7.4: Прогин методом функції сингулярності

У випадках, коли балка піддається поєднанню розподілених навантажень, зосереджених навантажень і моментів, використання методу подвійного інтегрування для визначення прогинів таких балок дійсно залучає, так як різні сегменти балки представлені декількома моментними функціями, і багато обчислювальних потрібні зусилля для пошуку констант інтеграції. Використання методу функції сингулярності в таких випадках для визначення прогинів порівняно простіше і відносно швидко. Цей метод аналізу був вперше введений Маколе в 1919 році, і він тягне за собою використання одного рівняння, яке містить функцію сингулярності або напівдіапазону для опису всієї кривої відхилення променя. Сингулярність або функція напівдіапазону визначається наступним чином:

\ (\ кут x-a\ діапазон^ {n} =\ лівий\ {\ почати {вирівняний}
0\ текст {для} (х-а) <0\ текст {або} x<a\\
(x-a) ^ {n}\ текст {для} x-a\ geq 0 &\ text {або} x\ geq a
\ end {вирівняний}\ праворуч.\)

де

\(x =\)координатне положення точки вздовж балки.

\(a =\)будь-яке місце уздовж балки, де відбувається розрив внаслідок вигину.

\(n =\)експоненціальні значення функцій; це завжди повинно бути більшим або рівним нулю, щоб функції були дійсними.

Вище викладене визначення означає, що величина (\(x-a\)) дорівнює нулю або зникає, якщо вона від'ємна, але дорівнює (\(x-a\)), якщо вона додатна.

Процедура аналізу методом функції сингулярності

• Намалюйте діаграму вільного тіла балки та встановіть\(y\) координати\(x\) та.

• Обчисліть опорні реакції та запишіть рівняння моменту як функцію\(x\) координати. Угода про знак на даний момент така ж, як і в розділі 4.3.

• Підставте вираз моменту в рівняння пружної кривої та інтегруйте один раз, щоб отримати нахил. Інтегруйте знову, щоб отримати прогин в балці.

• Використовуючи граничні умови, визначити константи інтеграції та підставити їх у рівняння, отримані на кроці 3, щоб отримати нахил і прогин балки. Позитивний нахил - проти годинникової стрілки, а негативний нахил - за годинниковою стрілкою, тоді як позитивний прогин - вгору, а негативний відхилення - вниз.

• При обчисленні нахилу або відхилення в будь-якій точці балки відкиньте величину (\(x-a\)) з рівняння для нахилу або відхилення, якщо воно негативне. Якщо (\(x-a\)) позитивний, він залишається в рівнянні.

Приклад 7.4

Просто підтримувана балка піддається комбінованому навантаженню, показаному на малюнку 7.5а. Використовуючи метод функції сингулярності, визначають нахил при\(A\) опорі і прогин при\(B\).

\(Fig. 7.5\). Просто підтримується балка.

Рішення

Підтримка реакцій. Для визначення реакції при\(A\) опорі балки застосовують рівняння рівноваги, такі:

\ (\ почати {масив} {l}
+\ curvearrowleft\ сума M_ {D} =0\
26 (4.5)\ лівий (8-\ frac {4.5} {2}\ праворуч) +10 (2) -8 A_ {y} =0\
A_ {y} =86,6\ mathrm {кН}
\ кінець {масив}\)

Згинальний момент. Замінивши задану розподілене навантаження двома еквівалентними відкритими навантаженнями, як показано на малюнку 7.5б, згинальний момент на ділянці, розташованому на відстані\(x\) від лівої опори,\(A\) можна виразити наступним чином:

\(M=86.6 x-\frac{26 x^{2}}{2}+\frac{26(x-4.5)^{2}}{2}-10\langle x-6\rangle\)

Рівняння пружної кривої. Заміна\(M(x)\) з рівняння 1 в рівняння 7.12 передбачає наступне:

\(E I \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=M=86.6 x-\frac{26 x^{2}}{2}+\frac{26(x-4.5)^{2}}{2}-10\langle x-6\rangle^{1}\)

Інтеграція рівняння 2 двічі передбачає наступне:

\(E I \frac{d y}{d x}=\frac{86.6 x^{2}}{2}-\frac{26 x^{3}}{3 \times 2}+\frac{26(x-4.5)^{3}}{3 \times 2}-\frac{10(x-6)^{2}}{2}+C_{1}\)

\(EIy=\frac{86.6 x^{3}}{3 \times 2}-\frac{26 x^{4}}{4 \times 3 \times 2}+\frac{26(x-4.5)^{4}}{4 \times 3 \times 2}-\frac{10\langle x-6\rangle^{3}}{3 \times 2}+C_{1} x+C_{2}\)

Граничні умови та обчислення констант інтеграції. Застосування граничних умов\([x=0, y=0]\) до рівняння 4 і зауваження, що кожна дужка містить від'ємну величину і, таким чином, дорівнює нулю за визначенням сингулярності говорить про це\(C_{2} = 0\).

