4.2: Загальні властивості рівняння керування пучком - загальні та приватні розв'язки
- Page ID
- 32970
Нагадаємо з Обчислення, що розв'язання неоднорідного, лінійного звичайного диференціального рівняння є сумою загального розв'язку однорідного рівняння\(w_g\) і конкретного розв'язку неоднорідного рівняння\(w_p\). Властивість однорідності означає, що\(f(Ax) = Af(x)\). Однорідний аналог рівняння (4.1.11)
\[EI \frac{d^4w}{dx^4} = 0 \quad \text{ or } \quad \frac{d^4w}{dx^4} = 0 \label{4.2.1}\]
і його розв'язком, отриманим за допомогою чотирьох інтеграцій, є поліном третього порядку
\[w_g(x) = \frac{C_1x^3}{6} + \frac{C_2x^2}{2} + C_3x + C_4 \label{4.2.2}\]
Конкретне рішення\(w_p\) рівняння прогину балки, Рівняння (4.1.11) залежить від навантаження, але не граничних умов. Для рівномірно навантаженої балки конкретним розв'язком є перший член у Рівнянні (4.1.27-4.1.28). В якості ілюстрації розглянемо той же штифтовий опорний промінь, навантажений навантаженням трикутної лінії
\[q(x) = q_0 \frac{2x}{l} \; , \; 0 < x < \frac{l}{2}\]
де\(q_0\) - інтенсивність навантаження на середині прольоту\(x = l/2\). Особливим рішенням цієї задачі, що задовольняє керуючому рівнянню, є
\[w_p = \frac{q_0x^5}{60EIl}\]
Тоді повне рішення є\(w(x) = w_g + w_p\).
Балка, навантажена зосередженими силами (або моментами), вимагає особливого розгляду.
Вимоги до безперервності
Раптова зміна поперечного перерізу балки або навантаження може призвести до утворення розривного розчину. Які величини можуть зазнати стрибка, а що повинно бути безперервним?
У механіці розрив заданої функції позначається квадратною дужкою.
\[[f(\xi)] = f(\xi^+) − f(\xi^-)\]
де\(\xi^+\) і\(\xi^-\) позначають значення аргументу на правій і лівій руці розриву. У квазістатичній теорії пучка
\[[w] = 0 \label{4.2.6}\]
\[\left[\frac{dw}{dx}\right] = 0\]
Розрив у вертикальному зміщенні означає поділ, тому, звичайно, це може не відбутися. Чому ж тоді укоси повинні бути суцільними для пружних балок? Це просто. Зміна ухилу називається кривизною. Стрибок у схилі дає нескінченну кривизну, а значить і нескінченні згинальні моменти. Така ситуація неможлива, тому що перетин бруса піде в пластиковий діапазон, і балка перестане залишатися пружною. Кількості, які можуть бути переривчастими, є
\[\text{Bending monents } \quad [M] = \bar{M} \]
\[\text{Shear force } \quad [V] = \bar{V} \label{4.2.9}\]
В якості ілюстрації розглянемо пучок, що підтримується штифтом, навантажений на середині прольоту точковою силою\(P\).
Як вже говорилося раніше, точкове навантаження можна розглядати як граничний випадок безперервного навантаження лінії за допомогою дельта-функції Дірака.
\[q(x) = P \delta(x − \frac{l}{2}), \quad \text{ where } \int \delta(x − \frac{l}{2})dx = 1 \]
Незважаючи на те, що були розроблені методи для боротьби з функціями сингулярності для пучків, вони вимагають використання апарату математичної теорії розподілу. Це
це не той проспект, який ми візьмемо. замість цього буде накладено граничну умову симетрії. Тепер зосереджене навантаження прикладається не всередині балки\(0 < x < l\), що регулюється неоднорідним диференціальним рівнянням, а на кордоні. Кожна половина балки несе на собі половину навантаження. Тому граничні умови є
\[\text { at } x = 0 \; w = 0 \]
\[ \frac{d^{2} w}{d x^{2}} = 0\]
\[\text { at } x = \frac{l}{2} \; V= -\frac{P}{2} \]
\[ \frac{d w}{d x} = 0\]
Оскільки навантаження застосовується на межі, диференціальне рівняння стає однорідним. Розв'язок Рівняння\ ref {4.2.1} задається поліномом третього порядку, підставляючи вищевказане БК у розв'язок, заданий Equation\ ref {4.2.2}, отримано систему з чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь, де розв'язок
\[C_1 = − \frac{D}{2EI} , \; C_2 = 0, \; C_3 = \frac{Pl^2}{16EI}, \; C_4 = 0 \]
Лінія прогину задається
\[w(x) = \frac{P x}{48EI} (3l^2 − 4x^2 )\]
і центральний прогин (щось запам'ятати)
\[w_0 = w(x = \frac{l}{2} ) = \frac{pl^3}{48EI}\]
Графік розподілу згинального моменту і сил зсуву по довжині балки, визначеної з розрахункової лінії прогину, показаний на малюнку (\(\PageIndex{3}\)).
