13.2: Тригонометричні ідентичності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 31988

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Синус і косинус є періодичними, що призводить до наступних тотожностей:

\[\sin\theta =-\sin\left ( -\theta \right )=-\cos(\theta +\frac{\pi }{2})=\cos(\theta -\frac{\pi }{2})\]

\[\cos\theta =\cos\left ( -\theta \right )=\sin(\theta +\frac{\pi }{2})=-\sin(\theta -\frac{\pi }{2})\]

Синус або косинус для сум або різниць між кутами можна обчислити за допомогою наступних тотожностей:

\[\cos(\theta _{1}+\theta _{2})=\cos(\theta _{1})\cos(\theta _{2})-\sin(\theta _{1})\sin(\theta _{2})\]

\[\sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(\theta _{1})\cos(\theta _{2})+\cos(\theta _{1})\sin(\theta _{2})\]

\[\cos(\theta _{1}-\theta _{2})=\cos(\theta _{1})\cos(\theta _{2})+\sin(\theta _{1})\sin(\theta _{2})\]

\[\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=\sin(\theta _{1})\cos(\theta _{2})-\cos(\theta _{1})\sin(\theta _{2})\]

Сума квадратів синуса і косинуса для одного і того ж кута одна:

\[\cos(\theta )\cos(\theta )+\sin(\theta )\sin(\theta )=1\]