\(0=0-0+0-0+C_{2}\)

\(C_{2} = 0\)

Знову ж таки, застосування граничних умов\([x=8, y=0]\) до рівняння 4 і зауваження, що кожна дужка містить позитивну величину, говорить про те, що значення\(C_{1}\) константи таке:

\ (\ begin {масив} {l}
0=\ frac {86.6 (8) ^ {3}} {3\ раз 2} -\ розриву {26 (8) ^ {4}} {4\ раз 3\ раз 2} +\ frac {26 (8-4.5) ^ {4}} {4\ раз 3\ раз 2} -\ frac {10 (8-6) ^ {3}} {3\ раз 2} +8 C_ {1}\\
C_ {1} =-387.72
\ кінець {масив}\)

\ (\ begin {масив} {l}
0=\ frac {86.6 (8) ^ {3}} {3\ раз 2} -\ розриву {26 (8) ^ {4}} {4\ раз 3\ раз 2} +\ frac {26 (8-4.5) ^ {4}} {4\ раз 3\ раз 2} -\ frac {10 (8-6) ^ {3}} {3\ раз 2} +8 C_ {1}\\
C_ {1} =-387.72
\ кінець {масив}\)

Підстановка значень для\(C_{1}\) і\(C_{2}\) в рівняння 4 говорить про те, що вираз для пружної кривої балки виглядає наступним чином:

\[y=\frac{1}{E I}\left\{\frac{86.6 x^{3}}{6}-\frac{26 x^{4}}{24}+\frac{26(x-4.5)^{4}}{24}-\frac{10\langle x-6\rangle^{3}}{6}-387.72 x\right\}\]

Аналогічно, підставляючи значення для\(C_{1}\) рівняння 3, вираз для нахилу виглядає наступним чином:

\[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{E I}\left\{\frac{86.6 x^{2}}{2}-\frac{26 x^{3}}{6}+\frac{26(x-4.5)^{3}}{6}-\frac{10(x-6)^{2}}{2}-387.72\right\}\]

Ухил при\(A\), т.\(\frac{d y}{d x}\) Е.\(x = 0\)

\(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\mathrm{A}}=\theta_{\mathrm{A}}=-\frac{387.72}{E I}\)

Прогин на\(x = 4.5\) м від опори\(A\)

\ (\ почати {вирівняний}
&y_ {x} =4.5\ mathrm {~m} =\ frac {1} {E I}\ лівий\ {\ frac {86.6 (4.5) ^ {3}} {6} -\ frac {26 (4.5) ^ {4}} {24} +\ frac {26\ ланґль 4.5-4.5\ діапазон ^ {4} {24}} -\ frac {10\ кут 4.5-6\ діапазон^ {3}} {6} -387.72 (4.5)\ праворуч\}\
&y_ {x} =4.5\ mathrm {~m} =-\ frac {873.74} {E I}\ квадратний\ квадратний\ frac {873.74} { E I}\ стрілка вниз
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 7.5

Консольна балка навантажується рівномірно розподіленим навантаженням 4 кіпс/фут, як показано на малюнку 7.6а. Використовуючи метод функції сингулярності, визначають рівняння пружної кривої балки, нахилу на вільному кінці і прогину на вільному кінці.

\(Fig. 7.6\). Консольна балка.

