17.8: Додаток 2 Домашні завдання

Last updated
Save as PDF

Page ID: 31173

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Форма обмежена ліворуч\(y\) -віссю, знизу\(x\) - віссю, а вздовж її решти - функцією\(y = - \dfrac{1}{2} x^2 + 8\). Визначте\(x\) і\(y\) координати центроїда цієї форми за допомогою інтеграції. (Підказка: для\(\bar{y}\), працюйте зверху вниз, щоб полегшити математику.)

Перший квадрант стандартної декартової координатної площини, з усіма одиницями в сантиметрах. Форма в цьому квадранті обмежена зліва віссю y, яку вона перетинає в точці (0,8); знизу віссю x, яку вона перетинає в точці (4,0); а на решті стороні функцією y = -1/2 x^2 + 8. — Малюнок\(\PageIndex{1}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{1}\). Форма в першому квадранті декартової координатної площини обмежена перетином функції\(y = - \dfrac{1}{2} x^2 + 8\) з\(y\) осями\(x\) - і -.

Рішення:: \(\bar{x} = 1.5 \ cm, \, \bar{y} = 3.2 \ cm\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Визначте\(y\) координати\(x\) та координати центроїда форми, наведеної нижче, за допомогою інтеграції.

Перший квадрант стандартної декартової координатної площини, з усіма одиницями в дюймах. У цьому квадранті лежить трапеція з однією основою, що проходить уздовж осі х, і однією стороною, що проходить уздовж осі Y. Вершини трапеції розташовані в точках (0,0), (8,0), (0,10) та (3,10). — Малюнок\(\PageIndex{2}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{2}\). Трапеція лежить в першому квадранті декартової координатної площини, причому дві сторони лежать уздовж осей.

Рішення:: \(\bar{x} = 2.94 \ in, \, \bar{y} = 4.24 \ in.\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Резервуар для води, як показано нижче, приймає форму перевернутого, усіченого конуса. Діаметр основи становить 4 фути, діаметр верху - 8 футів, а висота бака - 4 фути. Використовуючи інтеграцію, визначте висоту центру маси заповненого резервуара. (Припустимо, що бак заповнений водою, а стінки мають незначну масу.)

Перевернутий круглий конус має широку вершину діаметром 8 футів. Він усічений, щоб мати більш вузьку основу діаметром 4 фути, розташовану на 4 фути нижче вершини. Тривимірна декартова координатна площина має свій початок, розташований у центрі основи конуса, при цьому вісь x лежить горизонтально в площині сторінки, вісь y спрямована на сторінку, а вісь z лежить вертикально в площині сторінки. — Малюнок\(\PageIndex{3}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{3}\). Резервуар для води у формі перевернутого усіченого круглого конуса, з широким верхом і більш вузьким підставою.

Рішення:: \(z_c = 2.43 \ ft\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Використовуйте метод композитних деталей для визначення центроїда форми, наведеної нижче.

Перший квадрант стандартної декартової координатної площини, з усіма одиницями в дюймах. У цьому квадранті лежить форма, складена з двох прилеглих трапецій. Одна трапеція має початок, розташований у нижньому лівому куті, і містить основи, паралельні осі Y, 2 дюйми один від одного; ліва основа довжиною 4 дюйми, а права основа - 2 дюйми завдовжки. Друга трапеція має вертикальну ліву сторону висотою 0,5 дюйма, розташовану на х = 2; підстави трапеції паралельні осі х. Нижня основа має довжину 2 дюйми і лежить уздовж осі x, а вища основа - 1,5 дюйма в довжину. — Малюнок\(\PageIndex{4}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{4}\). Складена форма в першому квадранті декартової координатної площини, з двома сторонами, що лежать уздовж осей, складається з двох трапецій, або двох прямокутників і двох прямих трикутників.

Рішення:: \(x_c = 1.14 \ in, \, y_c = 1.39 \ in\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Плаваюча платформа складається з квадратного шматка фанери вагою 50 фунтів з незначною товщиною зверху прямокутної призми з пінопластового матеріалу вагою 100 фунтів, як показано нижче. Виходячи з цієї інформації, яке розташування центру мас для плавучої платформи?

Перший октант декартової системи координат з віссю z, що вказує на екран, вісь x, що лежить горизонтально в площині екрану, і вісь y, що лежить вертикально в площині екрану. Прямокутна призма в цьому октанті, з її основою в xz-площині проти початку, має довжину 8 футів (вимірюється паралельно осі х), глибину 4 фути (вимірюється паралельно осі z) і висоту 2 фути (вимірюється паралельно осі y). Плоска квадратна пластина 4 фути на 4 фути лежить на вершині призми проти її лівого краю. — Малюнок\(\PageIndex{5}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{5}\). Пінопластова прямокутна призма з половиною її верхньої грані покрита фанерним квадратом лежить в першому октанті декартової системи координат.

Рішення:: \(x_c = 3.33 \ ft, \, y_c = 1.33 \ ft, \, z_c = 2 \ ft\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Використовуйте метод інтеграції, щоб знайти моменти інерції для форми, наведеної нижче...

Про\(x\) -осі через центроїд.
Про\(y\) -осі через центроїд.

