1.2: Моделі ODE першого порядку

Моделі ODE першого порядку

Електричні, механічні, теплові та рідинні системи, що містять єдиний елемент накопичення енергії, описані моделями ODE першого порядку.

Нехай\(u(t)\) позначають загальний вхід,\(y(t)\) позначають загальний вихід, і\(\tau\) позначають постійну часу; потім, загальна модель ODE першого порядку виражається як:\[\tau \frac{dy(t)}{dt} +y(t)=u(t)\]

Постійна часу\(\tau\), позначає час, коли реакція системи на постійний вхід піднімається до 63,2% від його кінцевого значення. Постійна часу вимірюється в\(\left[sec\right]\).

Приклади

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Послідовна RC мережа підключається через джерело постійної напруги,\(V_\rm s\) (рис. 1.2.1). Закон напруги Кірхгофа (KVL) використовується для моделювання поведінки ланцюга як:\(v_{R} +v_{C} =V_s\)

У зазначених вище великих літерах представляють постійні значення, а малі - величини, що змінюються в часі.

Дозвольте\(v_{C} =v_{0}\) визначити вихід схеми; потім\(v_{R} =iR=RC\frac{dv_{0} }{dt}\), отже,

\[RC\frac{dv_{0} (t)}{dt} +v_{0} (t)=V_s\]

Постійна часу RC ланцюга задається як:\(\tau = RC\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Серійний RC-ланцюг, що приводиться в дію джерелом постійної напруги.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Паралельна мережа RL підключається через джерело постійного струму,\(I_\rm s\) (рис. 1.2.2). Схема моделюється ODE першого порядку, де змінною, що цікавить, є струмом індуктивності\(i_{L}\), а закон струму Кірхгофа (KCL) застосовується на вузлі для отримання:\(i_{R} +i_{L} =I_\rm s\).

Підставивши,\(i_{R} =\frac{v}{R} =\frac{L}{R} \frac{di_{L} }{\rm dt}\) отримаємо опис ODE схеми RL як:

\[\frac{L}{R} \frac{di_{L} (t)}{dt} +i_{L} (t)=I_s\]

Константа часу ланцюга RL задається як:\(\tau = \frac{L}{R}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Паралельна схема RL, що приводиться в дію джерелом постійного струму.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Рух інерційної маси\(m\), під дією сили\(f(t)\), при наявності кінетичного тертя, представленого\(b\), регулюється другим законом руху Ньютона (рис. 1.2.3). \(v\left(t\right)\)Дозволяти представляють швидкість; потім, результуюча сила на масовий елемент:\(f-bv\). Звідси

\[m\frac{dv(t)}{dt} +bv(t)=f(t)\]

Константа часу для механічної моделі становить:\(\tau =\frac{m}{b}\), яка описує швидкість, з якою швидкість наростає у відповідь на постійне введення сили.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Рух інерційної маси з прикладеною силою під поверхневим тертям.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Модель для опалення приміщення розробляється наступним чином (рис. 1.2.4): нехай\(q_{i}\), позначають приплив тепла,\(C_{r}\) позначають теплоємність приміщення,\(\theta _{r}\) позначають температуру приміщення,\(\theta _{a}\) позначають температуру навколишнього середовища,\(R_{w}\) позначають тепловий опір, що представляє ізоляцію стін; тоді рівняння теплоенергетичного балансу задається у вигляді:

\[C_{r} \frac{d\theta_{r} }{dt} +\frac{\theta_{r} -\theta_{a} }{R_{w} } =q_{i}\]

У плані температурного перепаду\(\Delta \theta =\theta _{r} -\theta _{a}\) керівним ОДА є:

\[R_{w} C_{r} \frac{ d\Delta \theta }{ dt} +\Delta \theta =R_{w} q_{i}\]

Порівнюючи з загальною моделлю ODE першого порядку\(\tau \frac{\rm dy}{\rm dt} +y=u\), теплова постійна часу описується як:\(\tau =R_{w} C_{r}\). Далі вимірюється температура в\([{}^\circ C]\), вимірюється тепловий потік\([W]\), вимірюється теплова ємність в\(\left[\frac{J}{{}^\circ C}\right]\), а тепловий опір вимірюється в\(\left[\frac{{}^\circ C}{W}\right]\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Модель опалення приміщення з джерелом тепла і відтоком через стіни.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Циліндричний резервуар заповнюється нестисливою рідиною, що подається з вхідного отвору з керованим виходом через гідравлічний клапан внизу (рис. 1.2.5).

Нехай\(P\) позначають гідравлічний тиск,\(A\) позначають площу резервуара,\(h\) позначають висоту,\(V\) позначають обсяг,\(\rho\) позначають щільність маси,\(R_{l}\) позначають опір клапана потоку рідини,\(q_{ in} ,\; q_{out}\) позначають об'ємні витрати, і\(g\) позначають гравітаційну постійну; потім, базовий тиск в резервуарі отримують як:\[P=P_{atm} +\rho gh=P_{atm} +\frac{\rho g}{A} V\]

Ємність резервуара визначається як:\(C_{h} =\frac{dV}{dP} =\frac{A}{\rho g}\); тоді керівне рівняння гідравлічного потоку через резервуар задається як:\[C_{h} \frac{dP}{dt} =q_{ in} -\frac{P-P_{atm} }{R_{l} }\]

З точки зору різниці тисків рівняння записується так:\[R_{l} C_{h} \frac{d\Delta P}{ dt} +\Delta P=R_{l} q_{in} .\] Порівнюючи з загальною моделлю ODE першого порядку\(\tau \frac{dy}{dt} +y=u\), гідравлічна постійна часу описується як:\(\tau =R_{w} C_{r}\).