Рішення

Підтримка реакцій. Для визначення реакції при опорі А балки застосовують рівняння рівноваги, наступне:

\ (\ begin {масив} {lll}
+\ curvearrowleft\ сума M_ {A} =0 & M_ {A} -4 (6) (9) =0 & M_ {A} =216\ mathrm {k-ft.} ^ {\ curvearrowleft}\\
+\ uстрілка\ сума F_ {y} =0 & A_ {y} -4 (6) =0 & A_ {y} =24\ mathrm {k}\
стрілка вправо\\ сума F_ {x} =0 & A_ {x} =0 & A_ {x} =0
\ кінець {масив})

Згинальний момент. Згинальний момент на ділянці, розташованому на відстані\(x\) від нерухомого кінця балки, показаний на малюнку 7.6б, може бути виражений наступним чином:

\[M=24 x-216-\frac{4(x-6)^{2}}{2}\]

Рівняння пружної кривої. Заміна\(M(x)\) з рівняння 1 в рівняння 7.12 передбачає наступне:

\[E I \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=M=24 x-216-\frac{4(x-6)^{2}}{2}\]

Інтеграція рівняння 2 двічі передбачає наступне:

 

\[EIy=\frac{24(x)^{3}}{6}-\frac{216(x)^{2}}{2}-\frac{4(x-6)^{4}}{24}+C_{1} x+C_{2}\]

Граничні умови та обчислення констант інтеграції. Застосування граничних умов\(\left[x=0, \frac{d y}{d x}=0\right]\) до рівняння 3 і зауваження, що термін з дужкою містить від'ємну величину і, таким чином, дорівнює нулю за визначенням функції сингулярності говорить про це\(C_{1} = 0\).

\(\frac{24(0)^{2}}{2}-216(0)-\frac{4(0-6)^{3}}{6}+C_{1}=0 \quad C_{1}=0\)

Застосування граничних умов\([x=0, y=0]\) до рівняння 4 і зауваження, що термін з дужкою містить від'ємну величину і, таким чином, дорівнює нулю за визначенням функції сингулярності говорить про це\(C_{2} = 0\).

\(\frac{24(0)^{3}}{6}-\frac{216(0)^{2}}{2}-\frac{4(0-6)^{4}}{24}+C_{1}(0)+C_{2}=0 \quad C_{2}=0\)

Щоб знайти пружну криву пучка, підставляємо значення для\(C_{1}\) і\(C_{2}\) в рівняння 4 наступним чином:

\[y=\frac{1}{E I}\left[\frac{24(x)^{3}}{6}-\frac{216(x)^{2}}{2}-\frac{4(x-6)^{4}}{24}\right]\]

Аналогічно, щоб знайти вираз для нахилу,\(C_{1}\) підставляємо значення для рівняння 3 наступним чином:

 

\(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{C}=\theta_{\mathrm{C}}=\frac{1}{E I}\left[\frac{24(12)^{2}}{2}-216(12)-\frac{4(12-6)^{3}}{6}\right]=-\frac{1008}{E I} \quad \frac{1008}{E I}\)

\(y_{C}=\frac{1}{E I}\left[\frac{24(12)^{3}}{6}-\frac{216(12)^{2}}{2}-\frac{4(12-6)^{4}}{24}\right]=\frac{-8856}{E I}\)

Приклад 7.6

Балка зі схилом піддається комбінованому навантаженню, як показано на малюнку 7.7а. Використовуючи метод функції сингулярності, визначають нахил при\(A\) опорі і прогин при\(B\).

\(Fig. 7.7\). Балка зі звисом.

Рішення

Підтримка реакцій. Для визначення реакції при\(A\) опорі балки застосовують рівняння рівноваги, такі:

\ (\ begin {масив} {l}
+\ крива стрілкаліворуч\ сума M_ {A} =0\\
-40-120 (4) (6) -50 (11) +8 D_ {y} =0\\
D_ {y} =433,75\ mathrm {кН}\ квадрат D_ {y} =433,75\ mathrm {кН}\ стрілка\
+\\\ стрілка\ сума F_ {y} =0\\
A_ {y} +433.75-120 (4) -50=0\
A_ {y} =96,25\ математика {кН}\ квадрат A_ {y} =96,25\ матрм {кН}\ стрілка\\
стрілка вправо\ сума F_ {x} =0\ текст {} A_ {x} =0\ квадрад A_ {x} =0
\ кінець {масив}\)

Згинальний момент. Замінивши задану розподілене навантаження двома еквівалентними відкритими навантаженнями і модифікуючи термін моменту, як показано на малюнку 7.7б, згинальний момент на ділянці, розташованому на відстані\(x\) від лівої опори,\(A\) можна виразити наступним чином:

\[M=96.25 x+40\langle x-2\rangle^{0}-\frac{120(x-4)^{2}}{2}+\frac{120(x-8)^{2}}{2}+433.75\langle x-8\rangle\]