Рівнобедрений трикутник має горизонтальну основу 3 см і вершину на 9 см нижче середини цієї основи. Його центр маси розташований на 3 см нижче середини його підстави. — Малюнок\(\PageIndex{6}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{6}\). Рівнобедрений вниз трикутник має горизонтальну основу і центр маси на своїй лінії симетрії.

Рішення:

\(I_{xx} = 6.075 * 10^{-7} \ m^4\)

\(I_{yy} = 5.0625 * 10^{-8} \ m^4\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Використовуючи метод інтеграції, щоб знайти полярний момент інерції для півкола, показаного нижче, близько точки О.

Півколо радіусом 6 дюймів лежить плоскою стороною вздовж осі x декартової координатної площини. Середина плоскої сторони розташована біля початку O, а півколо тягнеться вгору в позитивному напрямку y. — Малюнок\(\PageIndex{7}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{7}\). Півколо лежить прямим краєм, центрованим на\(x\) -осі декартової координатної площини, з початком О.

Рішення:: \(J_{zz} = 1017.9 \ in^4\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Пластиковий брус має квадратний перетин з напівкруглими вирізами зверху і знизу, як показано нижче. Що таке площа моменту інерції поперечного перерізу балки навколо\(y\) осей\(x\) і через центральну точку?

Квадрат має сторони довжиною 4 дюйми. Верхня і нижня сторони квадрата отримали по центру напівкруглі вирізи радіусом 1,5 дюйма. Центроїд форми є початком для декартової координатної площини стандартної орієнтації. — Малюнок\(\PageIndex{8}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{8}\). Поперечний переріз бруса складається з квадрата з напівкруглими вирізами, зосередженими по верхній і нижній сторонам.

Рішення:: \(I_{xx} = 7.08 \ in^4, \, I_{yy} = 17.36 \ in^4\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Шматок кутової сталі має поперечний переріз товщиною 1 см і має довжину по 6 см з кожного боку, як показано нижче. Які бувають\(x\) і\(y\) площі моментів інерції через центроїд поперечного перерізу?

L-подібна форма складається з двох прямокутників розміром 6 см на 1 см. Один з таких прямокутників горизонтальний. Інший прямокутник вертикальний, його лівий край збігається з лівим краєм горизонтального прямокутника, а його нижній край збігається з нижнім краєм горизонтального прямокутника. — Малюнок\(\PageIndex{9}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{9}\). Поперечний переріз деталі складається з форми L, що складається з двох прямокутників однакового розміру.

Рішення:: \(I_{xx} = I_{yy} = 35.462 \ cm^4 = 3.546 * 10^{-7} \ m^4\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Маятник в античному годиннику складається з латунного диска масою 0,25 кг і діаметром 6 см на кінці тонкого дерев'яного стрижня масою 0,1 кг. Визначте момент інерції маси маятника про верхівку стрижня.

Маятник представлений у вигляді вертикального дерев'яного стрижня довжиною 24 см, який утримує латунний диск діаметром 6 см на його нижньому кінці. — Малюнок\(\PageIndex{10}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{10}\). Маятник годинника представлений у вигляді вертикального дерев'яного стрижня з латунним диском, прикріпленим до його нижнього краю.

Рішення:: \(I_{zz} = 0.02026 \ kg \ m^2\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Космічний телескоп може бути наближений як 600-кг циліндр з 4-метровим діаметром і 4-метровою висотою, прикріпленим до двох 100-кг сонячних панелей, як показано нижче. Який приблизний момент інерції маси для космічного телескопа навколо\(y\) осі показаний?

Центральна вісь вертикального циліндра діаметром 4 метри і висотою 4 метри виступає в якості осі у системи. Два горизонтальних 5-метрових стрижня в площині екрану простягаються з протилежних сторін зовнішності циліндра, на півдорозі по його висоті. Вільний кінець кожного стрижня прикріплений до середньої точки одного довшого краю сонячної панелі, з горизонтальною довжиною 3 метри і глибиною 5 метрів (збирається в/з сторінки). — Малюнок\(\PageIndex{11}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{11}\). Космічний телескоп представлений у вигляді вертикального циліндра з двома горизонтальними стрижнями, що простягаються від середини по висоті циліндра, кожен з яких підтримує сонячну панель.

Рішення:: \(I_{yy} = 10,216.7 \ kg \ m^2\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Маховик має оригінальну вагу 15 фунтів і діаметр 6 дюймів. Щоб зменшити вагу, у маховику просвердлюють чотири отвори діаметром два дюйма, кожне залишаючи півдюйма до зовнішнього краю, як показано нижче. Яким був початковий момент полярної маси про центральну точку? Припускаючи рівномірну товщину, який новий момент інерції маси після свердління в отворах? (Підказка: отвори вважаються від'ємною масою в розрахунках моменту маси.)

Круглий диск діаметром 6 дюймів містить 4 кругові отвори, просвердлені в радіально симетричному малюнку навколо центральної точки. Кожен отвір має діаметр 2 дюйми, а крайня точка кожного отвору - відстань 0,5 дюйма від краю диска. — Малюнок\(\PageIndex{12}\): діаграма проблеми для вправи\(\PageIndex{12}\). Маховик складається з круглого диска з чотирма круговими отворами, просвердленими радіально симетричним малюнком навколо його центральної точки.

Рішення:

\(J_{without holes} = 0.01456 \ slug \ ft^2\)

\(J_{with holes} = 0.01060 \ slug \ ft^2\)