta\omega _n } \]
Для прототипу системи час підйому\(t_r\), позначається\({\omega }_dt_r+\phi =\pi\). Таким чином,\(t_r=\frac{\pi -\phi }{{\omega }_d}\); час підйому обмежується як:\(\frac{\pi }{2{\omega }_d}\le t_r\le \frac{\pi }{{\omega }_d}\).
Піковий час позначається\({\omega }_dt_p=\pi\); таким чином,\(t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}\).
Перенесення піку задається як:\(M_p=1+e^{-\zeta {\omega }_nt_p}\); відсоток перевищення задається як:\(\%OS=100e^{-\zeta {\omega }_nt_p}\).
Ефективна постійна часу прототипу системи становить:\(\tau =\frac{1}{\zeta {\omega }_n}\). Крок відповідь досягає і залишається в межах\(2\%\) свого кінцевого значення приблизно\(4\tau\), і в межах\(1\%\) його кінцевого значення в о\(4.5\tau\).
Ці показники зведені в таблиці нижче.
| Показник якості | Вираз |
|---|---|
| Час підйому | \(t_r=\frac{\pi -\phi }{{\omega }_d},\ \ \phi ={{tan}^{-1} \frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta }\ }\) |
| Піковий час | \(t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}\) |
| Перенагулювання піку | \(M_p=100e^{-\zeta {\omega }_nt_p}(\%)\) |
| Час заселення | \(t_s\cong \frac{4.5}{\zeta {\omega }_n}\) |
Відзначимо, що вищевказані показники якості відгуку ступені - це всі функції коефіцієнта демпфування\(\zeta\), замкнутого контуру коренів.
Щоб прояснити цей зв'язок, варіація в перевищенні кроку та нормований час підйому\({\omega }_nt_r\), з\(\zeta\) таблицями нижче для вибраних значень\(\zeta\).\(\% { OS}\)
Таблиця 2.2: Відсоток перевищення та часу підйому проти коефіцієнта демпфування
| \(\zeta\) | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \ (\ zeta\)» style="вирівнювання тексту: ліворуч;» клас = "lt-eng-24403">\(\% { OS}\) | 0,2% | 1,5% | 4,6% | 9,5% | 16,3% |
| \ (\ zeta\)» style="вирівнювання тексту: ліворуч;» клас = "lt-eng-24403">\({\omega }_nt_r\) | 5.54 | 4.18 | 3.3 | 2.76 | 2.42 |
Низький (\(\le 10\%\)) перенапруження у відповідь на крок часто бажаний, що означає\(\zeta \ge 0.6.\)
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Для прототипу системи другого порядку, нехай\(T\left(s\right)=\frac{25}{s^2+6s+25}\). Полюси із замкнутим контуром розташовуються за адресою:\(p_{1,2}=-3\pm j4\), отже\({\omega }_n=5\frac{rad}{s}\) і\(\zeta =0.6\).
Ступінчаста реакція системи відображає:\(t_r\cong 0.47\,sec, \;t_p\cong 0.78\,sec, \;\%OS=9\%\), і\(t_s\cong 1.19\,sec \) (\(2\%\)поріг).
Бажаний багаточлен із замкнутим контуром
Технічні характеристики системи, виражені в терміні часу підйому (\(t_r\)), часу осідання (\(t_ s\)), коефіцієнта демпфування (\(\zeta\)) та процентного перевищення (\(\% { O}S\)), використовуються для визначення бажаних місць розташування коренів для характеристичного полінома із замкнутим контуром.
Зокрема, припускаючи розташування кореневого кореня\(-\sigma \pm j\omega\), на реальну і уявну частини ставляться такі обмеження:
- Обмеження часу осідання ставить прив'язку до реальної частини коренів:\(\sigma \ge \frac{4.5}{t_s}\).
- Обмеження коефіцієнта демпфування вимагає\(\theta \le \pm \cos ^{-{ 1}} \zeta\), щоб:, де\(\theta\) кут потрібного розташування кореня від початку складної площини.
- Зростаюче обмеження часу ставить пов'язану з власною частотою замкнутих корінців як\({\omega }_n\ge \frac{2}{t_r}\).
Ці обмеження узагальнені нижче:
\[\sigma \ge \frac{4.5}{t_s},\ \ {\omega }_n\ge \frac{2}{t_r},\ \ \theta \le\cos^{-1} \zeta \]
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Припускаємо наступні технічні характеристики конструкції:\(0.7<\zeta <1\) і\(t_{s} <2s\). Потім бажана область для розташування коренів із замкнутим циклом обмежена:\(\sigma \ge 2\) і\(\theta \le \pm 45^{\circ }\).
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Припустимо, що технічні характеристики конструкції вказані як:\(t_r \le 0.5 s\)\(t_ s \le 3.0 s\),, і%\({ \% O}S\le 10\%\). Ці технічні характеристики встановлюють такі обмеження на розташування полюсів із замкнутим контуром:\(\sigma \ge 1.5,\ {\omega }_n\ge 4,\) і\(\zeta \ge 0.6\).
