7.6: Прогин методом сполучених балок

Метод сполучених балок, розроблений Генріхом Мюллеро-Бреслау в 1865 році, є одним із методів, що використовуються для визначення нахилу і прогину балки. Метод заснований на принципі статики.

Сполучений брус визначається як фіктивна балка, довжина якої така ж, як і у фактичної балки, але з навантаженням, рівним згинальному моменту фактичної балки, розділеної на її згинальну жорсткість,\(EI\).

Метод сполучених балок використовує схожість співвідношення між навантаженням, силою зсуву та згинальним моментом, а також між кривизною, нахилом та відхиленням, отриманими в попередніх розділах та представленими в таблиці 7.2.

\(Table 7.2\). Зв'язок між навантаженням зсуву-згинальний момент і кривизна-нахил-відхилення.

Опори для сполучених балок

Опори для сполучених балок наведені в таблиці 7.3, а приклади реальних і сполучених балок наведені на малюнку 7.4.

\(Table 7.3\). Опори для сполучених балок.

\(Table 7.4\)Справжні балки і їх сполучені.

Підпишіть конвенцію

Для діаграми позитивної кривизни, де є додатна ордината\(\frac{M}{E I}\) діаграми, навантаження в сполученні повинна вказувати в позитивному\(y\) напрямку (вгору) і навпаки (див. Рис.

\(Fig. 7.14\). Діаграма позитивної кривизни.

Якщо дотримується домовленості, зазначеної для діаграм позитивної кривизни, то позитивна сила зсуву в сполученому пучку дорівнює позитивному нахилу в реальному пучку, а позитивний момент у сполученому пучку дорівнює позитивному відхиленню (руху вгору) реального пучка. Це показано на малюнку 7.15.

\(Fig. 7.15\). Зсув і нахил в балці.

Порядок аналізу методом сполученого пучка

• Намалюйте діаграму кривизни для реального променя.

• Намалюйте сполучену балку для реального пучка. Сполучений брус має таку ж довжину, як і реальна балка. Обертання в будь-якій точці реального пучка відповідає силі зсуву в тій же точці сполученого пучка, а зміщення в будь-якій точці реального пучка відповідає моменту в сполученому пучку.

• Застосовуйте діаграму кривизни реальної балки як розподілене навантаження на сполучену балку.

•Використовуючи рівняння статичної рівноваги, визначають реакції на опорах сполученої балки.

• Визначте силу та момент зсуву на ділянках, що представляють інтерес у сполученій балці. Ці зсувні сили і моменти рівні нахилу і прогину відповідно в реальному балці. Позитивний зсув в сполученому балці має на увазі нахил проти годинникової стрілки в реальному балці, тоді як позитивний момент позначає висхідне відхилення в реальному балці.

Приклад 7.11

Використовуючи метод сполучених балок, визначають ухил і прогин в точці\(A\) консольної балки, показаної на малюнку 7.16а. \(E = 29,000 \mathrm{ksi}\)і\(I = 280 \mathrm{in.}^{4}\)

\(Fig. 7.16\). Сполучений брус.

Рішення

(\(M/EI\)) diagram.Спочатку намалюйте діаграму згинального моменту для балки і розділіть її на жорсткість на вигин\(EI\), щоб отримати\(\frac{M}{E I}\) діаграму, показану на малюнку 7.16б.

Сполучений брус. Навантажена\(\frac{M}{E I}\) діаграмою сполучна балка показана на малюнку 7.16в. Зверніть увагу, що вільний кінець в реальному балці стає закріпленим в сполученій балці, тоді як нерухомий кінець в реальному балці стає вільним в сполученій балці. \(\frac{M}{E I}\)Діаграма застосовується як спадне навантаження в сполученій балці, оскільки вона негативна на малюнку 7.16b.

Ухил\(A\). при нахилі\(A\) в реальній балці - це зсув\(A\) в сполученій балці. \(A\)Зсув при в сполученні виглядає наступним чином:

\(V_{A}=\left(\frac{1}{2}\right)(12)\left(\frac{36}{E I}\right)=\frac{216 \mathrm{k}-\mathrm{ft}^{2}}{E I}\)

Тут використовується та сама конвенція про силу зсуву, яка використовується в главі 4.

