17.7: Моменти інерції через композитні деталі та теорема паралельної осі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 31182

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Як альтернатива інтеграції, як площа, так і масові моменти інерції можна обчислити методом композитних деталей, подібно до того, що ми робили з центроїдами. У цьому методі ми розбиваємо складну форму на прості частини, шукаємо моменти інерції для цих частин в таблиці, відрегулюємо моменти інерції для положення і, нарешті, додамо скориговані значення разом, щоб знайти загальний момент інерції. Цей метод відомий як метод композитних деталей.

Ключовою частиною цього процесу, який не був присутній в центроїдних розрахунках, є коригування положення. Як обговорювалося на попередніх сторінках, площа і маса моментів інерції залежать від обраної осі обертання. Моменти інерції для частин тіла можуть додаватися тільки тоді, коли вони взяті приблизно на одну і ту ж вісь. Однак моменти інерції в таблиці, як правило, перераховані відносно центроїда цієї форми. Оскільки кожна частина має свою індивідуальну координату центроїда, ми не можемо просто додати ці числа. Ми будемо використовувати те, що називається теоремою паралельної осі, щоб відрегулювати моменти інерції так, щоб всі вони були взяті про якусь стандартну вісь або точку. Після того, як моменти інерції регулюються теоремою паралельної осі, ми можемо скласти їх разом за допомогою методу композитних деталей.

Теорема про паралельну вісь

Коли ми обчислили площу та масові моменти інерції за допомогою інтеграції, одне з перших речей, які нам довелося зробити, - це вибрати точку або вісь, про яку ми збиралися взяти момент інерції. Потім ми виміряли всі відстані від цієї точки або осі, де відстані були моментні плечі в наших інтегралах моменту. Оскільки центроїд фігури є геометричним центром області або об'єму, середня відстань від центроїда до будь-якої однієї точки тіла мінімальна. Якщо ми виберемо іншу точку або вісь, щоб взяти момент інерції близько, то в середньому всі відстані в нашому інтегралі моменту будуть трохи більше. Зокрема, чим далі ми рухаємося від центроїда, тим більшими стають середні відстані.

Коли момент інерції диска обчислюється щодо його центроїда, моментний плеч, який використовується в цій інтеграції, може варіюватися від 0 до R (де R - загальний радіус диска). Коли момент інерції диска обчислюється близько точки на одному ребрі, моментний важіль, який використовується в цій інтеграції, може коливатися від 0 до 2R. — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Відстані, що використовуються в наших інтегралах моменту, залежать від обраної точки або осі. Ці відстані будуть мінімальними у центроїда і будуть збільшуватися в міру просування далі від центроїда.

Хоча це ускладнює наш аналіз, приємним є те, що зміна моменту інерції передбачувана. Це завжди буде мінімум, коли ми візьмемо момент інерції щодо центроїда, або осі, що проходить через центроїд. Цей мінімум, який ми назвемо\(I_C\), є значенням, яке ми будемо шукати в нашій таблиці моменту інерції. З цього мінімального або нескоригованого значення ми можемо знайти момент інерції значення про будь-яку точку,\(I_P\) додавши коефіцієнт коригування, рівний відстані площі часу в квадраті для площі моментів інерції, або відстань часу маси в квадраті для масових моментів інерції.

\[ I_{xxP} = I_{xxC} + A * r^2 \]

\[ I_{xxP} = I_{xxC} + m * r^2 \]

Цей процес коригування з рівняннями вище є теоремою паралельної осі. Терміни площі або маси просто представляють площу або масу частини, на яку ви дивитеся, тоді як відстань (\(r\)) являє собою відстань, на яку ми рухаємо вісь, навколо якої ми приймаємо момент інерції. Це може бути відстань по вертикалі, відстань по горизонталі або діагональ в залежності від осі, про яку береться момент інерції.

Прямокутник має xy-систему координат, зосереджену на його центроїді, причому походження цієї системи позначено C. Інша xy-система координат, з тією ж орієнтацією і початком, позначеною P, розташована на деякій відстані нижче прямокутника з віссю y вертикально вирівняною з лівою стороною rectangle. r_x представляє відстань по вертикалі між осями x системи координат C і системою координат P. r_y представляє горизонтальну відстань між осями y системи координат C і системою координат P. Вісь z не відображається, але можна припустити, що вона вказує безпосередньо з екрану від відповідних джерел; r_z представляє діагональну відстань між точками C і P або відстань між осями z цих систем координат. — Малюнок\(\PageIndex{2}\): Відстань (\(r\)) в теоремі паралельної осі представляє відстань, яку ми рухаємо вісь, про яку ми приймаємо момент інерції.

