1.5: Використання моделей

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33913

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розділ Зміст

Моделі в цілому
Детерміновані моделі
Вправи

Моделі в цілому

Інженери-промисловці, та й інші інженери, часто хочуть проводити експерименти на реальних системах, але такі експерименти можуть бути важкими. Якщо ІП хоче спробувати новий макет для виробничої системи, переміщення обладнання, меблів та офісів буде важким і трудомістким. Навіть спроба нової процедури може порушити виробничу систему. Тому ІП створив би модель системи, як правило, математичну модель.

На наступному малюнку показано, як використовуються моделі.

Діаграма показує взаємозв'язок між реальними системами і моделями. Моделі представляють реальні системи світу і системи реального світу, в свою чергу, інтерпретують результати моделі.

Малюнок 5.1: Діаграма використання та розробки моделі

Давайте розглянемо кожен фрагмент схеми. Перше коло має маркування «система реального світу». Проведення лінії навколо якоїсь системи передбачає прийняття рішення про те, які частини знаходяться у вашій системі, а які знаходяться в навколишньому середовищі. Наприклад, щоб вивчити прибуття та обслуговування клієнтів у банку, ви, ймовірно, включили б касирів, вікно під'їзду та банкомат, але не включаєте дороги та систему руху, якими люди користуються, щоб дістатися до банку.

Друге коло має маркування « модель» . Деякі типи інженерів використовують фізичні моделі. Наприклад, інженер-будівельник може розмістити масштабну модель будівлі на тремтячому столі, щоб передбачити, як будівля буде реагувати на землетрус. ІЕ, як правило, використовують математичні моделі, виражені в рівняннях або іноді в комп'ютерному коді. Наприклад, ІП може використовувати математику теорії черг для створення моделі банку.

Верхня стрілка з написом « представлення » нагадує нам, що модель представляє реальну систему світу, але лише відповідні частини системи. Наша модель банку повинна включати в себе інформацію про час між прибуттям клієнтів і час обслуговування кожного клієнта (обидва ці часи відрізняються від клієнта до клієнта), але модель не обов'язково повинна включати описи того, який колір одягу носять клієнти. Залежно від мети нашої моделі вона може включати інформацію про інвалідність клієнта, щоб ми могли передбачити, скільки касирних вікон повинно бути доступним для людей на інвалідних візках. Модель черги M/M/1 описує час між прибуттями як експоненціальна випадкова величина з середнім 1 клієнт/λ (скажімо, 6 хвилин) і час обслуговування як експоненціальна випадкова величина з середнім 1 клієнт/μ (скажімо, 4 хвилини).

Модель ніколи не буває точно правильною, завжди слід пам'ятати фразу « це лише модель» . Наприклад, модель черги M/M/1 передбачає, що клієнти прибувають із середньою швидкістю 1 клієнт кожні 6 хвилин, або 10 клієнтів на годину. Власне, швидкість прибуття, ймовірно, змінюється протягом дня.

IE створює модель для того, щоб витягти інформацію; цикл з моделі до себе позначається як « аналіз» . IE використовують деякі моделі досить часто, і IE можуть використовувати математичні результати, які довели інші. Наприклад, для M/M/1 модель черги може бути використана для обчислення середньої кількості людей в черзі.

Рядок, позначений «інтерпретація», - це місце, де IE інтерпретує математичні результати моделі назад до системи реального світу. Тепер IE повинен знову запам'ятати «це лише модель», тому прогнози можуть бути не ідеальними. Оскільки модель черги M/M/1 передбачає постійну середню швидкість прибуття, результати, що використовують λ = 10 клієнтів на годину, можуть бути застосовані лише до періоду дня з такою швидкістю прибуття. Для обідньої години може знадобитися окрема модель, яка, ймовірно, більш зайнята.

Детерміновані моделі

ІЕ відповідають за ефективність, в тому числі за ефективне використання часу і ресурсів. Ви вже знаєте з класу обчислення, як знайти максимум або мінімум функції, а обчислення - це один інструмент, який використовують IES. Однак IES часто потрібно максимізувати або мінімізувати лінійну функцію, що звучить легко, але знайти рішення непросто, коли є багато змінних, а також деякі обмеження. Нижче наведено приклад такої проблеми.

Молочна худоба має різні потреби в поживних речовині, такі як білок, кальцій та калій, які можуть задовольнятися різними видами кормів, такими як люцерна, мамалига та кукурудзяні качани. Молочний фермер хоче змішати корм для молочних корів, який буде відповідати потребам поживних речовин при мінімальних витратах. Нижче наведено дуже спрощений варіант проблеми дієти, яка застосовується до годівлі молочної худоби. У наступній таблиці наведено вміст поживних речовин (білка та калію) окремих кормів (люцерна, мамалига, качани кукурудзи), а також потреба в поживних речовині в білку та калії (у відсотках від корму) та вартість люцерни, мамалиги та качанів кукурудзи (у $/т).