Щоб задовольнити обмеження, ми можемо вибрати, наприклад, бажаний замкнутий характеристичний многочлен як:\(\Delta_{des}(s)=(s+\sigma )^2+{\omega }^2_d=s^2+6s+20\).
Вибір посилення контролера
Характеристичний поліном із замкнутим контуром для системи зворотного зв'язку з одиничним коефіцієнтом посилення включає статичний коефіцієнт посилення регулятора\(K\), як параметр. Характерний многочлен задається як:\(\Delta(s,K)=1+KG(s)\).
З огляду на бажаний характеристичний многочлен\(\Delta_{des}(s)\), ми можемо обрати коефіцієнти посилення контролера шляхом порівняння коефіцієнтів двох поліномів.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Спрощена модель невеликого двигуна постійного струму наведена як:\(G(s)=\frac{\theta (s)}{V_a (s)} =\frac{10}{s(s+6)} .\) Припускаючи статичний регулятор посилення в конфігурації зворотного зв'язку з одиничним коефіцієнтом посилення, характеристичний поліном із замкнутим контуром задається як:\(\Delta\left(s\right)=s^2+6s+10K\).
Припустимо, технічні характеристики конструкції наведені так:\(OS\le 10\%\ \left(\zeta \ge 0.6\right),\ t_s\le 1.5sec.\) Тоді, замкнуті кореневі місця можуть бути обрані як:\(s=-3\pm j4\).
Бажаний характерний многочлен утворюється у вигляді:\(\Delta_{des}(s)=s^2+6s+25\).
Порівнюючи поліноміальні коефіцієнти, отримаємо:\(K=2.5\).
Крокова реакція системи із замкнутим циклом показує час підйому\(t_r\cong 0.47\,sec\) (\({\omega }_nt_r\cong 3\)) та час осідання\(t_s\cong 1.06\ sec\).
Наступний приклад ілюструє конструкцію контролера зворотного зв'язку швидкості.
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Характерний поліном для конструкції регулятора зворотного зв'язку швидкості наведено як:\(\Delta (s,K,K_{1} )=s^{2} +K_{1} s+K\).
Припустимо, що цілями проектування є:\(\% \; { O}S\le 5\% \, (\zeta =0.7)\) і\(t_ s \le 2.5s.\)
Бажаний характеристичний многочлен для\(\zeta =0.7\) і\(\zeta \omega _{n} =2\) задається як:\(\Delta _{ des} (s)=(s+2)^{2} +2^{2}\). Відповідно, ми можемо вибрати:\(K_{1} =4,K=8\).
Оптимальні показники ефективності
Альтернативним способом характеристики перехідної реакції замкнутої системи є визначення індексу продуктивності часової області та вибір характерного полінома для мінімізації цього індексу.
З цією метою було визначено три популярні показники ефективності:
Інтегральна абсолютна похибка,\({ I}A{ E}:\; \int _{0}^{t_{s} } \left|e(t)\right| dt\)
Інтегральна квадратна помилка,\(\; { I}SE:\; \int _{0}^{t_{s} } \left|e(t)\right|^{2} dt\)
Інтегральний час Абсолютна похибка,\({ I}TAE:\; \int _{0}^{t_{s} } t\left|e(t)\right| dt.\)
Індекс ITAE, зокрема, зазвичай використовується для оцінки продуктивності системи в управлінні промисловими процесами.
Для прототипу моделі системи другого порядку, керованої кроковим входом, мінімізація індексу ITAE призводить до оптимальної конструкції з\(\zeta =0.7\) (\(\% { O}S=4.6\%\)).
Оптимальні коефіцієнти потрібних характеристичних поліномів на основі індексу ITAE наведені нижче:
\[s+\omega _{n}\]
\[s^{2} +1.4\omega _{n} s+\omega _{n}^{2}\]
\[s^{3} +1.75\omega _{n} s^{2} +2.15\omega _{n}^{2} s+\omega _{n}^{3}\]
\[s^{4} +2.1\omega _{n} s^{3} +3.4\omega _{n}^{2} s^{2} +2.7\omega _{n}^{2} s+\omega _{n}^{3} .\]
Приклад\(\PageIndex{6}\)
Модель першого порядку плюс мертвий час (FOPDT) промислового процесу наведено як:\(G\left(s\right)=\frac{e^{-s}}{s+1}\). Використовуючи наближення Паде першого порядку:\(e^{-s}\cong \frac{2-s}{2+s}\), ми отримуємо раціональне наближення як:\(G\left(s\right)\cong \frac{2-s}{(s+1)(s+2)}\).
Характеристичний поліном із замкнутим контуром для системи управління зворотним зв'язком з одиничним коефіцієнтом посилення є:\(\Delta\left(s\right)=\left(s+1\right)\left(s+2\right)+K(2-s)\).
Використовуючи індекс ITAE, бажаний поліном другого порядку вибирається як:\(\Delta_{des}(s)=s^{2} +1.4\omega _{n} s+\omega _{n}^{2}\).
Порівнюючи поліноміальні коефіцієнти, отримаємо два рівняння, які вирішуються для отримання:\({\omega }_n=1.76\frac{rad}{s}\) і\(K=0.54\).