Скажімо, ми намагаємося знайти моменти інерції прямокутника над точкою\(P\). Ми почнемо з погляду вгору\(I_{xx}\)\(I_{yy}\), і\(J_{zz}\) про центроїд прямокутника (\(C\)) у таблиці моменту інерції. Тоді ми б додали на площі час-відстані квадрат термін до кожного, щоб знайти скориговані моменти інерції про\(P\). Відстань, на яку ми рухаємо\(x\) вісь,\(I_{xx}\) - це вертикальна відстань\(r_x\), відстань, на яку ми рухаємо\(y\) -вісь\(r_y\),\(I_{yy}\) - це горизонтальна відстань, а відстань, яку ми б перемістили\(z\) вісь -( яка вказує на сторінку) для\(J_{zz}\) діагональна відстань\(r_z\).

Центр регулювання маси дотримується аналогічної логіки, використовуючи масу разів відстань в квадраті, де відстань представляє, наскільки далеко ви рухаєте вісь обертання в тривимірному просторі.

Використання методу композитних деталей для знаходження моменту інерції

Щоб знайти момент інерції тіла методом композитних деталей, потрібно почати з розбивання площі або об'єму вниз на прості форми. Переконайтеся, що кожна окрема форма доступна в момент інерції таблиці, і ви можете розглядати отвори або вирізи як негативну область або масу.

Двомірна форма ділиться на три складові частини: 1 - півколо з прямим краєм звернений вправо; 2 - квадрат, що прилягає до прямого краю півкола; 3 - трикутний виріз, що прибирає нижній правий кут квадрата. Тривимірна форма ділиться на дві складові частини: 1 - вертикальний циліндр; 2 - конус, основою якого є вершина циліндра. — Малюнок\(\PageIndex{3}\): Почніть з розбивання області або обсягу на прості частини та пронумеруйте ці частини. Отвори або вирізи будуть вважатися негативними ділянками або масами.

Далі ви збираєтеся створити таблицю для відстеження значень. Присвятіть рядок кожній частині, яку ви пронумеровані раніше, і включіть остаточний рядок «total», який буде використовуватися для деяких значень. Більшу частину роботи методом композитних деталей займає заповнення цієї таблиці. Стовпці будуть трохи відрізнятися від того, що ви шукаєте, але вам, як правило, знадобиться наступне.

Тут повторюється двовимірна форма з малюнка 3 вище, що складається з трьох простих складових фігур. Таблиця під формою показує площу кожної складової частини, координати x- та y центроїда та моменти інерції щодо осей x та y, якщо розглядати окремо, відстань регулювання r для осей x та y центроїда деталі до осей загальної форми та скориговані моменти деталі про осях x і y по відношенню до складеної форми. Додатковий рядок містить загальні значення по всій формі для кожної з цих величин. — Малюнок\(\PageIndex{4}\): Більшість робіт у методі композитних деталей буде обертатися навколо заповнення таблиці, такої як ця. Ця таблиця містить рядки та стовпці, необхідні для знаходження прямокутної площі моментів інерції (\(I_{xx}\)і\(I_{yy}\)) для цього складеного тіла.

Площа або маса для кожного шматка (площа для площі моментів інерції або маса для масових моментів інерції). Пам'ятайте, що вирізи слід перераховувати як негативні ділянки або маси.
Центроїд або центр місць розташування мас (\(y\)і\(x\), можливо,\(z\) координати). Більшу частину часу ми знаходимо момент інерції про центроїд складеної форми, і якщо це явно не дано вам, вам потрібно буде знайти це, перш ніж йти далі. Детальніше про це дивіться на сторінці Центроїди та центри мас за допомогою методу композитних деталей.
Момент інерції значень відносно центроїда кожної фігури. Щоб знайти ці значення, ви підключите цифри висоти, радіуса, маси тощо до формул на таблиці моменту інерції. Не використовуйте ці формули наосліп, оскільки вам може знадобитися подумки повертати тіло, і таким чином перемикати рівняння, якщо орієнтація фігури в таблиці не відповідає орієнтації фігури на вашій діаграмі.
Відстані регулювання (\(r\)) для кожної форми. Для цього значення ви хочете визначити, наскільки далеко\(x\) -вісь,\(y\) -вісь або\(z\) -вісь рухається, щоб перейти від центроїда шматочка до загального центроїда або точки, про яку ви приймаєте момент інерції. Щоб обчислити ці значення, як правило, ви знайдете горизонтальні, вертикальні або діагональні відстані між центроїдами частин і загальними центроїдами, які ви перерахували раніше в таблиці. Див. розділ теореми паралельної осі на цій сторінці раніше для отримання більш докладної інформації.
Нарешті, у вас з'явиться стовпчик відрегульованих моментів інерції. Візьміть початковий момент інерції щодо центроїда, а потім просто додайте\(r^2\) термін часу площі або термін маси часу\(r^2\) для цього скоригованого значення.

