3.2: Динамічні контролери першого порядку

Динамічні контролери петлі

Динамічний контролер\(K(s)\), в контурі зворотного зв'язку - це динамічна система, яка відповідним чином обумовлює сигнал помилки,\(u(s)=K(s)e(s)\) щоб вплинути на реакцію системи із замкнутим циклом. Конфігурація системи управління зворотним зв'язком показана нижче, де\(H(s)=1\) передбачається.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Система управління зворотним зв'язком з установкою\(G(s)\)\(H(s)\), датчиком та контролером,\(K(s)\).

Для аналізу системи управління зворотним зв'язком припустимо, що установка описується\(G\left(s\right)=\frac{n\left(s\right)}{d\left(s\right)}\), а динамічний контролер описується\(K\left(s\right)=\frac{n_c\left(s\right)}{d_c\left(s\right)}\); тоді функція передачі замкнутого циклу з еталонного входу на вихід установки задається як:

\[\frac{y\left(s\right)}{r\left(s\right)}=\frac{n\left(s\right)n_c\left(s\right)}{d\left(s\right)d_c\left(s\right)+n\left(s\right)n_c\left(s\right)}.\]

Функція передачі помилок з еталонного входу на вихід компаратора задається у вигляді:

\[\frac{e\left(s\right)}{r\left(s\right)}=\frac{1}{d\left(s\right)d_c\left(s\right)+n\left(s\right)n_c\left(s\right)}.\]

Характеристичний многочлен із замкнутим контуром задається як:\(\mathit{\Delta}\left(s\right)= d\left(s\right)d_c\left(s\right)+n\left(s\right)n_c\left(s\right)\).

Динамічні контролери першого порядку

Зокрема, розглянемо динамічний контролер першого порядку, описаний передавальною функцією:

\[K\left(s\right)=K\left(\frac{s+z_c}{s+p_c}\right)\]

Контролер першого порядку додає нуль, розташований на\(-z_c\) і полюс, розташований біля\(-p_c\) функції передачі петлі:\(KGH(s)\).

Нехай\(G(s)=\frac{n(s)}{d(s)}, \; H(s)=1\); потім, характеристичний многочлен із замкнутим контуром з контролером у циклі задається як:\(\Delta(s)=d(s)(s+p_c)+n(s)(s+z_c)\).

Традиційно контролери першого порядку характеризуються як типу фазового відведення або фазового відставання, де терміни відведення та відставання відносяться до фазового внеску від контролера до фазового графіка Боде функції передачі петлі.

Нехай\(K\left(j\omega\right)=K\left(\frac{j\omega+z_c}{j\omega+p_c}\right)\); потім, внесок фазового кута контролера до функції передачі петлі задається як:

\[\angle K(j\omega )=\angle (j\omega+z_c)-\angle (j\omega+p_c)={\theta }_z-{\theta }_p\]

де\({\theta }_z\) і\({\theta }_p\) позначають кути, підведені полюсом контролера і нулем при бажаному замкнутому розташуванні полюса в комплексній площині.

Внесок фази є позитивним для контролера фазового відведення та негативним для контролера фазового затримки (див. Малюнки 3.2.2 та 3.2.3 нижче).

Фазово-свинцевий контролер

Контролер фазового відведення характеризується\(z_{c} <p_{c}\), і сприяє чистої позитивної фази до функції передачі петлі.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Контролер фазовідного виражається у вигляді:\(K\left(s\right)=\frac{s+1}{s+10}\). Вклад фази від контролера показаний нижче.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Фазовий внесок від контролера фазового свинцю першого порядку.

Контролер фазового відставання

Контролер фазового відставання характеризується\(z_{c} >p_{c}\), і сприяє чистої негативної фази до функції передачі петлі.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Контролер фазовідного виражається у вигляді:\(K\left(s\right)=\frac{s+0.1}{s+0.01}\). Вклад фази від контролера показаний нижче.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Фазовий внесок від контролера фазового затримки першого порядку.

Контролер затримки свинцю

Контролер відставання свинцю - це контролер другого порядку, який поєднує секцію відведення фази з секцією фазового відставання; таким чином він має вигляд:

\[K(s)=\frac{K(s+z_{1} )(s+z_{2} )}{(s+p_{1} )(s+p_{2} )} \]

Як приклад наведено контролер затримки свинцю як:\(K(s)=\frac{K(s+0.1)(s+10)}{(s+1)^{2} } \).

Можна відзначити, що нуль фазового відставання ставиться на частоті набагато нижче домінуючої частоти полюсів, тоді як нуль фазового відведення розміщений поблизу домінуючої частоти полюсів.

Приклад проектування контролера

Вибір посилення контролера для конструкції фазового відведення розглядається в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Модель передавальної функції для системи управління позицією наведено у вигляді:\(G\left(s\right)=\frac{1}{s\left(0.1s+1\right)}\).

Нехай контролер фазового відведення для моделі визначається за допомогою:\(K\left(s\right)=K\left(\frac{0.1s+1}{0.02s+1}\right)\).

Припускаючи\(H(s)=1\), що функція передачі циклу формується як:\(KG\left(s\right)=\frac{K}{s\left(0.0.02s+1\right)}\).

Характеристичний многочлен із замкнутим контуром формулюється як:\(\mathit{\Delta}\left(s,K\right)=s(0.02s+1)+K\).

Нехай бажаний характеристичний многочлен задається як:\({\mathit{\Delta}}_{des}\left(s\right)=0.02(s^2+50s+1000)\).

Порівнюючи коефіцієнти, отримаємо коефіцієнт посилення контролера як:\(K=20\).

Отже, динамічний контролер для системи задається як:\(K\left(s\right)=20\left(\frac{0.1s+1}{0.02s+1}\right)\).

Можна відзначити, що при проектуванні каскадних контролерів не всі місця полюсів із замкнутим контуром досяжні. Досяжні місця розташування полюсів можна знайти за допомогою техніки кореневого локусу (див. Розділ 5).