3.4: Контролери зворотного зв'язку

Last updated
Save as PDF

Page ID: 32058

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Контролери зворотного зв'язку

Сигнал зворотного зв'язку швидкості часто доступний з тахометра або гіроскопа швидкості в додатках контролю положення. Сигнал може бути використаний для поліпшення реакції системи управління зворотним зв'язком.

Основна конфігурація зворотного зв'язку швидкості (рис. 3.4.1) включає постійну швидкості\(k_f\), яка множить сигнал швидкості разом зі статичним контролером\(K\), в циклі.

Функцію передачі із замкнутим циклом для конфігурації зворотного зв'язку швидкості можна отримати, застосувавши правило посилення Мейсона, спочатку визначене для графіків потоку сигналів. Для простих блок-схем правило посилення вказується так:

\[\frac{y\left(s\right)}{r\left(s\right)}=\frac{F(s)}{1-\sum L_i(s)}\]

де\(F(s)\) позначає посилення прямого шляху від вхідного вузла до вихідного вузла та\(\sum L_i(s)\) позначає суму посилення циклу.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Конфігурація зворотного зв'язку швидкості в системі управління зворотним зв'язком.

Оцінити зворотний зв'язок як контролер PD

Ефективне посилення циклу в конфігурації зворотного зв'язку випадку або швидкості зі статичним контролером обчислюється як:

\[\sum L_i\left(s\right)=-G\left(s\right)\left(k_fs+K\right)\]

Коефіцієнт посилення циклу включає функцію передачі рослин в каскаді з контролером PD, де нуль контролера знаходиться за адресою:\(s=-\frac{K}{k_f}\). Отже, конфігурація зворотного зв'язку швидкості ідентична розміщенню контролера PD в циклі.

Нехай\(G\left(s\right)=\frac{n\left(s\right)}{d\left(s\right)};\) тоді, функція передачі замкнутого циклу виходить у вигляді:

\[\frac{y\left(s\right)}{r\left(s\right)}=\frac{Kn\left(s\right)}{d\left(s\right)+\left(k_fs+K\right)n\left(s\right)},\]

Отриманий замкнутий характерний многочлен задається як:

\[\mathit{\Delta}\left(s\right)=d\left(s\right)+\left(k_fs+K\right)n\left(s\right)\]

Використовуючи прості маніпуляції з блок-схемою, конфігурація зворотного зв'язку швидкості (рис. 3.4.1) може бути еквівалентно представлена у вигляді системи управління зворотним зв'язком з контролером PD на шляху зворотного зв'язку (рис. 3.4.2).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Альтернативна структура для конфігурації зворотного зв'язку швидкості зі статичним контролером.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Передавальна функція системи маса — пружина-демпфер задається як:\(G\left(s\right)=\frac{1}{ms^2+bs+k}\). Приймаються наступні значення параметрів:\(m=1,b=2,\ and\ k=10\). Бажано покращити перехідну реакцію за допомогою контролера зворотного зв'язку швидкості.

Характеристичний поліном із замкнутим контуром для конфігурації зворотного зв'язку швидкості є:

\[\mathit{\Delta}\left(s\right)=s^2+\left(k_f+2\right)s+K+10\]

Припустимо, що потрібний характеристичний многочлен вибирається як:\({\mathit{\Delta}}_{des}\left(s\right)=\left(s^2+6s+25\right)\).

Порівнюючи поліноміальні коефіцієнти, необхідні коефіцієнти контролера отримують як:\(K=15,\ \ k_f=4\). Одинично-ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром показана на малюнку 3.4.3.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Ступінчаста реакція системи масо-пружинного демпфера з регулятором зворотного зв'язку швидкості.

Оцінити зворотний зв'язок як PID контролер

Зворотній зв'язок швидкості може бути використаний спільно з PI-контролером для ефективної реалізації ПІД-регулятора. Регулятор зворотного зв'язку швидкості з каскадним ПІД-регулятором показаний на малюнку 3.4.4.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Налаштування зворотного зв'язку з каскадним контролером PI.

Нехай каскадний контролер PI буде визначено як:\(K_{PI}\left(s\right)=K+\frac{k_i}{s}\); тоді, використовуючи правило посилення (3.4.1), ефективне посилення циклу виходить як:

\[\sum L_i\left(s\right)=-\left(K+\frac{k_i}{s}+k_fs\right)G\left(s\right)\]

Отже, використання каскадного PI контролера зі зворотним зв'язком по швидкості означає розміщення ПІД-регулятора в контурі зворотного зв'язку (рис. 3.4.5).

Припускаючи функцію перенесення рослини:\(G\left(s\right)=\frac{n\left(s\right)}{d\left(s\right)},\) функція передачі із замкнутим контуром отримується як:

\[\frac{y\left(s\right)}{r\left(s\right)}=\frac{\left(Ks+k_i\right)n\left(s\right)}{sd\left(s\right)+\left(k_fs^2+Ks+ki\right)n\left(s\right)},\]

Отриманий замкнутий характерний многочлен задається як:

\[\mathit{\Delta}\left(s\right)=sd\left(s\right)+\left(k_fs^2+Ks+k_i\right)n\left(s\right)\]

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Альтернативна структура для зворотного зв'язку з каскадним контролером PI

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Передавальна функція системи маса — пружина-демпфер задається як:\(G\left(s\right)=\frac{1}{ms^2+bs+k}\). Приймаються наступні значення параметрів:\(m=1,b=2,\ and\ k=10\). Бажано покращити перехідну, а також стаціонарну реакцію за допомогою зворотного зв'язку з каскадним контролером PI.

Характеристичний поліном із замкнутим контуром для конфігурації зворотного зв'язку швидкості з каскадним PI контролером наведено у вигляді:

\[\mathit{\Delta}\left(s\right)=s^3+\left(k_f+2\right)s^2+\left(K+10\right)s+k_i.\]

Припустимо, що потрібний замкнутий характеристичний многочлен вибирається як:\({\mathit{\Delta}}_{des}\left(s\right)=\left(s^2+10s+25\right)\left(s+5\right)\).

Потім, порівнюючи коефіцієнти поліномів, отримують посилення контролера у вигляді:\(k_f=13,\ \ K=65,\ \ and\ k_i=125\). Одинично-ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром показана на малюнку 3.4.6.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Ступінчаста реакція масово-пружинно-демпферної системи зі зворотним зв'язком швидкості та каскадними контролерами

Порівнюючи крокові відповіді в прикладах 3.4.1 та 3.4.2, ми помічаємо, що:

Зворотній зв'язок швидкості з каскадним PI контролером має більш високий (\(18\%\)) перевищення порівняно зі зворотним зв'язком зі статичним контролером (\(12\%\)).
Зворотній зв'язок швидкості з каскадним PI контролером має менший час підйому (\(0.3\,sec\)) порівняно зі зворотним зв'язком зі статичним контролером (про\(0.5\,sec\)).
Зворотній зв'язок з каскадним PI контролером не має стаціонарної помилки порівняно з (\(40\%\)) помилкою у випадку зворотного зв'язку швидкості зі статичним контролером.
Ступінчаста реакція в обох випадках осідає в о\(1.5\,sec\).