4.4: Умови безперервності, приклад

Last updated
Save as PDF

Page ID: 32955

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У розділі 4.4 були сформульовані вимоги до неперервності, але система восьми алгебраїчних рівнянь не була розв'язана. Тут буде представлено повне рішення для балки, навантаженої точковою силою, що діє в довільному місці\(x = a\).

Сили реакції розраховуються з моменту рівноваги:

\[R_A = P \frac{l − a}{l}\]

\[R_B = P \frac{a}{l}\]

Сума сил реакції дорівнює\(P\). Відповідні згинальні моменти і сили зсуву

\[M(x) = \begin{cases} R_Ax = \frac{P(l − a)x}{l}, \\ R_B(l-x) = \frac{Pa(l − x)}{l}, \end{cases}, \quad V (x) = \begin{cases} \frac{P(l − a)}{l}, & 0 < x < a \\ −\frac{P a}{l}, & a < x < l \end{cases} \label{4.4.3}\]

Стрибок сили зсуву через точку\(x = a\) розриву

\[[V] = V^+ − V^− = \frac{P(l − a)}{l} − (−\frac{P a}{l}) = P\]

Згинальні моменти безперервні з обох сторін,\([M] = 0\). Тому статичні умови безперервності автоматично задовольняються при\(x = a\). Умови кінематичної неперервності, сформульовані в Рівняннях (4.2.6-4.2.7), вимагають, щоб зсуви та нахили були безперервними. Інтеграція керівних рівнянь (4.3.1) з\ ref {4.4.3} у двох областях дає

\[−EIw^{\mathrm{I}} = \frac{P(l − a)x^3}{6l} + C_1x + C_2 \quad 0 < x < a\]

\[−EIw^{\mathrm{II}} = \frac{P a}{l} (\frac{lx^2}{2} − \frac{x^3}{6}) + C_3x + C_4 \quad a < x < l\]

Чотири інтеграційні константи знайдені з двох граничних умов і двох умов неперервності

\[w(0) = w(l) = 0, \; w^{\mathrm{I}} (a) = w^{\mathrm{II}}(a), \; \left. \frac{dw^{\mathrm{I}}}{dx}\right|_{x=a} = \left. \frac{dw^{\mathrm{II}}}{dx}\right|_{x=a}\]

Це породжує систему чотирьох лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь для\(C_1\)\(C_2\),\(C_3\), і\(C_4\)

\[\begin{cases} C_2 = 0 \\ \frac{Pal^2}{3} + C_3l + C_4 = 0 \\ \frac{Pba^3}{6l} + C_1a = \frac{Pa}{l} \left(\frac{la^2}{2} - \frac{a^3}{6} \right) + C_3a + C_4 \\ \frac{Pba^2}{2l} + C_1 = \frac{Pa}{l} \left(la - \frac{1}{2}a^2 \right) + C_3 \end{cases} \label{4.4.8}\]

Проста задача призвела до досить складної алгебри. Тепер ви розумієте, чому попередній приклад з вісьмома невідомими коефіцієнтами був лише сформульований, але не вирішений. Рішенням системи\ ref {4.4.8} є

\[C_1 = − \frac{P a(a^2 − 3al + 2l^2)}{6l}\]

\[C_2 = 0 \]

\[C_3 = -\frac{P a(a^2 + 2l^2)}{6l} \]

\[C_4 = \frac{P a^3}{6} \]

і остаточним рішенням несиметрично навантаженої балки є

\[w^{\mathrm{I}}(x) = \frac{P x [a^3 - 3a^2l - lx^2 + a(2l^2 + x^2)]}{6EIl} \quad 0 < x < a\]

\[w^{\mathrm{II}}(x) = - \frac{P a (l - x) [a^2 + x(-2l + x)]}{6EIl} \quad a < x < l \]

Можна легко перевірити, що умови безперервності виконуються на\(x = a\). Наведений вище приклад вчить нас, що симетрія в природі і інженерії не тільки означає красу, але і приносить простоту.