Загальний момент інерції вашого складеного тіла - це просто сума всіх скоригованих моментів інерції для шматків, яка буде сумою значень в останньому стовпці (або стовпцях, якщо ви знаходите моменти інерції близько більш ніж однієї осі).

Відео\(\PageIndex{1}\): Відеолекція, що охоплює цей розділ, прочитана доктором Джейкобом Муром. Джерело YouTube: https://youtu.be/zulGTSWF6xs.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Використовуйте теорему паралельної осі, щоб знайти момент інерції маси цього тонкого стрижня з масою\(m\) і довжиною\(L\) близько\(z\) -осі в його кінцевій точці.

Тривимірна декартова система координат, з віссю z, що вказує на екран, а вісь x лежить горизонтально в площині екрану. Тонкий стрижень довжиною L лежить вздовж позитивної осі х з лівою кінцевою точкою у початку. — Малюнок\(\PageIndex{5}\): діаграма проблеми для Приклад\(\PageIndex{1}\). Стрижень лежить вздовж позитивної\(x\) осі декартової системи координат, а його ліва кінцева точка розташована біля початку.

Рішення:: Відео\(\PageIndex{2}\): Опрацьоване рішення прикладної проблеми\(\PageIndex{1}\), надане доктором Джейкобом Муром. Джерело YouTube: https://youtu.be/4oN0kgDO3Yw.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Брус виготовляється шляхом з'єднання двох балок 2 «х 4" в Т-образному вигляді з перетином, як показано нижче. Визначте місце розташування центроїда цього комбінованого перерізу, а потім знайдіть прямокутну площу моменту інерції\(x\) навколо -осі через точку центроїда.

Т-подібну балку виготовляють шляхом з'єднання вертикальної балки 2 на 4 дюйма до центру нижнього краю горизонтальної балки 2 на 4 дюйма. — Малюнок\(\PageIndex{6}\): діаграма проблеми для Приклад\(\PageIndex{2}\). Верхній край вертикальної балки 2 «х 4" зосереджений на і з'єднаний з нижнім краєм горизонтального бруса 2 «х 4", створюючи Т-подібний вузол.

Рішення:: Відео\(\PageIndex{3}\): Опрацьоване рішення прикладної проблеми\(\PageIndex{2}\), надане доктором Джейкобом Муром. Джерело YouTube: https://youtu.be/lgXlp2lRaiA.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Гантель складається з двох сфер діаметром 0,2 метра, кожна масою 40 кг, прикріплених до кінців стрункого стрижня довжиною 0,6 метра масою 20 кг. Визначте момент інерції маси гантелі близько\(y\) -осі, показаної на схемі.

Тривимірна декартова координатна площина, з віссю z, спрямованою на сторінку, вісь x, що лежить горизонтально в площині екрану, і вісь y, що лежить вертикально в площині екрану. Гантель складається з стрункого стрижня довжиною 0,6 метра, що лежить уздовж осі х, з його серединою в початку, зі сферою діаметром 0,2 метра, прикріпленою до кожної кінцевої точки стрижня. Вся збірка довжиною 1 метр. — Малюнок\(\PageIndex{7}\): діаграма проблеми для Приклад\(\PageIndex{3}\). Гантель складається з тонкого стрижня зі сферою, прикріпленою до кожного кінця, що лежить уздовж\(x\) -осі декартової системи координат, з її серединою в початку.

Рішення:: Відео\(\PageIndex{4}\): Опрацьоване рішення прикладної проблеми\(\PageIndex{3}\), надане доктором Джейкобом Муром. Джерело YouTube: https://youtu.be/ufewJ7CmvIs.