Далі, підставивши:\(\mathit{\Delta}P=\rho gh\) і\(C_h=\frac{A}{\rho g}\), ми можемо еквівалентно висловити ОДУ з точки зору висоти рідини\(h\left(t\right)\), в резервуарі як:

\[AR_l\frac{dh}{dt}+\rho gh=R_lq_{in}\]

У вищесказаному вимірюється гідравлічний тиск\(\left[\frac{N}{m^2}\right]\), вимірюється об'ємний потік\(\left[\frac{m^3}{s}\right]\), вимірюється гідравлічна ємність\(\left[\frac{m^5}{N}\right]\), а опір потоку вимірюється в\(\left[\frac{Ns}{m^5}\right]\).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Гідравлічний резервуар з надходженням і витіканням через нижній клапан.

Розв'язування моделі ODE першого порядку

Розглянемо відповідь моделі ODE першого порядку:\(\tau \frac{dy\left(t\right)}{dt}+y\left(t\right)=u(t)\) на функцію примусового кроку.

Застосовуючи перетворення Лапласа з початковими умовами:\(y\left(0\right)=y_0\), отримаємо алгебраїчне рівняння:

\[\tau \left(sy\left(s\right)-y_0\right)+y(s)=u(s)\]

Ми припускаємо одиничний крок входу\(u\left(t\right)\), де\(u\left(s\right)=\frac{1}{s}\); потім, вихід вирішується як:

\[y\left(s\right)=\frac{1}{s\left(\tau s+1\right)}+\frac{\tau y_0}{\tau s+1}\]

Ми використовуємо часткове розширення дробу (PFE), щоб висловити вихід як:

\[y\left(s\right)=\frac{1}{s}-\frac{\tau }{\tau s+1}+\frac{\tau y_0}{\tau s+1}\]

Використовуючи обернене перетворення Лапласа, ми отримуємо розв'язку ODE у часовій області як:

\[y\left(t\right)=1+\left(y_0-1\right)e^{-t/\tau },\ \ t\ge 0\]

Нехай стале значення вихідних даних позначається як:\(y_{\infty }={\mathop{lim}_{t\to \infty } y(t)\ }\); тоді крокова відповідь загальної моделі ODE першого порядку виражається у вигляді:

\[y\left(t\right)=\left[y_{\infty }+\left(y_0-y_{\infty }\right)e^{-t/\tau }\right]u\left(t\right)\]

У\(u\left(t\right)\) вищесказаному позначає одиничну крокову функцію, яка використовується для показу причинно-наслідкового зв'язку, тобто відповідь дійсна для\(t\ge 0\).

Функція передачі

Опис передавальної функції динамічної системи отримано з моделі ODE шляхом застосування перетворення Лапласа з урахуванням нульових початкових умов. Передавальна функція описує співвідношення вхід-вихід у вигляді раціональної функції, тобто відношення двох поліномів у змінній Лапласа\(s\).

Модель ODE першого порядку з входом\(u(t)\) і виходом\(y(t)\) описується як:\(\tau \frac{\rm dy(t)}{\rm dt} +y(t)=u(t)\).

Для моделі першого порядку застосування перетворення Лапласа з нульовими початковими умовами дає:\((\tau s+1)y(s)=u(s)\).

Отримана функція передачі вхід-виводу задається як:

\[\frac{y(s)}{u(s)} =\frac{1}{\tau s+1}\]

Вихідна відповідь

Для нульових\(y_0=0\) початкових умов висновок виражається у вигляді:

\[y\left(t\right)=\left(1-e^{-t/\tau }\right)u\left(t\right)\]

Відповідь системи для\(\tau =1\,sec\) побудована на малюнку 1.5.

Вихідні значення у вибраний час,\(t=k\tau ,\ \ k=0,1,\dots\) зібрані в наступній таблиці. За умовністю, вихід вважається, що досяг сталого стану, коли він досягає 98% від його кінцевого значення. Значить, час осідання системи виражається як:\(t_s=4\tau\).

Таблиця 1.1: Крок відповіді моделі першого порядку у вибраних екземплярах часу.

Час	Вихідне значення
0	\(y\left(0\right)=0\)
1\(\tau\)	\(1-e^{-1}\cong 0.632\)
2\(\tau\)	\(1-e^{-2}\cong 0.865\)
3\(\tau\)	\(1-e^{-3}\cong 0.950\)
4\(\tau\)	\(1-e^{-4}\cong 0.982\)
5\(\tau\)	\(1-e^{-5}\cong 0.993\)

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Відповідь моделі ODE першого порядку (\(\tau=1 sec\)).

pkg load control
s=tf('s');
Gs=1/(s+1);
step(Gs), hold
plot(1:5,1-exp(-(1:5)),'x')