Малюнок 5.2: Дані про проблему подачі

Наприклад, люцерна - це 28% білка, 0,26% калію, і коштує 160 доларів за тонну. Люцерна є хорошим джерелом білка і середнім джерелом калію, але коштує дорого. Мамалига є середнім джерелом білка і хорошим джерелом калію, і коштує вона дешевше люцерни. Кукурудзяні качани не є хорошим джерелом ні білка, ні калію, але оскільки вони в іншому випадку є відходами, вони безкоштовні. З деякою думкою, ви можете побачити, що оптимальної суміші, ймовірно, знадобиться люцерна для задоволення потреби в білку, мамалига для задоволення потреби в калії та кукурудзяні качани, щоб знизити вартість.

Ми хочемо визначити, як змішувати корм, тобто якої фракції повинні бути люцерна (А), мамалига (Н) і кукурудзяні качани (С). Ми будемо використовувати лінійне програмування для вирішення цієї проблеми, виражаючи ситуацію як мінімізацію лінійної цільової функції (вартості) з урахуванням лінійних обмежень (білка і калію). Оскільки одиниці інгредієнта представляють відсотки цілого, ми також знаємо, що A+H+C = 1.

Ось формулювання лінійного програмування:

Лінійне програмування формулювання задачі подачі показано на попередньому малюнку. Мета - мінімізувати витрати. Існує чотири обмеження, одне для потреби в білку, одне для потреби в калії, одне, щоб показати загальні відсотки, повинні дорівнювати одному, а останнє, щоб показати, що жоден з неймовірних відсотків не може бути нульовим.

Малюнок 5.3: Лінійне програмування формулювання задачі подачі

Дана модель є прикладом лінійної моделі програмування. Ми можемо вирішити це математично. Існують також комп'ютерні програми, які можуть допомогти нам вирішити цей тип проблеми. Excel є однією з таких програм, хоча є і кращі інструменти для вирішення моделей LP.

Ця проблема є прикладом того, як промислові інженери використовують математику для підвищення ефективності. У цьому випадку ми допомогли фермеру ефективно використовувати свої ресурси, щоб зберегти здоров'я великої рогатої худоби, мінімізуючи витрати на корми. Ця модель є прикладом моделі LP, або, більш широко, прикладом детермінованої моделі оптимізації . « Детермінований » означає, що модель не має ймовірностей, а « оптимізація » означає, що ми знайшли оптимальну, або найкраще, рішення.

Модель LP - це лише один тип детермінованої оптимізаційної моделі. Власне, в цьому прикладі ми припустили, що можемо купити будь-яку реальну кількість інгредієнтів. Якби потрібно було купувати тільки в цілих кількостях, LP не була б відповідною моделлю. Модель, де змінні рішення повинні бути цілими числами, називається цілою моделлю програмування (IP).

Інженери промисловості повинні вміти розпізнавати ситуації, коли може бути застосована детермінована модель, створювати відповідну модель та вирішувати модель за допомогою відповідного інструменту. У наведеному нижче списку описані ситуації, коли детермінована модель оптимізації може бути корисною.

Суміш продуктів — визначити, скільки кожного виду продукції потрібно зробити з урахуванням обмежень на наявні ресурси.
Планування виробництва - визначити, скільки кожного виду продукції виробляти в різні періоди часу, щоб задовольнити зазначені обсяги виробництва в певний час.
Змішування - визначити найкращу суміш входів для використання, щоб мінімізувати витрати на виробництво суміші. Нашим прикладом подачі була модель змішування.
Різання запасів - визначити найкращий спосіб скоротити ресурсний матеріал, щоб максимізувати прибуток. Наприклад, колоду можна розрізати на пиломатеріали різних розмірів, які можуть продаватися за різні суми.
Кадровий склад - визначити найкращий спосіб призначити людей на робочі місця, щоб максимізувати їх переваги або максимізувати продуктивність, виходячи з їх здібностей на різних робочих місцях.
Транспортування — визначити найкращий спосіб маршрутизації ресурсів через транспортну мережу, щоб мінімізувати витрати, одночасно доставляючи відповідну кількість ресурсів до кожного місця.
Завдання — визначити найкращий спосіб призначення ресурсів для завдань.
Завдання комівояжера — визначити найкращий маршрут серед ряду точок, які відвідують кожну точку хоча б один раз.

Вправи

uta.pressbooks.pub/промислова інженерія інтро/p=43