Зверніть увагу, що стрибок внутрішньої сили зсуву дорівнює прикладеній силі.
\[[V ] = V_{\text{right}}(x = \frac{l}{2}) − V_{\text{left}}(x = \frac{l}{2}) = P\]
Якщо точкове навантаження прикладається не на середині прольоту, а на довільній відстані\(x = a\), балку необхідно розділити на дві частини\(0 < x < a\)\(a < x < l\), причому кожну частину потрібно вирішувати самостійно.
\[\text{First segment } 0 < x < a \; w^{\mathrm{I}}(x) = \frac{C_1x^3}{6} + \frac{C_2x^2}{2} + C_3x + C_4\]
\[\text{Second segment } a < x < l \; w^{\mathrm{II}}(x) = \frac{C_5x^3}{6} + \frac{C_6x^2}{2} + C_7x + C_8\]
Це породжує вісім констант інтеграції, по чотири для кожної сторони. Чи вистачило б умов для визначення цих констант? Відповідь - ТАК. Існують дві граничні умови при\(x = 0\), чотири умови неперервності в\(x = a\), задані рівняннями\ ref {4.2.6} -\ ref {4.2.9} і, знову ж таки, дві граничні умови в\(x = l\). Підсумовуючи
\ [\ begin {масив} {l|l|l}
\ mathrm {BC}, x = 0 &\ текст {Безперервність,} x = a &\ mathrm {BC}, x = l\\\ hline w = 0 & {\ M = 0\\ M = 0 & {
\ лівий [\ frac {d w} {d x}\ праворуч] = 0\\
M = 0 & {\ лівий [\ frac {d w} {d x}\ праворуч] = 0\\ M = 0 & {\ лівий [\ frac {d w} {d x}\ праворуч]
& M=0\\ & {[М] = 0}\\
& {[V] = P}
\ end {масив}\]
Зверніть увагу, що не застосовується концентрований згинальний момент,\(\bar{M} = 0\) щоб поле згинального моменту було безперервним поперек\(x = a\). Зосереджена сила виробляє стрибок у розподілі сил зсуву, так\(\bar{V} = P\).
Ми залишаємо читачеві застосувати вищевказану умову і вирішити проблему. Детальніше про цю проблему можна знайти в двох розділах цієї примітки: Набори проблем і Рекламації.
Метод накладення говорить про те, що прогини і ухили балки, що піддається системі навантажень, рівні сумі цих величин, обумовлених індивідуальними навантаженнями. Іншими словами, окремі результати можуть бути накладені для визначення комбінованої відповіді, звідси і термін метод суперпозиції.
Це дуже потужний і зручний метод, оскільки рішення для багатьох умов підтримки та завантаження легко доступні в різних інженерних посібниках. Використовуючи принцип суперпозиції, ми можемо комбінувати ці рішення для отримання рішення для більш складних умов навантаження.
Як приклад розглянемо затиснуто-затиснуту балку, навантажену рівномірною лінійним навантаженням\(q\) і зосередженою силою в центрі\(P\). Формули відхилення для двох індивідуальних навантажень
\[w|_{\text{uniform}} = \frac{qx^2}{24EI} (l − x)^2\]
\[w|_{\text{point}} = \frac{Px^2}{48EI} (3l − 4x)\]
Рішенням для обох навантажень, що діють разом, є
\[w_{\text{total}} = w|_{\text{uniform}} + w|_{\text{point}}\]