Рівняння пружної кривої. Заміна\(M(x)\) з рівняння 1 в рівняння 7.12 передбачає наступне:

\[E I \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=M=96.25 x+40\langle x-2\rangle^{0}-\frac{120(x-4)^{2}}{2}+\frac{120\langle x-8\rangle^{2}}{2}+433.75\langle x-8\rangle\]

Інтеграція рівняння 2 двічі передбачає наступне:

\[E I \frac{d y}{d x}=\frac{96.25 x^{2}}{2}+40\langle x-2\rangle^{1}-\frac{120(x-4)^{3}}{3 \times 2}+\frac{120(x-8)^{3}}{3 \times 2}+\frac{433.75(x-8)^{2}}{2}+C_{1}\]

\[E I y=\frac{96.25 x^{3}}{3 \times 2}+\frac{40(x-2)^{2}}{2}-\frac{120\langle x-4\rangle^{4}}{4 \times 3 \times 2}+\frac{120\langle x-8\rangle^{4}}{4 \times 3 \times 2}+\frac{433.75\langle x-8\rangle^{3}}{3 \times 2}+C_{1} x+C_{2}\]

Граничні умови та обчислення констант інтеграції. Застосування граничних умов\([x=0, y=0]\) до рівняння 4 і зауваження, що кожна дужка містить негативну величину і, таким чином, дорівнює нулю за визначенням сингулярності говорить про це\(C_{2} = 0\).

\(0=0+0-0+0+0+0+C_{2}\)

\(C_{2} = 0\)

Знову ж таки, застосування граничних умов\([x=8m, y=0]\) до рівняння 4 і зауваження, що кожна дужка містить позитивну величину, говорить про те, що значення\(C_{1}\) константи таке:

\ (\ почати {масив} {l}
0=\ гідророзриву {96.25 (8) ^ {3}} {3\ раз 2} +\ розриву {40\ лангль 8-2\ діапазон^ {2}} {2} -\ frac {120\ лангле 8-4\ діапазон^ {4}} {4\ раз 3\ раз 2} +\ frac {120\ langle 8-8\ діапазон ^ {4}} {4\ раз 3\ раз 2} +\ розриву {433.75\ кут 8-8\ діапазон^ {3}} {3}} +8 C_ {1}\
C_ {1} =-956.67
\ end {масив}\)

Підстановка значень для\(C_{1}\) і\(C_{2}\) в рівняння 4 говорить про те, що вираз для пружної кривої балки виглядає наступним чином:

\(y=\frac{1}{E I}\left\{\frac{96.25 x^{3}}{3 \times 2}+\frac{40\langle x-2\rangle^{2}}{2}-\frac{120\langle x-4\rangle^{4}}{4 \times 3 \times 2}+\frac{120\langle x-8\rangle^{4}}{4 \times 3 \times 2}+\frac{433.75\langle x-8\rangle^{3}}{3 \times 2}-956.67 x\right\}\)

Аналогічно, підставляючи значення для\(C_{1}\) рівняння 3, говорить про те, що вираз для нахилу виглядає наступним чином:

\(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{E I}\left\{\frac{96.25 x^{2}}{2}+40\langle x-2\rangle^{1}-\frac{120\langle x-4\rangle^{3}}{3 \times 2}+\frac{120\langle x-8\rangle^{3}}{3 \times 2}+\frac{433.75\langle x-8\rangle^{2}}{2}-956.67\right\}\)

Ухил при\(A\), т.\(\frac{d y}{d x}\) Е.\(x = 0\)

\(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\mathrm{A}}=\theta_{\mathrm{A}}=-\frac{956.67}{E I}\)

Прогин на\(x = 2\) м від опори\(A\)

\ (\ begin {масив} {l}
y_ {x} =2\ mathrm {~m} =\ розрив {1} {E I}\ лівий\ {\ frac {96.25 (2) ^ {3}} {6} +0-0+0+0-956.67 (2)\ праворуч\}\
\ mathrm {y} _ {x} =2\ mathrm {~m} =-\ frac {1785} {\ mathrm {EI}}\ квад\ frac {1785} {E I}\ стрілка вниз
\ кінець {масив}\)