Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.7: Формула напруги для пластин

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    32892

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \) У розрізі на балках було показано, що профіль осьового напруження можна визначити за відомим згинальним моментом\(M\) і осьової сили\(N\), див. Рівняння (3.4.8). Аналогічну процедуру можна розробити для пластин, порівнявши Рівняння (3.6.10-3.6.29) з рівнянням (3.6.1). Крива напруження-деформація для плоского напруження може бути виражена через тензор середньої поверхневої деформації\(\epsilon_{\alpha \beta}^{\circ}\) та тензора кривизни\(\kappa_{\alpha \beta}\) шляхом поєднання рівнянь (3.6.1) та (3.6.5).

    \[\sigma_{\alpha \beta} = \frac{E}{1 − \nu^2} [(1 − \nu)\epsilon_{\alpha \beta}^{\circ} + \nu\epsilon_{\gamma \gamma}^{\circ}\delta_{\alpha \beta}] \\ + \frac{E}{1 − \nu^2} [(1 − \nu)\kappa_{\alpha \beta} + \nu\kappa_{\gamma \gamma}\delta_{\alpha \beta}] z \]

    З відношення момент-кривизна, Рівняння (3.6.10):

    \[(1 − \nu)\kappa_{\alpha \beta} + \nu\kappa_{\gamma \gamma}\delta_{\alpha \beta} = \frac{M_{\alpha \beta}}{D}\]

    Аналогічно, з Рівняння (3.6.24)

    \[(1 − \nu)\epsilon_{\alpha \beta}^{\circ} + \nu\epsilon_{\gamma \gamma}^{\circ}\delta_{\alpha \beta} = \frac{N_{\alpha \beta}}{C}\]

    де\(D = \frac{Eh^3}{12(1 − \nu^2)}\) - жорсткість на вигин,\(C = \frac{Eh}{1 − \nu^2}\) а - осьова жорсткість плити.

    З вищевказаної системи один отримує

    \[\sigma_{\alpha \beta} = \frac{Ez}{1 − \nu^2} \frac{M_{\alpha \beta}}{D} + \frac{E}{1 − \nu^2} \frac{N_{\alpha \beta}}{C}\]

    або використовуючи визначення\(D\) та\(C\)

    \[\sigma_{\alpha \beta} = \frac{N_{\alpha \beta}}{h} + \frac{zM_{\alpha \beta}}{h^3/12}\]

    Вищевказане рівняння є правильним розмірами, оскільки обидва\(N_{\alpha \beta}\) і\(M_{\alpha \beta}\) є відповідними величинами на одиницю довжини. Зокрема напруга в разі циліндричного вигину становить

    \[\sigma_{xx} = \frac{N_{xx}}{h} + \frac{zM_{xx}}{h^3/12}\]

    Множення чисельників і знаменників двох вищенаведених\(b\) доходів

    \[\sigma_{xx} = \frac{N_{xx}b}{hb} + \frac{zM_{xx}b}{bh^3/12}\]

    Тепер, спостерігаючи, що\(N_{xx}b = N\) є осьовою силою балки,\(bM_{xx} = M\) є згинальним моментом балки,\(hb = A\) є поперечним перерізом балки прямокутного перерізу, і\(\frac{bh^3}{12}\) є моментом інерції, виходить знайома формула напруги балки

    \[\sigma = \frac{N}{A} + \frac{Mz}{I}\]