Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

Центроїди та площі моментів інерції для 2D фігур

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    31110

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Показана форма з областю та розташуванням центроїда Прямокутна площа Моменти інерції Моменти інерції полярної області

    Прямокутник

    Прямокутник довжиною b та висотою h у першому квадранті декартової координатної площини з осями, позначеними x' та y', з лівим нижнім кутом біля початку. Центроїд розташований в координатах x = b/2, y = h/2. Інша система координат розташована з її початком на центроїді, з осями, позначеними x і y.

    \(Area = bh\)

    \ begin {вирівнювати*} I_x &=\ гідророзриву {1} {12} b h ^ 3\\ [4pt] I_y &=\ гідророзриву {1} {12} b^3 h\ end {align*}

    		 \( J_z = \dfrac{1}{12} bh(b^2 + h^2) \)

    Правий трикутник

    Перший квадрант декартової координатної площини з осями, позначеними x' та y'. Прямокутний трикутник з прямим кутом біля початку цієї площини лежить його основою довжини b уздовж осі x'-і висотою довжини h вздовж осі y'-. Центроїд трикутника, розташований h/3 одиниць вище і b/3 одиниць праворуч від цього початку, позначається C і утворює початок для другої декартової системи координат з осями, позначеними x і y.

    \(Area = \dfrac{1}{2} bh\)

    \ begin {вирівнювати*} I_x &=\ гідророзриву {1} {36} bh^3\\ [4pt] I_y &=\ гідророзриву {1} {36} b^3 h\ end {align*}

    \ begin {вирівнювати*} I_ {x'} &=\ розриву {1} {12} bh^3\\ [4pt] I_ {y'} &=\ розриву {1} {12} b^3 h\ end {вирівнювати*}

    Трикутник

    Перший квадрант декартової координатної площини з осями, позначеними x' та y'. Одна вершина трикутника лежить у початку цієї площини, причому одна сторона трикутника, довжиною b, що лежить уздовж осі x'-. Вершина, де перетинаються дві інші сторони фігури, розташована h одиниць вище осі x'-. Центроїд трикутника розташований h/3 одиниці вище і b/2 одиниці праворуч від початку. Центроїд, позначений C, утворює початок іншої декартової системи координат з осями, позначеними x і y.

    \(Area = \dfrac{1}{2} bh\)

    \(I_x = \dfrac{1}{36} bh^3\)

    \(I_{x'} = \dfrac{1}{12} bh^3\)

    Коло

    Круглий диск радіусом r відцентровано на початку декартової координатної площини з осями, позначеними x та y. Центроїд окружності C збігається з цим початком.

    \(Area = \pi r^2\)

    \ почати {вирівнювати*} I_x &=\ розриву {\ pi} {4} r^4\\ [4pt] I_y &=\ розриву {\ pi} {4} r^4\ end {align*}

    		 \(J_z = \dfrac{\pi}{2} r^4\)

    Кругова кільцеве кільце

    Диск радіусу r_o відцентровано на початку декартової координатної площини з осями, позначеними x та y. З цього більшого диска видаляється диск меншого радіуса r_i, також відцентрований у початку координат. Центроїд форми, маркований C, збігається з цим походженням.

    \(Area = \pi (r_o^2 - r_i^2) \)

    \ begin {вирівнювати*} I_x &=\ розриву {\ pi} {4} (r_o^4 - r_i^4)\\ [4pt] I_y &=\ розриву {\ pi} {4} (r_o^4 - r_i^4)\ end {align*}

    		 \(J_z = \dfrac{\pi}{2} (r_o^4 - r_i^4)\)

    Півколо

    Декартова координатна площина з осями, позначеною x' та y, має прямий край півкола радіусом r, що лежить вздовж осі x, зосередженого на початку координат. Півколо тягнеться вгору по позитивній осі y. Центроїд C півкола лежить на осі y, відстань 4r/ (3 pi) одиниць вище початку. Точка C утворює початок іншої декартової системи координат, з віссю x, що тягнеться вправо, а вісь y поділена з існуючою віссю y.

    \(Area = \dfrac{\pi}{2} r^2\)

    \(I_x = \left( \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{8}{9 \pi} \right) r^4 \)

    \(I_y = \dfrac{\pi}{8} r^4\)

    \(I_{x'} = \dfrac{\pi}{8} r^4\)

    		 \(J_z = \left( \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{8}{9 \pi} \right) r^4\)

    Чверть коло

    Перший квадрант декартової координатної площини з осями, позначеними x' та y'. Дві сторони чверті кола радіусом r, зосереджені біля початку, лежать уздовж цих осей. Центроїд C чверті кола знаходиться на відстані 4r/ (3 pi) одиниць вище і 4r/ (3 pi) одиниць праворуч від початку. Точка C утворює початок іншої декартової системи координат з осями, позначеними x та y.

    \(Area = \dfrac{\pi}{4} r^2\)

    \ begin {align*} I_x &=\ ліворуч (\ frac {\ pi} {16} -\ frac {4} {9\ пі}\ праворуч) r^4\\ [4pt] I_y &=\ ліворуч (\ frac {\ pi} {16} -\ frac {4} {9\ пі}\ праворуч) r^4\ end {align*}

    \ begin {вирівнювати*} I_ {x'} &=\ розриву {\ pi} {16} r^4\ [4pt] I_ {y'} &=\ розриву {\ pi} {16} r^4\ end {вирівнювати*}

    		 \( J_z = \left( \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{8}{9 \pi} \right) r^4 \)

    Еліпс

    Еліпс лежить своїм центроїдом C у початку декартової координатної площини з осями, позначеними x та y, а його піввелика вісь довжиною a тягнеться вздовж осі x, а його півмала вісь довжини тягнеться вздовж осі y.

    \(Area = \pi ab\)

    \ begin {вирівнювати*} I_x &=\ розриву {\ pi} {4} ab^3\\ [4pt] I_y &=\ розриву {\ pi} {4} a^3 b\ end {align*}