7.3: Прогин методом подвійної інтеграції

Прогин шляхом подвійного інтегрування також називають відхиленням методом прямого або постійного інтеграції. Цей метод тягне за собою отримання прогину балки шляхом інтеграції диференціального рівняння пружної кривої балки двічі та використання граничних умов для визначення констант інтеграції. Перша інтеграція дає нахил, а друга інтеграція дає прогин. Цей спосіб найкраще підходить, коли в застосованому навантаженні є безперервність.

Приклад 7.1

Консольна балка піддається комбінованому навантаженню, як показано на малюнку 7.2а. Використовуючи метод подвійного інтегрування, визначають ухил і прогин на вільному кінці.

\(Fig. 7.2\). Консольна балка.

Рішення

Рівняння згинального моменту. Проходження перерізу на відстані\(x\) від вільного кінця балки, як показано на схемі вільного тіла на малюнку 7.2б, і з огляду на момент праворуч від перетину передбачає наступне:

\(M=5-\frac{20 x^{2}}{2}\)

Підстановка\(M\) в рівняння 7.12 передбачає наступне:

\(E I \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=5-\frac{20 x^{2}}{2}\)

Рівняння для ухилу. Інтеграція щодо\(x\) передбачає наступне:

\(E I \frac{d y}{d x}=5 x-\frac{20 x^{3}}{6}+C_{1}\)

Зверніть увагу, що на фіксованому кінці де\(x=L\),\(\frac{d y}{d x}=0\); це називається граничною умовою. Застосування цих граничних умов до рівняння 3 передбачає наступне:

\ (\ почати {масив} {l}
0=5 L-\ розрив {20\ mathrm {~L} ^ {3}} {6} +C_ {1}\\
C_ {1} =-5\ раз 5+\ frac {20 (5) ^ {3}} {6} =391.67
\ кінець {масив}\)

Щоб отримати наступне рівняння нахилу, підставляємо обчислене значення\(C_{1}\) в рівняння 3 наступним чином:

\(E I \frac{d y}{d x}=5 x-\frac{20 x^{3}}{6}+391.67\)

Рівняння для прогину. Інтеграція рівняння 4 передбачає наступне:

\(\text { EIy }=\frac{5 x^{2}}{2}-\frac{20 x^{4}}{24}+391.67 x+C_{2}\)

На закріпленому кінці\(x=L\),\(y = 0\). Застосування цих граничних умов до рівняння 5 передбачає наступне:

\(0=\frac{5(L)^{2}}{2}-\frac{20(L)^{4}}{24}+391.67 L=\frac{5(5)^{2}}{2}-\frac{20(5)^{4}}{24}+391.67(5)+C_{2}=-1500\)

Щоб отримати наступне рівняння пружної кривої, підставляємо обчислене значення\(C_{2}\) в рівняння 5 наступним чином:

\(y=\frac{1}{E I}\left(\frac{5 x^{2}}{2}-\frac{20 x^{4}}{24}+391.67 x-1500\right)\)

Ухил на вільному кінці,\(\frac{d y}{d x}\) т. Е.\(x = 0\)

\(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\mathrm{A}}=\theta_{\mathrm{A}}=\frac{1}{E I}\left[5(0)-\frac{20(0)^{3}}{6}+391.6\right]=\frac{391.67}{E I}\)

Прогин на вільному кінці, т.\(y\) Е.\(x = 0\)

\(y_{\mathrm{A}}=\frac{1}{E I}\left(\frac{5(0)^{2}}{2}-\frac{20(0)^{4}}{24}+391.67(0)-1500\right)=-\frac{1500}{E I} \quad \frac{1500}{E I} \downarrow\)

Приклад 7.2

Просто підтримувана балка\(AB\) несе рівномірно розподілене навантаження 2 кіп/фут по своїй довжині і зосереджене навантаження в 10 кіп посередині його прольоту, як показано на малюнку 7.3а. Використовуючи метод подвійного інтегрування, визначають нахил при\(A\) опорі і прогин в середній точці\(C\) балки.

\(Fig. 7.3\). Просто підтримується балка.

Рішення

Підтримка реакцій.

\(A_{y}=B_{y}=\frac{2 \times 8}{2}+\frac{10}{2}=13\)кіпи по симетрії

Рівняння згинального моменту. Момент на ділянці відстані\(x\) від опори\(A\), як показано на схемі вільного тіла на малюнку 7.3б, пишеться наступним чином:

\(0<x<4\)

\(M=13 x-\frac{2 x^{2}}{2}\)

Підстановка\(M\) в рівняння 7.12 передбачає наступне:

\(E I \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=M=13 x-\frac{2 x^{2}}{2}\)

Рівняння для ухилу. Інтеграція рівняння 2 щодо\(x\) передбачає наступне:

\(E I \frac{d y}{d x}=\frac{13 x^{2}}{2}-\frac{2 x^{3}}{6}+C_{1}\)

Стала інтеграції\(C_{1}\) оцінюється шляхом розгляду граничної умови.

\(\text { At } x=\frac{L}{2}, \frac{d y}{d x}=0\)

Застосування вищезазначених граничних умов до рівняння 3 передбачає наступне:

\ (\ begin {масив} {l}
0=\ розриву {13 (4) ^ {2}} {2}} -\ гідророзриву {2 (4) ^ {3}} {6} +C_ {1}\\
C_ {1} =-82.67
\ end {масив}\)

Повернення обчисленого значення\(C_{1}\) назад у рівняння 3 передбачає наступне:

\(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{E I}\left(\frac{13 x^{2}}{2}-\frac{2 x^{3}}{6}-82.67\right)\)

Рівняння для прогину. Інтеграція рівняння 4 передбачає наступне:

\(\text { EIy }=\frac{13 x^{3}}{6}-\frac{2 x^{4}}{24}-82.67 x+C_{2}\)

Стала інтеграції\(C_{2}\) оцінюється шляхом розгляду граничної умови.