Таким чином, ухил в реальному балці в точці виглядає\(A\) наступним чином:

\(\theta_{\mathrm{A}}=\frac{216 \mathrm{k}-\mathrm{ft}^{2}}{E I}=\frac{216(12)^{2}}{(29,000)(280)}=0.0038 \mathrm{rad}\)

Прогин при\(A\). Прогину\(A\) в дійсній балці дорівнює моменту на\(A\) сполученої балки. Момент в\(A\) сполученої балки виглядає наступним чином:

\(M_{A}=-\left(\frac{1}{2}\right)(12)\left(\frac{36}{E I}\right)\left(\frac{2}{3} \times 12\right)=-\frac{1728 \mathrm{k}-\mathrm{ft}^{3}}{E I}\)

Тут використовується той самий знак умовності для згинального моменту, який використовується в главі 4.

Таким чином, прогин в реальному балці в точці виглядає\(A\) наступним чином:

\(\Delta_{\mathrm{A}}=-\frac{1728(12)^{3}}{(29,000)(280)}=-0.37 \mathrm{in} \quad \Delta_{A}-0.37 \mathrm{in} \downarrow\)

Приклад 7.12

Використовуючи метод сполучених балок, визначають ухил при\(A\) опорі і прогин при зосередженому навантаженні просто підтримується балки при\(B\) показаному на малюнку 7.17а.

\(E = 29,000 \mathrm{ksi}\)і\(I = 800 \mathrm{in.}^{4}\)

\(Fig. 7.17\). Просто підтримується балка.

Рішення

(\(M/EI\)) diagram. Спочатку намалюйте діаграму згинального моменту для балки і розділіть її на жорсткість на вигин\(EI\), щоб отримати діаграму кривизни моменту (\(\frac{M}{E I}\)), наведену на малюнку 7.17б.

Сполучений брус. Навантажена\(\frac{M}{E I}\) діаграмою сполучна балка показана на малюнку 7.17в. Зверніть увагу, що\(A\) і\(C\), які є простими опорами в реальній балці, залишаються однаковими в сполученій балці. \(\frac{M}{E I}\)Діаграма застосовується як висхідне навантаження в сполученій балці, оскільки вона позитивна на малюнку 7.17b.

Реакції для сполученого пучка. Реакцію на опорах сполученої балки можна визначити наступним чином:

\(A_{y}=B_{y}=-\frac{1}{E I}\left(\frac{1}{2}\right)(30)(180)(0.5)=-\frac{1350 \mathrm{k} . \mathrm{ft}^{2}}{E I} \text { due to symmetry in loading }\)

Нахил\(A\). при нахилі\(A\) в реальному балці - це сила зсуву\(A\) в сполученій балці. \(A\)Зсув при в сполученій балці виглядає наступним чином:

\(V_{A}=-\frac{1350 \mathrm{k} \cdot \mathrm{ft}^{2}}{E I}\)

Таким чином, ухил при опорі\(A\) реальної балки виглядає наступним чином:

\(\theta_{A}=-\frac{1350 \mathrm{k} \cdot \mathrm{ft}^{2}}{E I}=-\frac{1350(12)^{2}}{(29,000)(800)}=-0.0084 \mathrm{rad}\)

Прогин при\(B\). Прогину\(B\) в дійсній балці дорівнює моменту на\(B\) сполученої балки. Момент в\(B\) сполученої балки виглядає наступним чином:

\(M_{B}=\frac{1}{E I}\left[-(1350)(15)+\left(\frac{1}{2}\right)(15)(180)\left(\frac{15}{3}\right)\right]=-\frac{13500 \mathrm{k} \cdot \mathrm{ft}^{3}}{E I}\)

Прогин при\(B\) реальної балки виглядає наступним чином:

\(\Delta_{B}=-\frac{33750 \mathrm{k} \cdot \mathrm{ft}^{3}}{E I}=-\frac{13500(12)^{3}}{(29,000)(800)}=-1.01 \text { in. } \quad \Delta_{B}=1.01 \text { in. } \downarrow\)

Резюме глави

Прогин балок геометричними методами: Геометричні методи, розглянуті в цьому розділі, включають метод подвійного інтегрування, метод функції сингулярності, метод момент-площі та метод сполучення пучка. До обговорення цих методів було виведено наступне рівняння пружної кривої балки:

Метод подвійного інтегрування: Цей метод включає інтеграцію рівняння пружної кривої двічі. Перша інтеграція дає нахил, а друга інтеграція дає прогин. Визначено константи інтеграції з урахуванням граничних умов.

