3.3: PI, PD та ПІД-контролери
- Page ID
- 32069
ПІД-контролер
ПІД-регулятор - це регулятор загального призначення, який поєднує в собі три основні режими управління, тобто пропорційний (P), похідний (D) і інтегральний (I) режими.
ПІД-регулятор у часовій області описується співвідношенням:
\[u(t)=k_{p} +k_{d} \frac{d}{dt} e(t)+k_{i} \int e(t){d}t\]
У ПІД-регулятора є функція передачі:
\[K\left(s\right)=k_p+k_ds+\frac{k_i}{s}\]
Посилення контролера для трьох основних режимів управління наведено як:\(\left\{k_p,\ k_d,\ \ k_i\right\}\). З них пропорційний термін служить статичним контролером, похідний термін допомагає прискорити реакцію системи, а інтегральний термін допомагає зменшити похибку сталого стану.
Характеристичний многочлен із замкнутим контуром
Нехай\(G(s)=\frac{n(s)}{d(s)}\); тоді характеристичний многочлен із замкнутим контуром з ПІД-регулятором у циклі задається як:
\[\Delta(s)=s\,d(s)+(k_ds^2+k_ps+k_i)\,n(s)\]
Для придушення шуму до ПІД-регулятора може бути доданий фільтр першого порядку; модифікована функція передачі контролера задається як:
\[K(s)=k_{p} +\frac{k_{i} }{s} +\frac{k_{d} s}{T_{f} s+1} \]
Фільтр додатково робить функцію передачі контролера належною і, отже, реалізованою за допомогою комбінації фільтрів низьких частот і високих частот.
Цілі проектування системи управління можуть зажадати використання лише підмножини трьох основних режимів контролера. Два загальні варіанти, пропорційно-похідний (PD) контролер і пропорційно-інтегральний (PI) контролер описані нижче.
Контролер PD
Контролер PD описується передавальною функцією:\[K(s)=k_{p} +k_{d} s=k_{d} \left(s+\frac{k_{p} }{k_{d} } \right)\]
Таким чином, контролер PD додає один нуль до функції передачі циклу. Характеристичний многочлен із замкнутим контуром задається як:
Фазовий внесок контролера PD збільшується від низьких\(0{}^\circ\) частот до\(90{}^\circ\) високих частот.
З практичних міркувань до контролера PD може бути доданий полюс з короткою постійною часом.\(T_f\) Полюс допомагає обмежити посилення петлі на високих частотах, що бажано для відхилення порушень. Модифікований контролер PD описується передавальною функцією:
\[K(s)=k_p+\frac{k_ds}{T_fs+1}\]
Модифікований контролер PD дуже схожий на контролер першого порядку фазового відведення; він аналогічно використовується для поліпшення перехідної реакції системи.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Система управління навколишнім середовищем моделюється як:\(G(s)=\frac{1}{25s+1}\). Модель має постійну часу\(25\:sec\).
Для прискорення спрацьовування контролер PD з фільтром призначений у вигляді:\(K(s)=10+\frac{s}{.05s+1}\).
Система із замкнутим циклом має ефективну постійну часу\(\tau\cong 2.5 \,sec\). Ступінчаста реакція системи із замкнутим контуром нанесена нижче.
PI контролер
Контролер PI описується передавальною функцією:\[K(s)=k_{p} +\frac{k_{i} }{s} =\frac{k_{p} (s+k_{i} /k_{p})}{s} \]
Таким чином, PI-контролер додає полюс біля початку (інтегратор) і кінцевий нуль до петлі зворотного зв'язку. Наявність інтегратора в циклі змушує похибка постійного входу йти до нуля в сталому стані; отже, PI-контролер зазвичай використовується при проектуванні сервомеханізмів.
Нуль контролера зазвичай розміщений близько до початку в комплексній s-площині. Наявність пари полюс-нуль додає системний полюс із замкнутим контуром з великою постійною часу. Нульове розташування можна відрегулювати таким чином, щоб внесок повільного режиму в загальну реакцію системи залишався невеликим.
Контролер PI-PD
Розділи PD та PI можуть бути об'єднані в контролері PI-PD як:
\[K(s)=\left(k_{p} +\frac{k_{i} }{s} \right)\left(1+k_{d} s\right)\;\; {\rm or} \;\; K(s)=\left(k_{p} +k_{d} s\right)\left(1+\frac{k_{i} }{s} \right)\]
Контролер PI-PD додає два нулі та полюс інтегратора до функції передачі петлі. Нуль від частини ПІ може розташовуватися близько до початку; нуль від частини ПД розміщується у відповідному місці для бажаного поліпшення перехідного відгуку.
Контролер PI-PD схожий на звичайний ПІД-регулятор, який описується передавальною функцією:
\[K(s)=k_{p} +k_{d} s+\frac{k_{i} }{s} =\frac{k_{d} s^{2} +k_{p} s+k_{i} }{s} \]
ПІД-регулятор надає системі покращення як перехідних, так і стаціонарних реакцій. Крім того, він забезпечує стабільність, а також надійність замкнутої системи.
Налаштування PID контролера
Налаштування ПІД-регулятора відноситься до вибору посилення контролера:\(\; \left\{k_{p} ,\; k_{d} ,k_{i} \right\}\) для досягнення бажаних цілей продуктивності. Промислові ПІД-контролери часто налаштовуються за допомогою емпіричних правил, таких як правила Циглера - Ніколаса.
У наборі інструментів системи керування MATLAB об'єкт PID створюється за допомогою команди «pid», яку потім можна налаштувати командою «pidtune». Алгоритм налаштування MATLAB PID спрямований на\(60^{\circ }\) фазовий запас, що призводить до помірного\(10\%\) перевищення.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Для невеликого двигуна постійного струму приймаються наступні значення параметрів:\(R=1\, \Omega \; ,\; L=10\, {\rm mH},\; J=0.01\, kg\cdot m^{2} ,\; b=0.1\; \frac{N\cdot s}{rad} ,\; {\rm and}\, k_{t} =k_{b} =0.05\); функція передачі двигуна постійного струму від напруги якоря до швидкості двигуна наближена як:\(G\left(s\right)=\frac{500}{\left(s+10\right)\left(s+100\right)}\).
Тюнінгований ПІД-регулятор MATLAB для двигуна задається як:
\[K\left(s\right)=3.51+0.037s+\frac{56.2}{s}\]
Налаштований ПІД-регулятор MATLAB з фільтром (PIDF) задається як:
\[K\left(s\right)=3.26+\frac{0.015s}{0.005s+1}+\frac{54.2}{s}\]
Відповідь системи із замкнутим контуром для двох контролерів (PID та PIDF) показана нижче (рис. 3.3.3). Відповідь в обох випадках показує час осідання 0,3 сек з перевищенням 7-8% і відсутністю похибки сталого стану.