В\(x =0\),\(y = 0\)

\(0=0-0-0+C_{2}\)

\(C_{2}=0\)

Перенесення обчисленого значення\(C_{2}\) назад у рівняння 5 передбачає наступне рівняння пружної кривої:

\(\text { EIy }=\frac{13 x^{3}}{6}-\frac{2 x^{4}}{24}-82.67 x\)

Ухил при\(A\), т.\(\frac{d y}{d x}\) Е.\(x = 0\)

\(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{\mathrm{A}}=\theta_{\mathrm{A}}=\frac{1}{E I}\left(\frac{13(0)^{2}}{2}-\frac{2(0)^{3}}{6}-82.67\right)=-\frac{82.67}{E I}=-\frac{82.67}{(10,000)(12)^{2}\left(\frac{1000}{(12)^{4}}\right)}\)

Прогин в середній точці\(C\), т. Е.\(x=\frac{L}{2}\)

\ (\ почати {вирівняний}
y_ {c} &=\ розрив {1} {E I}\ лівий [\ розрив {13 (4) ^ {3}} {6} -\ гідророзриву {2 (4) ^ {4}} {24} -82.67 (4)\ праворуч] =-\ гідророзриву {213.35} {E} =\ frac {213.35} {(10000) (144) (1000)\ ліворуч (12^ {-4}\ праворуч)}\\
&=-0.0031\ mathrm {ft} =-0.04\ mathrm {in}\ стрілка вниз
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 7.3

Балка несе розподілене навантаження, яке змінюється від нуля при опорі\(A\) до 50 кН/м на її нависаючому кінці, як показано на малюнку 7.4a. Напишіть рівняння пружної кривої для\(AB\) відрізка балки, визначте ухил у опори\(A\), і визначте прогин в точці балки, розташованої в 3 м від опори\(A\).

\(Fig. 7.4\). Балка.

Рішення

Підтримка реакцій. Для визначення реакцій променя застосовують рівняння рівноваги, такі:

\ (\ begin {масив} {l}
+n\ сума M_ {A} =0\\
-\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) (8) (50)\ ліворуч (\ frac {2} {3}\ праворуч) (8) +B_ {y} (6) =0\
B_ {y} =177.78\ mathrm {кН}\ квад\ квад B_ {y} =177.78\ стрілка\\
+\ стрілка вправо\ сума F_ {x} =0\ квадрад A_ {x} =0\ квад\ квадрад A_ {x} = 0\\
+\ стрілка\ сума F_ {\ mathrm {y}} =0\
177.78+A_ {y} -\ ліворуч (\ frac {1} {2}\ праворуч) (8) (50) =0\
A_ {y} =22,22\ математика {кН}\ квадрад A_ {y} =22.22\ матрм {кН}\ uparm рядок
\ end {масив}\)

Рівняння згинального моменту. Момент на ділянці відстані\(x\) від опори\(A\), як показано на схемі вільного тіла на малюнку 7.4б, виглядає наступним чином:

\(0 < x < 6\)

\(M=22.22 x-\left(\frac{1}{2}\right)(x)\left(\frac{50 x}{8}\right)\left(\frac{x}{3}\right)=22.22 x-\frac{25 x^{3}}{24}\)

Підстановка\(M\) в рівняння 7.12 передбачає наступне:

\(E I \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=M=2.22 x-\frac{25 x^{3}}{24}\)

Рівняння для ухилу. Інтеграція рівняння 2 щодо\(x\) передбачає наступне:

\(E I \frac{d y}{d x}=\frac{22.22 x^{2}}{2}-\frac{25 x^{4}}{4 \times 24}+C_{1}\)

Рівняння для прогину. Інтеграція рівняння 3 пропонує рівняння прогину наступним чином:

\(\text { EIy }=\frac{22.22 x^{3}}{6}-\frac{25 x^{5}}{5 \times 4 \times 24}+C_{1} x+C_{2}\)

Для оцінки констант інтеграцій застосуйте наступні граничні умови до рівняння 4:

В\(x = 0\),\(y = 0\)

\(0=0-0+0+C_{2}\)

\(C_{2}=0\)

На\(x = 6\) м,\(y = 0\)

\(0=\frac{22.22(6)^{3}}{6}-\frac{25(6)^{5}}{5 \times 4 \times 24}+6 C_{1}\)

\(C_{1}=-65.82\)

Рівняння пружної кривої.

Рівняння пружної кривої тепер можна визначити шляхом підстановки\(C_{1}\) і\(C_{2}\) в рівняння 4.

\(\text { EIy }=\frac{22.22 x^{3}}{6}-\frac{25 x^{5}}{5 \times 4 \times 24}-65.82 x\)

Для отримання рівнянь нахилу і прогину підставляємо обчислене значення\(C_{1}\) і\(C_{2}\) назад в рівняння 3 і 4:

Рівняння ухилу.

\(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{E I}\left(\frac{22.22 x^{2}}{2}-\frac{25 x^{4}}{96}-65.82\right)\)

Рівняння прогину.

\(y=\frac{1}{E I}\left(\frac{22.22 x^{3}}{6}-\frac{25 x^{5}}{480}-65.82 x\right)\)

Прогин на\(x = 3\) м від опори\(A\).

\(\mathrm{y}_{x}=3 \mathrm{~m}=-\frac{110.13}{E I}=-0.0058 \mathrm{~m}=-5.80 \mathrm{~mm} \quad 5.80 \mathrm{~mm} \downarrow\)