Метод функції сингулярності: Цей метод передбачає використання функції сингулярності або напівдіапазону для опису рівняння пружної кривої для всього пучка. Функцію напівдіапазону можна записати в загальному вигляді наступним чином:

\ (\ кут x-a\ діапазон^ {n} =\ лівий\ {\ begin {масив} {c}
0\ текст {для} (x-a) <0\ текст {або} x<a\\
(x-a) ^ {n}\ текст {для} x-a\ geq 0\ текст {або} x\ geq a
\ end {масив}\ справа.\)

Метод сингулярності найкраще підходить для балок з безліччю розривів через зосереджених навантажень і моментів. Метод значно зменшує кількість констант інтеграції, необхідних для визначення, і, таким чином, полегшує обчислення порівняно з методом подвійної інтеграції.

Метод моментної площі: Цей метод використовує дві теореми для визначення нахилу та відхилення в заданих точках пружної кривої балки. Дві теореми такі:

Теорема першої моментної площі: Зміна нахилу між будь-якими двома точками пружної кривої пучка дорівнює площі\(\frac{M}{E I}\) діаграми між цими двома точками.

Друга теорема про момент-область: Вертикальне відхилення точки\(A\) від дотичної, проведеної до пружної кривої в точці,\(B\) дорівнює моменту площі під\(\frac{M}{E I}\) діаграмою між цими двома точками близько точки\(A\).

Метод сполученого пучка: сполучена балка була визначена як уявний промінь з тією ж довжиною, що і фактична балка, але з навантаженням, рівним\(\frac{M}{E I}\) діаграмі фактичної балки. Опори в фактичних балках замінюються фіктивними опорами з граничними умовами, які призведуть до згинального моменту і сили зсуву в певній точці в сполученій балці, що дорівнює прогину і нахилу відповідно в тих же точках фактичної балки.

Проблеми практики

7.1 Використовуючи метод подвійного інтегрування, визначають ухили і прогини на вільних кінцях консольних балок, показаних на малюнку Р7.1 через малюнок Р7.4. \(EI\)= постійна.

\(Fig. P7.1\). Консольна балка.

\(Fig. P7.2\). Консольна балка.

\(Fig. P7.3\). Консольна балка.

\(Fig. P7.4\). Консольна балка.

7.2 Використовуючи метод подвійного інтегрування, визначте ухили в точці\(A\) і прогини в середній точці\(C\) балок, показаних на малюнку Р7.5 та малюнку Р7.6. \(EI\)= постійна.

\(Fig. P7.5\). Балка.

\(Fig. P7.6\). Балка.

7.3 Використовуючи метод сполучених балок, визначають ухил в точці\(A\) і прогин в точці\(B\) балки, показані на малюнку Р7.7 через малюнок Р7.10.

\(Fig. P7.7\). Балка.

\(Fig. P7.8\). Балка.

\(Fig. P7.9\). Балка.

\(Fig. P7.10\). Балка.

7.4 Використовуючи метод момент-площі, визначають прогин в точці\(A\) консольної балки, показаної на малюнку Р7.11 через малюнок Р7.12.

\(Fig. P7.11\). Консольна балка.

\(Fig. P7.12\). Консольна балка.

7.5 Використовуючи метод момент-площі, визначають ухил в точці\(A\) і ухил в середній точці балок,\(C\) показаних на малюнку Р7.13 і малюнку Р7.14.

\(Fig. P7.13\). Балка.

\(Fig. P7.14\). Балка.

7.6 Використовуючи метод функції сингулярності, визначають нахил і прогин в точці\(A\) консольної балки, показаної на малюнку Р7.15.

\(Fig. P7.15\). Консольна балка.

7.7 Використовуючи метод функції сингулярності, визначають ухил в точці\(B\) і ухил в точці\(C\) балки зі схилом, показаним на малюнку Р7.16. \(EI\)= постійна. \(E=200 \mathrm{GPa}, \mathrm{I}=500 \times 106 \mathrm{~mm}^{4}\).

\(Fig. P7.16\). Балка.

7.8 Використовуючи метод функції сингулярності, визначають ухил в точці\(C\) і прогин в точці\(D\) балки з нависаючими кінцями, як показано на малюнку Р7.17. \(EI\)= постійна.

\(Fig. P7.17\). Балка.

7.9 Використовуючи метод функції сингулярності, визначають нахил в точці\(A\) і прогин в точці\(B\) балки, показаний на малюнку Р7.18. \(EI\)= постійна.

\(Fig. P7.18\). Балка.